Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если производную дУ/дх аппроксимировать на ~+ 1-и слое (шаблон изобраькен на рис. 52), то получится неявная схема. Разпостпое уравнение примет вид 256 гл. 8. уРАВнения с частными пРОизВОдными Разрешая это уравнение относительно и;, приходим 1+1 к следующей разпостной схеме: и~+ ~„и~+ ' т,~'. 3+1 ~+ 1-1 Т ~1 л аТ и Л =— 1+л ' Ь' (8,43) ,7+1 з ~41 и1 1 — 1 1 — 1 + 1 1 + 2 «~ — и~ . и4+1 — и~+11 у', = у'(х, + Л,,'2, Ю, + т~2). Это двухслойная трехточечная схема первого порядка точности. Она безусловно устойчива.
Хотя формально данная разпостпая схема строилась как неявная, практическая организация счета по пей проводится так же, как и для-явных схем. Действительно, в правую часть уравнения (8.43) входит значение и; 1 па 1+ 1-м слое, которое при вычисле- 1~1 8+1 ~+1 1+1 нии и; уже наидено. При расчете и1 значение и, берется из граничного условия (8.38). По объему вычислений и логике программы (см.
рис. 50) схема (8.43) аналогична схеме (8.36), однако безусловная устойчивость делает ее более удобной, поскольку исключается ограничение на величину шага. Схему (8.36) можно применять для решения задачи Коши в неограниченной области, поскольку граничное условие (8.38) в этой схеме можно пе использовать. Рассмотрим еще одну разностпую схему, которую по- строим на симметричном прямоугольс-1, ('+1 с,у'~-1 ном шаблоне (рнс. 53). Производная по 1 здесь аппроксимируется в виде полусуммы отношений односторонних конечных разностей в 1 — 1-м и 1м узлах, а производная по х— ~-1,~ ~,/' в виде полусуммы конечно-разност- Р с. 53, Прямо нь1х соотншпепий па 1-м и ! + 1-и угольник слоях.
Правая часть вычисляется в центре ячейки, хотя возможны и другие способы ее вычисления (например, в виде некоторой комбинации ее значений в узлах). В результате указанных аппроксимаций получим разностное уравнение в виде $2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 257 дУ д11 дУ + а, — +»2., — = г' (Х, Ч, ~), (8.46) '0<х<1, 0 =у<1, 0<~<Т, Е1(х, у, 0) = Ф(х, у), (8,47) .11(0, у, ~) = Ч",(у, ~), 71(х, О, г) = Ч',(х, ~). (8.48) Здесь а» ) О, а, ) 0 — скорости переноса вдоль осей х, у; (8.47) — начальное условие при 1 = 0; (8.48) — граничные ус- ~-1,1,А+~ ловия при х=О, у=О. В трехмерной области Г г (х, у, г) построим разностную ~ ~ „уу.1 сетку, ячейки которой имеют форму прямоугольного парал- 1 лелепипеда. Для этого прове- 1 ', дем координатные плоскости через точки деления осел х,у,~:х»=й»(~=0,1,...ох 1)» Уз = 11~а (1 = 0» 1» ° ° ° Рис.
5»4. Шаблон для дву- ..., 1), га = 1гт (1»' = 0,1, ..., К). мерного уравнения Значение сеточной функции в узле (», 1, 1г), с помощью которой аппроксимируются значения с1(х», у,, 1„), обозначим через и;;. Построим безусловно устойчивую разностную схему первого порядка точности, аналогичную схеме (8.43). Шаблон изображен 17 л. и.
ттрчаи Данная двухслойная четырехточечная схема также формально построена как неявная. Однако из (8.44) можно 3+1 выразить неизвестное значение и; через остальные, которые предполагаются известными: .+1 и~ (1-~- Х) +(и? — и»~ д) ($ — Ц+ 2т1» ~+7 — 1». Построенная схема имеет второй порядок точности. Она устойчива на достаточно гладких решениях. Все рассмотренные выше разпостпые схемы решения линейного уравнения переноса называются схемами бегуи1его счета. Онн позволяют последовательно находить значения сеточной функции в узлах разностной сетки. Схемы бегущего счета, построенные для случая одной пространственной переменной х; можно обобщить на многомерный случай.
Рассмотрим для определенности смешанную задачу для двумерного линейного уравнения переноса 250 Гл. з. уРАВнения с чАстными НРоизВодными на рис. 54, где выделена одна ячейка разностной сетки. Сплошными линиями соединены узлы шаблона. Нижний слой (нижнее основание параллелепипеда) имеет номер Й, верхний Й + 1. По аналогии с (8.42) запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (8.46): и+1 — и и+ — и~~ и+ — и+1 "+ " ' "+ " " '=ф. (8.49) 1 2 Разрешим это уравнение относительно значения сеточной функции в узле (г, у, Й+ 1): Х, = а,т/Ь„Х, = а,тй,.
Вычислительный алгоритм этой схемы аналогичен алгоритму.одномерной схемы (8.43). Здесь также счет производится по слоям 1= 1, 2, ..., К. При й= О используется начальное условие (8.47), которое нужно переписать в разностном виде: о и„= со;;, (8.51) На каждом слое последовательно вычисляются значения сеточной функции в узлах. При этом последовательность перехода от узла к узлу мо- У жег быть различной: двигаются параллельно либо оси т, либо оси у.
Во втором случае последовательность вычисляемых значений следующая:и11~~, 3 ° 0 ° 13 ° 10 ° А+1 А+1 А+1 1+1 п12', °... И1з, ав1, ..., и1д 2 ° 7 ° 12 ° 17е На рис. 55 показана нумерация узлов, соответствующая данной 10' последовательности вычисле- ний на каждом временнбм 0 х слое. Точками отмечены расРис. 55. Последовательность четные узлы сетки, крестика- вычислений ми — граничные узлы, в которых значения сеточной функции задаются граничными условиями (8.48). Эти условия необходимо записать в сеточном виде: 1+1 Л11 .
Ио1 = Ф1(Уй ~~+1)1 а1о = Фв(тп ~в+1) (854 259 в 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА При этом значение иве в угловой точке (х = О, у = О) 1+1 в данной разностпой схеме пе используется, Рис. 56. Блок-схема решения двумерного уравнения Блок-схема решения смешанной задачи (8.46) — (8.48) для двумерного уравнения переноса по схеме (8.50) с учетом сеточных начального и граничных условий (8.51) и (8.52) представлена на рис. 56. При этом неко- $ ф 260 гл.
8. ъ'РАВнкния с чАстными пРОизВОдными торые блоки (вычисление начальных значений ио, значений на границе и„, пересылка ив — ио) даны схематически, хотя каждый из них представляет циклический алгоритм. В данной блок-схеме предусмотрено хранение в памяти магпины не полного трехмерного массива искомых значений и;;, а лишь значений на двух слоях: и;; — нижний слой, ив — верхний слой (искомые значения).
Введен счетчик выдачи 1, решение выдается через каждые Ь слоев; при Ь = 1 происходит выдача результатов на каждом слое. Блок «Вычисление и„» производит вычисление искомого значения по формуле (8 ОО), которая в принятых на блок-схеме обозначениях имеет вид 2. Квазилинейное уравнение. Разрывные решения. Рассматривая линейное уравнение переноса, мы предполагали, что точное решение задачи является гладкой функцией, причем при построении разностных схем требовалась еще ее дифференцируемость нужное число раз. А сейчас мы будем изучать разрывные решения.
Такие решения линейное уравнение переноса может иметь лишь в тех случаях„когда разрывы «зало;кены» в начальных или граничных условиях. Рассмотрим теперь квазилинсйные уравнения, т. е. такие, которые линейны относительно производных искомой функции, однако сама функция может входить в коэффициенты уравнения. Одним пз таких уравнений является простейшее квазилипейное уравнение переноса — + У вЂ” — О. дУ дУ (8.53) Зто однородпое уравнение, т. е. его правая часть равна пулю, что указывает на отсутствие поглощения частиц (энергии) или источников.
Пусть в начальный момент времени (~ = О) решение уравнения (8.53) задано в виде У(х, О)= ЕУ,(х). (8.54) В уравнении (8.53) роль скорости переноса играет само решение У(х, ~). Знак этой функции может быть произвольным, в том числе разным в различных частях расчетной области. Для простоты будем считать, что с~(х, ~)) О. 9 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 261 Представим уравнение (8.53) в иной форме. Пусть У = Ых/й. Тогда уравнение примет вид дУ дГ с1х — + — — = О. д1 дх сИ Левая часть этого уравнения представляет полную производную по 1 сложной функции У = У(х(1), 1). Таким образом, мы приходим к системе уравнений с~х сЮ у 1/ у О (8.55) которая равносильна уравнению (8.53). Решение этой системы (следовательно, и решение исходного уравнения) не меняется вдоль прямых х =х, + У,(х,)1 (8.56) и равно 1/ = 1/,(х,). Значение 77,(х,) соответствует начальному условию (8.54) в некоторой точке х =х,.
Прямые линии (8,56) называются характеристиками. Вдоль характеристик уравнения вырождаются в некоторые соотношения между дифференциалами функции, называемые соотношениями на характеристиках. Характеристики (8,56) квазилинейного уравнения (8,53), вообще говоря, не являются параллельными прямыми, как это было в случае линейного уравнения. Если переписать (8.56) в виде ~=(х — х,)/С',(х,), то заметим, что тангенс угла наклона характеристик равен 1/1/,(х,). Таким образом, наклон характеристик может меняться в разных точках при 1 =0. Поэтому, если функция 1/,(х) монотонно возрастает, то наклон характеристик слева направо монотонно убывает (веер характеристик). В этом случае решение задачи (8.53), (8.54) однозначно определено, поскольку через каждую точку полуплоскости 1 -» О проходит одна характеристика, которая переносит в эту точку начальное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
