Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 40
Текст из файла (страница 40)
— 2у. +у. У~( ) ~г г — У~~( ) ю+ 1 1 1 (7 48 ~„2 Подставляя эти выражения в (7.47), получаем систему разностных уравнений Е(хе у-о у, у;+~)=О, г-1, 2, ..., и — 1, (749) а У(0)+ Ь,У'(О) = „ а:У(1)+ 6,У'(1) = с,. (7.50)' В этом случае граничные условия также должны представляться в разностном виде путем аппроксимации производных У'(0) и У'(1) с помощью конечно-разностных соотношений. Если использовать односторонние разности, прн которых производные аппроксимируются с первым порядком точности, то разностные граничные условия примут впд у — у (7.51) ~и ~п — 1 а.,у„+ 6., = с,.
Из этих соотношений легко находятся значения у„у„. являющуюся системой и — 1 алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции у„у„..., у„,. Входящие в данную систему у, (при г = 1) и у„(при г = = и — 1) берутся из граничных условий, если они задаются непосредственно. На практике часто граничные условия задаются в более общем виде: 234 гл. 7. Оеыкноввпньи дй»ьФеРепцплльпын уРлвпеппя Однако, как правило, предпочтительнее аппроксимировать производные, входящие в (7.50), со вторым порядком точности с помощью центральных разностей В эти выражения входят значения сеточной функции у-» и у„+» в так называемых фиктивных узлах т» = — Й и х„+» — 1+ Й, лежащих вне рассматриваемого отрезка.
В этих узлах искомая функция также должна быть определена. Количество неизвестных значений сеточной функции при этом увеличивается на два. Для замыкания системы привлекают еще два разпостных уравнения (7.49) — при ~ = О, и. Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (7.49).
Эта система является линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно или нелинейно дифференциальное уравнение (7.39). Методы решения таких систем рассмотрены ранее (см. гл. 4, 5). Рассмотрим подробнее один частный случай, который представляет интерес с точки зрения практических приложений и позволяет проследить процесс построения разностной схемы. Решим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка У ( ) Р( ) У( ) — ~*) (7,53) »в(х) ) О, 0 ~ х < 1, с граничными условиями вида У(0) =А, У(1)= В.
(7.54) Разобьем отрезок ~0, 11 на части с постоянным шагом Ь с помощью узлов х» = »й (» = О, 1, ..., и). Аппроксимируем вторую производную У конечно-разностным соотношением (7.48). При этом значения искомой функции в узлах У(х») приблитеппо заменяем соответствующими значениями сеточной функции у». Записывая уравнение (7,53) в каждом узле с использованием указанных аппроксимаций, получаем — 2»».
+ у. 5 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 235 Обозначим через р;, гг соответственно значения р(х;), /(х,). После несложных преооразований приведем последнее равенство к виду У;,— (2+Ьр)У +Уг-,-г =Ь7э г'=1, 2 ... и — 1, з (7.55) Получилась система п — 1 линейных уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных значений сеточной функции у„у„..., у„, в узлах. Ее значения на концах отрезка определены граничными условиями (7.54); у, =Л, У„=В. (7.56) Решая систему уравнений (7.55) с учетом условий (7.56), находим значения сеточной функции, которые приближенно равны значениям искомой функции. Покажем, что такое решение существует и сходится к точному решению при Ь вЂ” О.
Для доказательства существования решения рассмотрим систему линейных уравнений (7,55). Ее матрица является трехдиагональной; на главной диагонали находятся элементы — (2+ Ь'р,) . Поскольку р (х) ) О, то р; ~ О, и диагональные элементы матрицы преобладают над остальными, так как в ка'кдой строке модули этих элементов больше суммы модулей двух остальных элементов, каждый из которых равен единице. При выполнении этого условия решение системы линейных уравнений существует и единственно (см. гл. 4).
Что касается сходимости решения, то здесь имеет место следующее У т в е р ж д е н и е. Если функггии р(х) и ~(х) дважды непрерывно дифференггируемьг, то при Ь -~- О разностное решение равномерно сходится к точному со скоростью О (Ь2)', Это — достаточное условие сходимости метода конечных разностей для краевой задачи (7.53), (7.54). Система линейных алгебраических уравнений (7.55) с трехдиагональной матрицей может быть решена методом прогонки (см.
гл. 4, ~ 2, п. 4). При этом условие р (х) ~ О гарантирует выполнение условия устойчивости прогонки. Этот метод на практике используется также и при р(х)(0, хотя успешный результат заранее предвидеть трудно. Для оценки получаемого решения в этом случае неооходимо провести расчеты для разных значений шага 2З6 гл. т. овыкновкннык дпт ткркнцплльнын ърАвнвния У" =1(х, У), О~х~1, (7.57) (7.58) У(0) = А, Г(1) = В. Используя метод конечных разностей, получаем систему разностных нелинейных уравнений у,, — ' 2у, + у;+, = Ч» (х;, у;), (7.59) у, =А, у„=В. (7.60) Б теории разностных схем доказывается, что разностное решение, определяемое разностными уравнениями (7.59), при й- О сходится к точному.
Достаточное условие схо- димости имеет вид д~»»дУ) О. (7.61) Система нелинейных алгеораических уравнений (7.59) может быть решена итерационными методами (см. гл. 5, ~ 3). Для ее решения используют также з»етод линеариза»»ии, т. е. сведение решения нелинейной системы к решению последовательности систем линейных алгеорапческих уравнений. Пусть найдено решение системы (7.59) в й-й итерации. Тогда, подставляя известные значения у; в право вые части системы (7.59), получаем у»»'~ — 2у»~~'~ + у1+~'~ = У/(х;, у1~~), (7.62) Следовательно, мы пришли к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно значений у» на й + 1-й итерации.
Поскольку матрица этой системы трех- диагональна, то для ее решения на каждой итерации может быть использован метод прогонки. Требуется лишь задать некоторые начальные приолижения у; (» = »о) Х, 2, ..., »»); значения у„ у„ при этом определены граничными условиями (7.60). Следует отметить, что сходимость данного итерационного процесса довольно медленная, Достаточное условие (не менее трех) и убедиться в том, что полученные значения функции в одних и тех же узлах близки ме;кду собой и разность их уменьшается, что говорит о стремлении решения к некоторому пределу при Ь вЂ” О. Мы рассмотрели простейший случай линейного уравнения.
Значительно труднее решать нелинейные задачи. Рассмотрим краевукл задачу для уравнения второго . порядка: унРАжннния 237 сходимости имеет вид — гпах —, (1. Это условие, а также условие (7.61) накладывают ограничения на правую часть !(х, У) исходного уравнения (7.57). Упражнения 1. Количество вещества х, участвующего в некоторой химической реакции, определяется уравнением ггх/Ж = — х, (1.— время).
Найти количество вещества при 1= 10 с, если в начальный момент оно равно 0.4 моль. Решение провести численным методом, результат сравнить с точным аналитическим решением. 2. Полный магнитный поток Ф катушки, равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, определяется уравнением ггФ/г1г = р1гг/г/(2лг).
Определить Ф лрп следугощих данных: 1 = 1 Л; гг = 80; размеры катушки: внутренний радиус Вг — — 4 см, внешний радиус Л~ —— = б см, высота /г = 3 см, число витков >г = 1500. Численное решение сравнить с точным. 3. Изменить блок-схему метода Эйлера (см. рис. 38) так, чтобы результаты выводились все сразу после полного решения задачи. 4. Исследовать устойчивость задачи Коши для уравнения у' = = Л.1/, решая это уравнение аналитически и задавая погрешность в определении координат начальной точки. 5. Построить блок-схему решения задачи Коши для системы двух уравнений первого порядка методом Эйлера. 6. Составить блок-схему решения уравнения первого порядка методом Эйлера с пересчетом.
7. Построить алгоритм решения задачи Коши для уравнения второго порядка модифицированным методом Эйлера с автоматическим выбором шага. 8. С помощью итерационного метода предиктор-корректор найти решение при х = 4/г и * = 5й (й = 0.1) для следукицей задачи' Коши: гг г/й1 = г + з(п (У/3), У(0) = 0,3. 9. Составить блок-схему регпения краевой задачи методом стрельбы с использованием метода давления отрезка пополам. 10. Построить алгоритм решения краевой задачи для уравнения Г' — р(х)У = /(х) с граничными условиями общего вида, ГЛАВА 8 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 5 1. Элементы теории разностных схем 1.
Вводные замечания. В гл, 7 рассматривались обыкновенные дифференциальные уравнения, Их решения зависят лишь от одной переменнои: у = у (т), и = и (Е) и т. д. Во многих практических задачах искомые функции зависят от нескольких переменных, и описывающие такие задачи уравнения могут содержать частные производные искомых функций. Они называются уравнениями с частными производными. К решению дифференциальных уравнений с частными производными приводят, например, многие задачи механики сплошных сред. Здесь в качестве искомых функций обычно служат плотность, температура, напряжение и др,, аргументами которых являются координаты рассматриваемой точки пространства, а также время.
Полная математическая постановка задачи наряду с дифференциальными уравнениями содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной ооласти, то задаются условия на ее границе, называемые граничными (краевыми) уеловиял~и. Такие задачи называются краевыми, задачами для уравнений с частными производными. Если одной из независимых переменных в рассматриваемой задаче является время 1, то задаются некоторые условия (например, значения искомых параметров) в начальный момент Г„называемые начальными условиями. Задача, которая состоит в решении уравнения при заданных начальных условиях, называется задачей Коши для уравнения с частными производными. При этом задача решается в неограниченном пространстве и граничные условия не задаются.
Задачи, при формулировке которых ставятся граничные и начальные условия, называются нестаиионарными (или смешанными) краевыми задачами.. Получающиеся при этом решения меняются с течением времени. 1 ~. элимннты твои~и т хзностпых схим 239 Б дальнейшем будем рассматривать лишь корректно поставленные задачи., т. е. задачи, решение которых существует и единственно в некотором классе начальных и граничных условий и непрерывно зависит как от этих условий, так и от коэффициентов уравнений. Решение некорректно поставленных задач выходит за рамки данного краткого курса. Решение простейших задач для уравнений с частными производнымп в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами, рассматриваемыми в соответствующих разделах математики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
