Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Обшее решение обыкновенного дифференциального уравнения и-го порядка содержит н произвольных постоянных фф..., С, т. е. общее решение уравнения (7.1) имеет вид у = ~р(х, фф..., С„), Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения. Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной: у =се(х, С). (7.4) Если постоянная принимает определенное значение С= = С„то получим частное решение у = ~(х, С.). Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка (7.2) .
Поскольку производная у характеризует наклон касательной к интегральной кривой в данной точке, то при у' = Й = сопзФ из (7.1) получим ~(х, у) = Й вЂ” уравнение линии постоянного наклона, называемой изоялиной. Меняя Й, получаем семейство изоклин. Приведем геометрическую интерпретацию общего решения (7.4). Это решение описывает бесконечное семейство интегральных кривых с параметром С, а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства. Через каждую точку из области решения проходит одна 5 Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 207 интегральная кривая. Это утверждение следует из следующей теоремы.
Т е о р е м а К о ш и. Если правая часть 7'(х, у) уравнения (7.2) и ее частная производная ~~ (х, у) определены и непрерывны в некоторой области С изменения переменных х,. у, то для всякой внутренней точки (х„у,) этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение у = у, при х=х,, Для уравнений высших порядков геометрическая интерпретация более сложная. Через каждую точку в области решения уравнения при и) 1 проходит не одна интегральная кривая.
Поэтому, если для выделения некоторого частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты (х„ у,) произвольной точки на данной интегральной кривой, то для уравнений высших порядков этого недостаточно. Здесь правило следующее: для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т. е. каков порядок уравнения. Следовательно, для уравнения второго порядка нужно задать два дополнительных условия, благодаря которым можно найти значения двух произвольных постоянных. В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача.
В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции й ее производных при некоторых значениях независимой переменной, т. е. в некоторых точках. Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задач ей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка х = х„ в которой они задаются, — начальной точкой. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т. е. при разных значениях независи.мой переменной, то такая задача называется краевой.
Сами дополнительные условия называются прн этом граничными (или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках х = и и х = Ь, являющихся границами области решения дифференциального уравнения. ~ОД ГЛ, 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДЧФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Приведем примеры постановки задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи Коши: дх/Ж=х'сов~, ~) О, х(0)=1; у" = у'/х+х', х) 1, у(1) =2, у'(1) = О. Краевые задачи: у" + 2у' — у = з1п х, О -== х ~ 1, у (О.) = 1, у (1) = 0; у" =х+уу', 1~х<3, у(1)=0, у'(1)=1, у'(3)=2, 2. О методах решения. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.
Графические методы используют геометрические построения. В частности, одним из них является метод изоялин для решения дифференциальных уравнений первого порядка вида (7.4), Он основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определенному изоклинами. С некоторымп аналитическими,методами читатель знаком по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородными, линейными и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований. Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.
Например, в некоторых инженерных задачах удается представить решение в виде суммы двух составляющих; первое из которых определяет основное решение, а второе — малая добавка (еоз.иущ ение), квадратом которой можно пренебречь. На этом основаны различные методы линеаризации. В приближенных методах также широко используется разложение решения в ряд по некоторому малому параметру, содержащемуся в данной задаче. К данной группе методов относятся и асимптотические методы, с помощью которых получаются решения, описывающие предельную картину рассматриваемого явления.
6 ь основнын понятия 209 Здесь мы будем рассматривать численные методы решения дифференциальных уравнений, которые в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно аффективны в сочетании с использованием быстродействующих ЭВМ, обладающих достаточно большим объемом оперативной памяти. Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является л~етод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлал~и.
Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргу.мента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дпфференцпальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения (см, гл. 3, $ $). Такая замена дифференциального уравнения разпостным называется его аппроксияаиией па сетке (или разностной аппроксимацией) .
Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. Обоснованность замены дифференциального уравнения разностным, точность получаемых решений, устойчивость метода — важнейшие вопросы, которые требуют тщательного изучения. Мы здесь дадим лишь некоторые элементарные сведенпя по данным вопросам.
3. Разностные методы. Обычно в теории разностных схем для компактности записи дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия представляются в некотором символическом виде, называемом операторным. Напрпмер, любое из уравнений У' = 1(х), т'" = 1(х), т'" + УУ = /(х) мо'кно записать в виде ЛУ= Г(х). Здесь à — дифференциальный оператор, содержащий операции дифференцирования; его значение различно для разных дифференциальных уравнений. Область изменения аргумента х 1ч л. и, ттрчаи 21О гл. 7. ОБыкнОВенные диФФеРенциАльные уРАВнения можно обозначить через 6, т. е.
т~ 6. В частности, областью 6 при решении обыкновенных дифференциальных уравнений может быть некоторый отрезок ~и, Ь], полуось х ) 0 (или ~) 0) и т. и. Дополнительные условия на границе также представляются в операторном виде. Например, любое из условий У(0) = А, У(а) = О, У(Ь) = 1, У(0) = А, У'(О) = 8 можно записать в виде П = Ф(х) (х~ Г).
Здесь Р— оператор начальных или граничных условий, Ф(т) — правая часть этих условий, à — граница рассматриваемой области (т. е. к=О, х= а, х= Ь и т. и.). Таким образом, исходную задачу для дифференциального уравнения с заданными начальными и граничными условиями, называемую в дальнейшем дифферен||иальной задачей, можно в общем случае записать в виде ЛУ=Г(х), х~6, (7.5) 1У = Ф(х), х ~ Г. (7.6) В методе конечных разностей исходное дифференциальное уравнение (7.5) заменяется разностным уравнением путем аппроксимации производных соответствующими конечно-разностными соотношениями, При этом в области 6 введем сетку, шаг Ь которой для простоты будем считать постоянным. Совокупность узлов х„х„...
обозначим через я~. Значения искомой функции У в узлах сетки заменяются значениями сеточной функции ул, которая является решением разностного уравнения. Искомую функцию и сеточную функцию будем обозначать соответственно У и у, чтобы подчеркнуть их различие: У вЂ” функция непрерывно меняющегося аргумента х, а у — дискретная сеточная функция, определенная на дискретном множестве д~ =(х;) (г = О, 1,,). Сеточную функцию, принимающую значения у; в узлах сетки, можно считать функцией целочисленного аргумента |.
Итак, дифференциальное уравнение (7.5) заменяется разностным уравнением, которое также можйо записать в операторном виде: ~'~у~ А~ г ~ д~ (7.7) Здесь И, — разностный оператор, аппроксимирующип дифференциальный оператор |. Как известно (см. гл. 3, 1), погрешность этой аппроксимации в некоторой точке х может быть представлена в виде е(т) =0(Ь'). При з ~. основнын понятия этом говорят, что в данной точке х имеет место аппроксилация й-го порядка.
Индекс Й в разностном уравнении (7.7) подчеркивает, что величина шага является параметром разностной задачи. Поэтому (7.7) можно рассматривать как целое семейство разпостных уравнений, которые зависят от параметра Ь. При решении дифференциальных уравнений обычно требуется оценить погрешность аппроксимации не в одной точке, а на всей сетке дь, т. е. в точках х„х„... В качестве погрешности аппроксимации е~ на сетке можно принять некоторую величину, связанную с погрешностями аппроксимации в узлах; например, г, 11|а еь = шах~ е(х,) еи = ~~~е2(х,)~ э В этом случае ~, имеет Й-й порядок аппроксимации на сетке, если е~ = О (й') .
Наряду с аппроксимацией (7.7) дифференциального уравнения (7.5) необходимо также аппроксимировать дополнительные условия на границе (7.6). Эти условия запишутся в виде (7,8) Здесь (~ — граничные узлы сетки, т. е, (~~ Г. Индекс 7г, как и в (7.7), означает зависимость разностных условий на границе от значения шага.
Совокупность разностных уравнений (7.7), (7.8), аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение и дополнительные условия на границе, называется разностной схемой. П р и м е р. Рассмотрим задачу Коши ЬУ = МУ)йх = Г(х), х) х„У(х,) =А. Введем равномерную сетку с шагом Ь, приняв в качестве узлов значения аргумента х„х„... Значения сеточной функции, которая аппроксимирует искомое решение в данных узлах, обозначим через у„у„... Тогда разностную схему можно записать в виде Здесь ~; — значение правой части разпостного уравнения в точке х;. Можно, в частности, принять Л= Г(х;).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
