Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. это искомые величины) . Лмеющиеся ресурсы сырья и рабочего времени зададим в виде ограничений-неравенств: 201 ;1 1. ЗАДА'111 С ОГРАНИЧГНЛЯХ1П При этом очевидно, что х, ~ О, х, ~ О, х,~ О. Заме~им, что введение дополнительных неизвестных не повлияло на вид целевой функции (6.39), которая зависит только от параметров х„ х,. Фактически х„ х„ х, будут указывать остатки ресурсов, не использованные в производстве.
Здесь мы имеем задачу максимизации, т. е. Нахождения максимума целевой функции. Если функцию (6.39) взять со знаком минус, т. е. принять целевую функцию в виде Е = — 10х, — 12х„ (6.41) то получим задачу минимизации для этой целевой функции. Примем переменные х„х„х5 в качестве базисных и выразим их через свободные переменные х„х, из уравнений (6.40). Получим хз = 300 — 4х, — 5х,, х, = 100 — 2х, — х„ (6.42) х, = 160 — 2х, — Зх,.
В качестве опорного решения возьмем такое, которое соответствует нулевым значениям свободных параметров: (6.43) Этому решению соответствует нулевое значение целевой функции (6.41): Р"' = О. (6.44) Исследуя полученное решение, отмечаем, что оно не является оптимальным, поскольку значение целевой функции (6.41) может быть уменьшено по сравнению с (6.44) путем увеличения свободных параметров.
Положим х, =0 и будем увеличивать переменную х1 до тех пор, пока базисные переменные остаются положительными. Из (6.42) следует, что х, можно увеличить до значения х, = 50, поскольку при большем его значении переменная х, станет отрицательной. Таким образом, полагая х, = 50, х2 = О, получаем новое опорное решение (значения переменных хз, х~, х~ найдем по формулам (6.42) ): (6.45) 202 ГЛ.
6. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Значение целевой функции (6.41) при этом будет равно Г"' = — 500. (6.46) Новое решение (6.45), следовательно, лучше, поскольку значение целевой функции уменьшилось по сравнению с (6.44) . Следующий шаг начнем с выбора нового базиса. Примем ненулевые переменные в (6.45) хо х„х, в качестве базисных, а нулевые переменные х„х, в качестве свободных. Из системы (6.40) найдем 1 х =50 — — х — — х 1 2 2 4~ хз = 100 — Зх2 + 2х4, х,=60 — 2х, + Выражение для целевой функции (6.41) запишем через свободные параметры, заменив х, с помощью (6.47) .
Получим Р = -500 — 7х, + 5х,. (6.48) Отсюда следует, что значение целевой функции по сравнению с (6.46) можно уменьшить за счет увеличения х„поскольку коэффициент при этой переменной в (6.48) отрицательньш. При этом увеличение х, недопустимо, поскольку это привело бы к возрастанию целевоп функции; поэтому положим х4= О.
Максимальное значение переменной х~ определяется соотношениями (6,47). Быстрее всех нулевого значения достигнет переменная х, при х2 = 30. Дальнейшее увеличение х~ поэтому невозможно. Следовательно, получаем новое опорное решение, соответствующее значениям х, = = 30, х, = 0 и определяемое соотношениями (6.47): (6.49) При этом значение целевой функции (6.48) равно Р" = -710. (6.50) Покажем, что полученное решение является оптимальным, Для проведения следующего шага ненулевые переменные в (6.49), т. е.
х„х„х„нужно принять в качестве базисных, а нулевые переменные х„х, — в качестве свободных переменных, В этом случае целевую функцию 203 УПРАЖНЕНИЯ можно записать в виде Г= — 710+ 2х,+ 2х,. Поскольку козффициенты при х„х~ положительные, то при увеличении этих параметров целевая функция возрастает.
Следовательно, минимальное значение целевой функции ?"„~, = — 710 соответствует нулевым значениям параметров х„, х„и полученное решение является оптимальным. Таким образом, ответ на поставленную задачу об использовании ресурсов следующий: для получения максимальной суммарной стоимости продукции при заданных ресурсах необходимо запланировать изготовление изделий А в количестве 35 штук и изделий Б в количестве 30 штук. Суммарная стоимость продукции равна 710 р. При зтом все ресурсы стекла и рабочего времени будут использованы, а металла останется 10 кг.
Упражнения 1. Исследовать на экстремум функцию у = (х — 5)е*. 2. Найти наиоольшее и наименьшее значения функции у = = х'111 — х' в ооласти ее определения, 3. Удельный расход газа плотности р с показателем адпабаты Й в газовой с.трус определяется формулой Д=рп(1 — а /о~, ) При какой скорости и расход газа будет максимальным? 4. Составить блок-схему определения наименьшего значения функции на отрезке с помощью метода оощего поиска, 5.
Усовершенствовать алгоритм предыдущей задачи путем повторного деления суженного интервала неопределенности. 6. Используя метод золотого сечения, найти на отрезке 10, 3~1 наименьшее значение функции ~х~ — 2х+2, 0(х(2, 1х~/(2х — 1), х ~ 2. 7. Работа деформации рамы выражается формулой А = — —, ~ —. х — ху -)- —, у — ', — х — — л' ~- — Р ~ (4 1,2 1 1 2 1Е1 1,3 3 ' 3 4 ' 10 где Р— нагрузка, Х и У вЂ” горизонтальная и вертикальная реакции опоры, 1 — длина, Š— модуль упругости, 1 — момент инерции, При каких значениях Х, У работа будет минимальной? 204 ГЛ.
6, МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 8. Спроектировать цилиндрический котел емкостью 200 л таким ооразом, чтобы на его изготовление было израсходовано как можно меньше материала. 9. Начертить ооласти, определенные системами неравенств: а) х)0, у>0, 2х+у(4; б) х — у) О, х(9, х+Зу) 6. 10. Минимизировать функцию 1 = 12хь+ 4х~ при наличии ограничений х1+ х~) 2, х~ ~ 0.5, х2 (4„х~ — х2) О. 11, Имеются два склада с сырьем.
Ежедневно вывозится с первого склада 60 т сырья, со второго 80 т, Сырье используется двумя заводами, причем первый завод получает его 50 т, второй 90 т. Нужно организовать оптимальную (наиболее дешевую) схему перевозок, если известно, что доставка 1 т сырья с первого склада на первып завод стоит 70 к., с первого склада на второй заьод — 90 к., со второго склада на первый завод — 1 р., со второго склада на второй завод — 80 к.
ГЛАВА 7 ОБЫКНОВЕ????ЫЕ ДИФФЕРЕ??ЦИАЛЬНЫЕ . УРАВНЕНИЯ $ 1. Основные понятия 1. Постановка задач. Инженеру-исследователю постоянно приходится в своей деятельности сталкиваться с дифференциальными уравнениями. ?Иногие задачи механики, физики, химии и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач. В вычислительной математике изучаются численные методы решения дифферепцпальпых уравнений, которые особенно эффективны в сочетании с использованием вычислительной техники.
Прежде чем обсуждать методы рсшепия дифференциальных уравнений, напомним некоторые сведения из курса дифференциальных уравнений, и в особеппостп те, которые понадобятся при дальнейшем изложении. В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну пезависимуго переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных. Данная глава посвящена методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Обыкновенными дифференции>гьными уравненггямгг, называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции у = = у(х).
Их мо."кпо записать в виде Р(х, у, у', ..., у'"') = О, где х — независимая переменная. Наивысший порядок и входящей в уравнение (7.1) производной называется порядком дифференциального уравнения. В частности, запишем уравнения первого и второго порядков: е'(х, у, у') = О, Г(х, у, у', у" ) = О. 206 Гл. т.
Овыкновенные диФФБРенциАльные уРАвнения В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения (7.1) удается выразить старшую производную в явном виде. Например, у =/(х, у), (7.2)' у" =Дх, у, у'). Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной. Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например, у' — х'у =в(пх — линейное уравнение первого порядка. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется всякая функция у = <р(х), которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
