Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Данная схема имеет первый порядок аппроксимации, т. е. ел = 0(й), 212 ГЛ 7 ОБЫКНОВЕННЫЕ ЛИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ ~ РАВНЕНИЯ ЬГ„+ глбл= ~„х ~ д„ ~Г»+ Ю, = »~ „Х ~ (л. Отсюда Ф 1лбл = т». Аб»=Л», Здесь Лл = ~л — Ь»У» — погрешность аппроксимации (невязка) для разностного уравнения, а тл= »вл — »»Г» — 'погрешность аппроксимации для разностного граничного условия. Решение разностной задачи, в результате которого находятся значения сеточной функции у» в узлах х;, приближенно заменяет решение У(х) исходной дифференциальной задачи. Однако не всякая разностная схема дает удовлетворительное решение, т.
е. получаемые значения сеточной функции у» не всегда с достаточной точностью аплроксимируют значения искомой функции У(х,) в узлах сетки, Здесь важную роль играют такие понятия, как устойчивость, аппроксимация и сходимость разностной схемы. Под устойчивостью схемы понимается непрерывная зависимость ее решения от входных данных (коэффициентов уравнений, правых частей, начальных и граничных условий). Или, другими словами, малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. В противном случае разностная схема'называется неустойчивой, Естествеппо, что для практических расчетов используются устойчивые схемы, поскольку входные данные обычно содержат погрешности, которые в случае неустойчивых схем приводят к неверному решению.
Кроме того, в расчетах на ЭВМ погрешности возникают в процессе счета из-за округлений, а использование неустойчивых разностных схем приводит к недопустимому накоплению этих погрешностей. Разностная схема называется корректной, если ее решение существует и единственно при любых входных данных, а также если эта схема устойчива. При использовании метода конечных разностей необходимо знать, с какой точностью решение разпостной задачи приближает решение исходной дифференциальной задачи. Рассмотрим погрешность б», равную разности значений сеточной функции и искомой функции в узлах сетки, т.
е. бл= ул — Ул, Отсюда найдем у»= Ул+ бл. Подставляя это значение ул в разностную схему (7.7), (7.8), получаем 5 2 злдАчА кОши Если ввести характерные значения гт и г невязок ггг, и г, (например, взять их максимальные по модулю зна- чения на сетке), то при А = 0 (Ь') и г = 0 (Й') разност- ная схема (7.7), (7.8) имеет Й-йг порядок аппроксимации на решении.
Введем аналогичным образом характерное значение 6 погрешности решения ог,. Тогда разностная схема сходит- ся, если б- О при Ь вЂ” О. Если при этом 6~ ЛХй', то го- ворят, что разностная схема имеет точность Й-го порядка или сходится со скоростью 0(й"), Здесь ЛХ > Π— неко- торая постоянная величина, не зависящая от Ь. Предпо- лагается также, что Ь > О; в противном случае в ука- занных оценках необходимо взять !гг!. В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную дифференциальную задачу, то она сходится. Иными сло- вами, из устойчивости и аппроксг~магггггг, разиостной схе- мы следует ве сходимость. Это позволяет свести трудную задачу изучения сходимости и оценки порядка точности разностной схемы к изучению погрешности аппроксима- - ции и устойчивости, что значительно легче.
Вопросы ис- следования разностных схем изложены в специальной литературе (см. список литературы), 5 2. Задача Коши 1. Общие сведения. Требуется найти функцию У = = У(х), удовлетворяющую уравнению г1Угггг, = т(х, У) (7.9) и принимающую при х- х, заданное значение У,; У(х,)= У,. (7.10) При этом будем для определенности считать, что решение нужно получить для значений х > х,. Из курса дифференциальных уравнении известно, что решение У (х) задачи (7.9), (7.10) существует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть ~(х, У) уравнения (7.9), являющаяся функцией двух переменных х, У, удовлетворяет некоторым условиям гладкости.
Будем считать, что эти условия выполнены и существует единственное гладкое решение У(х). Методы решения задачи (7.9), (7.10) распространяются и на случай систем уравнений вида (7.9), а к ним 214 гл. 7. Овыкновенные диФФеРенпиАльные уРАВнения в свою очередь можно привести также уравнения высших порядков. Например, уравнение = ~~(У У х) (7,11) можно записать в виде системы уравнений .о 1 ч' (~ т1 У21 х)о .о 2 — У1>. (7. 12) где У~ = Г, У2 = Я, Систему (7.12) можно записать с помощью одного векторного уравнения У'=ЯУ, х).
(7.13) Здесь -й -Ы Таким образом, векторное уравнение (7.13) может заменить как систему уравнений, так и уравнение порядка ВЫШЕ ПЕРВОГО. Для решения задачи Коши (7.9), (7 10) будем использовать разностные методы, Введем последовательность точек х„хо ... и шаги Ь, = х~+, — хо (~ = О, 1, ...). В каждой точке х~ называемой узлом, вместо значений функции У (х;) вводятся числа уь аппроксимирующие точное решение У на данном множестве точек. Функцию 77, заданную в виде таблицы (хь у;) (ю =О, 1, ...), называют сеточной функцией. Далее, заменяя значение производной в уравнении (7.9) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциальной задачи (7.9), (7.10) относительно функции У к разностной задаче относительно сеточной функции у: у<+,=Г(хь Ьь у,+~, уь ..., уо-~+ ), ю=1, 2, ..., (7.14) 77 о — Уо.
(7.15) Здесь разностное уравнение (7.14) записано в общем виде, а конкретное выражение его правой части зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (7.14). На основании анализа вида разпостпого уравнения можно провести некоторую классификацию численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
5 2. ЗАДАЧА КОШИ 215 Если в правой части (7.14) отсутствует у;+„т. е. значение у;+~. явно вычисляется по Й предыдущим значениям у;, у; „..., у; „+„то разностная схема называется явной. При этом получается Й-шаговый метод: Й=1— одношаговый, В = 2 — двухшаговый и т. д., т. е. в одношаговых методах для вычисления у;+, используется лишь одно ранее найденное значение на предыдущем шаге у;, в многошаговых — многие из них. Если в правую часть уравнения (7,14) входит искомое значение у;+„то решение этого уравнения усложняется.
В таких методах, называемых неявныии, приходится решать уравнение (7.14) относительно у;+, с помощью итерационных методов. 2. Одношаговые методы. Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой функции У(х) в ряд Тейлора в.окрестностях узлов х = х; (~ = О, 1, ...), в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде У (х; + Лх;) = У (х;) + У' (х;) Лх; + О (Лх';). (7.16) Заменяем значения функции У в узлах х; значениями сеточной функции у;.
Кроме того, используя уравнение (7,9), полагаем У'(х;)=/(х;, У(х;))=~(х;, у;). Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т. е. Лх, = х;~, — х; = Ь = сопз$ (~ = О, 1, ...) . Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка 0(Ь'), из равенства (7.16) получаем у,+, = у;+ Ц(х;, у;), ~ = О, 1..., (7 17) Полагая У=О, с помощью соотношения (7.17) находим значение сеточной функции у, при х =х,: у~ = ус+ Ч(ха~ уо) ° Требуемое здесь значение у, задано начальным условием (7.10), т. е. у, = У(х,) = У„. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах: у, = у,+ Ь~(х,. у,), 4 ~ ° ю Ф у„= у„„+ Ь~(х„„у, ~), 219 ГЛ.
1. ОВЬП1ПОВВННЫГ Д11ФФКРВНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЙ Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (7.17). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной функции у~+, в любом узле х~+, вычисляется по ее значению у; в предыдущем узле х,. В связи с этим метод Эйлера относится к одношаговым методам. Блок-схема алгоритма решения задачи -Коши (7.9), (7.10) методом Эйлера изображена на рис.
38. Задаются начальные значения х, у~, а также величина шага гг и количество расчетных точек гг. Решение получается в узлах х+ гг, х+2гг,,, х+ + и Ь. Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге. Если найденные значения необходимо хранить в памяти машины, то следует ввести массив значений у„ уо ° ° .~ у». О лд г1 юа Ю Рис. 38. Блок-схема метода Рис. 39.
11ллюотрация метода Эйлера Эйлера На рис. 39 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера, Изображены первые два шага, т, е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках х~, х,. Интегральные кривые О, 1, 2 описывают точные решения уравнения (7.9). При этом кривая О соответствует точному решению задачи Коши (7.9), (7ЛО), так как она проходит через начальную точку А(х„у,). Точки В, С получены в результате численного решения за- 9 1. Злдлчл коши 217 .дачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой О характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую инте- ~ гральную кривую. Отрезок А — отрезок касательной к кривой О в точке А, ее наклон характеризуется зпаче/ нием производной уо = 1 (х0, у,).
Касательная ВС уже ' проводится к другой интегральной кривой 1. Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на другую интегральную кривую. Рассмотрим подробнее вопрос о погрешности метода Эйлера. Погрешность е; в точке х; равна разности между значением сеточной функции у; и точным значением искомой функции У(х~): е; = у; — У(х;).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
