Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ириближенные методы разрабатывались еще задолго до появления вычислительных машин. Однако многие из них и до сих пор не утратили своего значения. Это методы коллокаций, наименьших квадратов и другие, основанные на минимизации невязок уравнений. Весьма эффективными являются также метод Галеркиьа и его модификации.
Рассмотрим сущность приближенных методов, Для отыскания приближенного решения уравнения (7.34) с граничными условиями (7,36) выбирается некоторая линейно независимая (базисная) система дважды дифференцируемых функций ср,(х), гр,(х), ..., ср„(х). При этом ~р, (х) удовлетворяет граничным условиям (7.35), а ~р,(х), ..., <р„(х) — соответствующим однородным граничным условиям. Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций: у(х) = ~,(х)+ а,~р,(х) + ад,(х) +... + а„с~„(х). (7.37) Подставляя это выражение в уравнение (7.34), можно найти разность между его левой и правой частями, которая называется невязхой. Она является функцией переменной х и параметров а„ а..
. а„ и имеет вид ~ (х, а„а„..., а„) = У" + р (х) Г + ц (х) — ~ (х) . (7.38)' Коэффициенты а„а„..., а.„стараются подоорать так, чтобы невязка была минимальной. Способ определения этих коэффициентов и характеризует тот или иной приближенный метод. В методе коллокаций выбираются и точек х = х~ (~ = = 1, 2, ..., п, х; ~ [а, Ь]), называемых точками коллокации невязки (7.38) в которых приравниваются нулю. Получается система и линейных алгебраических уравнений относительно а„а.„..., а„.
Решая данную систему, можно найти эти коэффициенты, которые затем подставляются в решение (7,37). Метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы квадратов невязок в заданной системе точек 5 3. кРлевые Злдлчи' 229 х„х„..., х„,. Из этого условия также получается система линейных алгебраических уравнений относительно а1~ а2у ° ° ° ~ ап ° В основе метода Галеркина лежит треоование ортогональности базисных функций ~р, (х), гг~ (х);..., <р„(х) к невязке ~(х, а~, ..., а„), которое выражается в виде ь чф(х, а„..., а„) ср1(х) = О, 8 = 1, 2,..., п.
а У = ~(х, У, У ). (7.39) Будем искать решение У= У(х) этого уравнения на отрезке 10, 1). Любой отрезок [а, 61 можно привести к этому отрезку с помощью замены переменной х — а Ь вЂ” а Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка примем в простейшем виде (7.35), т. е. У(0) = у., У(1) = у,. (7.40) Сущность метода стрельбы заключается в сведении' реп1ения краевой задачи (7.39), (7.40) к решению задач Коши для того же уравнения (7.39) с начальными ус- ловиями У(0) = ч„У' (О) = Уе = 10 а.
(7.41) Из этих условий также получается система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов линейного соотношения (7.37) . Аналогично строятся некоторые другие приближенные методы. Все они сводятся к построению спстемы линейных алгебраических уравнений, из которой, если существует ее решение, находятся неизвестные коэффициенты. Они затем используются для построения решения как линейной комбинации базисных функций. Дальше будут рассмотрены численные методы. Их можно разделить на две группы: сведение решения краевей задачи к последовательности решений задач Коши и непосредственное применение конечно-разностных методов. 2.
Метод стрельбы. Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производнои: ~30 ГЛ. 7. ОВЫКНОВЕППЫЕ ДПФФЕРЕЕЩИЛЛЬНЬ1Е ХРЛВНЕППЯ Здесь уо — точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой интегральной кривой; и — угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке (рис. 42). Считая решение задачи Коши У = У(т, а) зависящим от параметра а, будем пскать такую интегральную кривую У = У(х, а„), которая выходит из точки (О, д,) п попадает в точку (О, у,).
Таким образом, если я = а~, то решение У(х, а) задачи Коши совпадает с решением У(х) краевой задачи. 11ри х =1, У д учитывая второе граничное условие (7.40), получаем У(1, а) = = у„или У(1, и) — у, = О. (7.42) О 1 л Рис. 42. Метод стрельбы Следовательно, получим уравнение вида Г(а) = О, где Г(а) = = У(1, а) — у,.
Это уравнение отлпчаегся от привычной записи тем, что функцию Г(а) нельзя представить в виде некоторого аналитического выражения, поскольку она является решением задачи Коши (7.39), (7.41). Тем не менее для решения уравнения (7.42) может быть использован любой из рассмотренных ранее методов решения нелинейных уравнений (см. гл. 5). Например, при использовании метода деления отрезка пополам поступаем следующим образом. Находим начальный отрезок ~а„а,1, содержащий значение а~, на концах которого функция г'(а) принимает значения разных знаков. Для этого решение задачи Коши У(1, а„) должно при х = 1 находиться ниже точки ц1, а У(1, а,) выше. Далее, полагая сс, =(а, + а,)/2, снова решаем задачу Коши при а = а2 и в соответствии с методом деления отрезка пополам отбрасываем один из отрезков: 1а„к~~ или (а„а,~, па котором функция Г(сс) не меняет знак, и т.
д, (см. блок-схему на рис. 24). Процесс поиска решения прекращается, если разность двух последовательно найденных значений и меньше некоторого наперед заданного малого числа. В этом случае последнее решение задачи Коши и будет принято за искомое решение краевой задачи, Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправданно, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона интегральной кривой в па- 9 3. кРАе В ые 3 АД Ачи 231 чальной точке.
Следует отметить, что этот алгоритм хорошо раоотает в том случае, если реп1енпе 1'(х, я) не слишком чувствительно к изменениям я; в противном случае мы можем столкнуться с неустойчивостью. Существуют другие алгоритмы метода стрельоы. В частности, одним из самых надежных является метод Пьютона. Он состоит в следующем. Пусть яо — начальное приближение я, а я„= я,+Ля — искомое значение я. Решая задачу Коши прп а =сс„находим У(х, ссо).
Тогда можем записать разло;кение в ряд с сохранением только линейных по Лсс членов: У(1, сс, + Ла) — У(1, а,) + — Ля. Полагая 1 (1, я, + Ля) = У (1, я .) = у„находим у — У(1, сс,) Л дУ(1, а) да (7.43) Производную в знаменателе этого выражения можно най- ти численно: дУ (1, а„) У (4, а„+ еа) — У ($, сс ) да Ьа (7 44) Здесь бя — произвольное малое возмущение я. Для вычисления правой части (7.44) нужно решить задачу Коши при я = я, + бя, в результате чего найдем значение У(1, я„+ бя).
Вычисляя затем по формуле (7.43) поправку,Ля, находим следующее приближение параметра сс: я, = я, + Ля и т. д. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока очередное значение поправки Ля по абсолютной величине не станет меньшим заданного малого числа е. Блок-схема решения краевой задачи методом стрельбы с применеш~ем пристрелки по методу Ньютона представлена на рис. 43. Решение задачи Коши входит в данный алгоритм в качестве отдельного модуля с входным данным я.
На выходе модуля получается решение У(т, я) в виде значений у; (с = О, 1, ..., и) в точках х = О, й, ..., 1, где п=1!А. Методы стрельбы могут также использоваться для решения системы уравнений. В этом случае краевая задача (а не задача Коши) может возникнуть в силу того, что значения одной части искомых функций заданы при ~д3 гл. т.
Овыке10Ве1шые диФФеРенциАлы1ые уРАвнения одном значении независимой переменной (например, при т = О), а другой — при другом (например, т = 1). Тогда «пристрелка» проводится по неизвестным зпачепиям искомых функций при х = 0 до тех пор, пока не будут удовлетворяться соответствующие граничные условия прн к =1. Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка Г=~,(т, у, г), Е'=~,(х, 1', Е). (7.45) Граничные условия заданы в виде г(о) = д„, г(ц =., (7.46) Процесс решения этой краевой задачи методом стрельбы состоит в следующем, Выбирается некоторое а, аппроксимирующее значение Я(0).
Решается- задача Коши для системы (7.45) с начальными условиями У(0) = у~, 7(0) = а. В результате решения при х = 1 получается некоторое значение Е(1, а) Ф ~ г,. Если разность между рис, 43. Блок-схема метода этими величинами невелика, стрельбы то найденное решение задачи Коши принимается за искомое решение краевой задачи. В противном случае находится уточненное значение а и процесс повторяется.
Таким образом, метод стрельбы может быть также использован как для решения краевых задач для уравнений высших порядков, так и чля систем уравненпй. 3. Методы конечных разностей. Достоинство этих методов состоит в том, что они сводят решение краевой задачи для дпффереш1иального уравнения и решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции па заданном множестве точек. Это достигается путем замены пропзводных, входящих в диф- 9 3. кРАевые злдАчп 233 ференциальное уравнение, их конечно-разнос тными аппроксимациями (см.
гл. 3, 5 1). Рассмотрим сущность такого метода регпения для дифференциального уравнения второго порядка (7.39) прн заданных граничных условиях (7.40). Разобьем отрезок ~0, 1~ па и равных частей точкамп х, = Уг (г =О, 1...,, и). Решение краевой задачи (7.39), (7.40) сведем к вычислению значений сеточной функции у; в узловых точках х;. Для этого напишем уравнение (7.39) для внутренних узлов: У" (х;) = /(х;, У(х,), У'(х;)), г= 1, 2, ..., и — 1. (7.47) Заменим производные, входящие в эти соотношения, их конечно-разностными аппроксимациями: у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
