Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 42
Текст из файла (страница 42)
при фиксированном значении 1, называется слоем. Схема (8.7) позволяет последовательно находить значения й" (~ =1,2,..., 1 — 1) на 1+1-и слое через соответствующие значения и1 на 1-и слое. Такие схемы называются явными. Для начала счета при 1 = 1 необходимо решение на начальном слое. Оно определяется начальным условием 245 8 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ (8,6), которое запишется в виде и", = ср(х,), 1 =- 1, 2, ..., 1 — 1, (8.10) В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение (8.8) содержит на каждом новом слое значения неизвестных в трех точках, поэтому нельзя сразу определить этп значения через известное решение на предыдущем слое. Такие схемы называются неявными.
При этом разностпая схема (8.8) состоит из линейных трехточечных уравнений, т. е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках данного слоя. Такие системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей могут быть решены методом прогонки (см. гл. 4, $ 2), в результате чего будут найдены значения сеточной функции в узлах. Заметим, что в рассмотренном прпмере мы получаем двухслойные схемы, когда в каждое разностное уравнение входят значения функции из двух слоев — нижнего, на котором решенпе уже найдено, и верхнего, в узлах которого решение ищется.
С помощью рассматриваемого способа построения разностных схем, когда входящие в уравнение отдельные частные производные заменяются конечно-разностными соотношениями для сеточной функции (или сеточными выражениями), могут быть созданы многослойные схемы, а также схемы высоких порядков точности; Несмотря па то что этот способ получения разностных уравнений наиоолее прост и поэтому широко используется при разраоотке численных методов, существуют также другие способы построения разпостных схем. Изложение этих вопросов читатель может найти в более полных работах по численным методам и теории разностных схем, список которых приведен в конце книги.
3. Сходимость. Аппроксимация. Устойчивость. Эти основные понятия теории разпостных схем упыре обсуждались при построении численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. При переходе к уравнениям с частными производными качественно меняется характер рассматриваемых задач, поэтому необходимо снова рассмотреть эти понятия. Разумеется, мы не имеем здесь возможности изложить теорию разностных схем, но попытаемся привести самые необходимые понятия. 24Е гл 3 уРлве1нния с 11лстньгми пгоизводными Исходную дифференциальную задачу, состоящую в решении уравнения с частными производными при заданных начальных и граничных условиях, запишем в операторном виде: ХУ(х, ~)=Г(х, ~), (х, ~)~6.
(8.11) Заметим, что это операторное уравнение включает не только исходное уравнение с частными производными, но и дополнительные (начальиые и граничные) условия. Функция Р(х, 1) описывает правые части уравнения, а также начальные и граничные условии. Область включает расчетную область С и границу Г.
Дифференциальную задачу (8.11) заменяем разностной задачей относительно сеточной функции и, определенной в узлах сетки дл. Для простоты будем считать сетку зависящей от одного параметра Ь. Шаг по времени т выражается через Ь: т=гЬ, где г = сопзФ. Разностную задачу можно также записать в операторном виде: Хлил = 1л1 (х, ~) е= ьл. (8 12) Значения сеточной функции и; в узлах сетки (хь 1,.)~ ~дл приближенно заменяют значения искомой функции Ц = У(х;, ~,) в тех же узлах с погрешностями би( = и; — Ц.
(8. 13) Введем некоторое характерное значение этих погрешностей, например их максимальное по модулю значение па сетке би = гпах ~ би',1. Разностная схема (8.12) называется сходягг1ейся, если при сгущении узлов сетки это значение погрешности стремится к нулю, т.
е. если 11т би О. (8.14) л- о Если прп этом би <ЛХЬ", где ЛХ=сопз1~ О, то разностная схема имеет Ь-й порядок точности. Говорят также, что она сходггтся со скоростью О (Ь') . Порядок точности схемы при наличии нескольких независимых переменных можно также оценивать по значениям гпагов. В частности, при выполнении условия би ~ М(Ь" + т') разностная схема сходится со скоростью 9 Ь ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РХЗНОСТНЫХ СХЕХ1 247 0(Ь'+ т') и имеет р-й порядок точности по Ь и д-йг порядок по т.
Запишем уравнение (8.12) для погрешности решения на сетке: ои» = и» вЂ” Г,. Отсюда найдем и» = г/»+ би». Подставляя это значение и» в разпостное уравненне (8.'12), получаем Е»би» = Л», Л» = Д вЂ” Л»Г». (8.15)' Величина Л, называется невязкой (погреигностью аппроксилгаггии) разностной схемы. Введем некоторую характерную величину невязки Л, например Л= шах ~Л»~. (8.16) гхд»-=ал Тогда при Л =0(7г') аппроксимация имеет Ь-й порядок относительно Ь. Если значения Ь н т независимы, то при Л = 0(Ь" + т') порядок аппроксимации разностной схемы р-й по пространству и д-й по времени. Разностная схема (8.12) аппроксилгирует исходную дифференциальную задачу (8.11), если при измельчении сетки невязка стремится к нулго, т.
е. если Нш Л= О. (8.17) о ~ о Аппроксимация такого типа, т. е. когда невязка стремится к нулю при стремлении к нулю Ь и т по любому закону без каких-либо условий, называется безусловггой или абсолютной аппроксилгаггггей. В случае условной аппроксилгаггии накладываются некоторые условия на размеры шагов по пространству и времени. Например, если Л = 0(Ь+ т+ т/Ь'), то Л - О при Ь вЂ” О, т - О и т/Ь'- О, т.
е. разностная задача аппроксимирует исходную при условии,.что т ( Ь'. Разностная схема (8.12) называется устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных, т. е. малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. Устойчивость характеризует чувствительность разностной схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи, и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей (в отличие от сходимости и аппроксимации).
По аналогии с аппроксимацией устойчивость бывает условной и безусловной в зависимости от того, наклады- 248 Гл. В уРАВнения с чАстными пРОизВОдныз1и ваются пли нет ограничения на соотношения между шагами по разным переменным. В теории разпостных схем рассматриваются разные способы исследования аппроксимации исходной дифференциальной задачи разностной и проверки устойчивости разностных схем.
Здесь мы лишь отметим, что эти исследования значительно проще, чем доказательство сходимости разностного решения к точному. Поэтому пользуются следующим утверждением. Те о ре м а. Ес ги решение исходной дифференииальной задачи (8.11) существует, а разностная схелга (812) устойчива и аппроксилгирует задачу (8.11) на даннолг решении, то разностное решение сходится к точнолгу. Короче 'говоря, из аппроксимации и устойчивости следует сходимость.
Поэтому, доказав аппроксимацию и устойчивость разпостпой схемы, можем быть уверены в ее сходимости. Проиллюстрируем исследование разностных схем па примере рассмотренных выше двух схем для уравнения теплопроводности — явной схемы (8.7) и неявной схемы (8.8). Положим для простоты а = 1. Будем считать, что решение г.г(х, ~) дифференциальной задачи (8.6) существует, а частные производные д-'г.'г'дг' и д'Идх' непрерывны и ограничены в расчетной области.
Тогда в соответствии с формуламп численного дифференцирования для каждого узла (хь ~„) (1=1, 2, ..., У вЂ” 1, 1=1, 2, ... , У вЂ” 1) можно написать следующие соотношения; (8,18) дг 2 — 2 + 0( г ), (8 19) Найдем погрешность аппроксимации Лг исходного уравнения (8.6) с помощью разностной схемы (8.7) для произвольного узла сетки (х„1,): и1+1 — и~ и1 — 2и~ + и~ Л'. ' ' ' ' ' .' ',. (820) т й' Подставим в это равенство соотношения (8.18), (8.19)'. При этом заметим, что значения гУ(ха 1;) являются точ- % Ь ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗПОСТНЫХ СХЕМ 249 ным решением уравнения (8.6); поэтому дУ(х,, С) дУ(х,, С) дС д 2 ' — О, (8.
21) Следовательно, максимальное значение невязки с учетом (8.18), (8.19), (8.21) имеет порядок А = шах~В',~ = 0(62+ т), (8.22) И Аналогичную оценку невязки монино получить и для разностной схемы (8.8). Таким образом, разностные схемы (8.7) и (8.8) аппрокснмируют исходное дифференциальное уравнение (8.6) со вторым порядком по Й и с первым порядком по т, Начальное и граничные условия задачи (8.6) аппроксимируются на границах точно, поскольку здесь значения сеточной функции равны значениям решения. и,' = Г(х,, С;), где (х;, с;)~ Г, à — граница расчетной области (С = О, х = О, х = 1).
Исследуем теперь устойчивость данных разностных схем. Начнем с явной схемы (8.7). Рассмотрим решение п вспомогательной разпостпой задачи для уравнения теплопроводпости с некоторой ненулевой функцией ~ в правой части и однородными начальными и граничными условиями. Запишем эту задачу в виде 1+1 1 ' 1-1 3-~-1 .1 "1 (8.23) и1=0, (8. 24) Найдем из (8,23) значение вспомогательной сеточной функции и1 на верхнем слое: 3+1 0';" = ХУ'; 1 + (1 — 2Х) ц' + Хс '+1 + т~'. (8.25) Допустим, что имеет место ограниченые в виде неравенства Х < 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
