Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(8.95) В граничные условия может также входить производная искомой функции (температуры) . Например, если конец стержня х = 0 теплоизолирован, то условие имеет вид дадю~„=, = О. (8.96) В этом случае, как и при решении волнового уравнения, данное условие нужно записывать в разностном виде. Перейдем к построепию разносгных схем для уравнения теплопроводпости с двумя пространственными переменными. Положим для простоты а =1. Тогда зто уравпение можно записать в виде дГ д~У д~У (8.97) Пусть при ~ = 0 начальное условие задано в виде С (х, у, 0) = ср(х, у).
(8,98) В отличие от волнового уравнения, требующего два начальных условия, в уравнение теплопроводности входит только первая производная по ~, и необходимо задавать одно начальное условие. Часто задачи теплопроводности или диффузии, описываемые двумерным уравнением (8.97), решаются в ограниченной области. Тогда, кроме начального условия (8.98), нужно формулировать граничные условия.
В частности, если расчетная область представляет прямоугольный параллелепипед О~к~1, 0 =у<1, 0~~(Т (рпс. 67), то нужно задавать граничные условия на его боковых гранях. Начальное, условие (8.98) - задано на нижнем основании параллелепипеда. Введем простейшу|о сетку с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов, для чего проведем три семейства плоскостей: т, = гй, (8 = О, 1, ..., 1), у; = ухая (у = О, 1, ..., У), Е,=Уст (Ус =О, 1, ..., Х). Значения сеточной функции в узлах (х;, уь Е„) обозначим символом и;,.
Используя зти значения, можно построить разпостные 236 гл. 3. уРАВненпя с чАстными пРОизВОдными Отсюда можно пайти явное выражение для значения сеточной функции на А+ 1-м слое: Условие устойчивости имеет вид Х1 + 7~2 т/Й'1 + т/Ь'., ~ (1/2 (8.100) Прп л, + Х, = 1/2 получается особенно простой вид схемы (8.99): и";;+' = Х1(и";+1, + и'; 1,;) + Х., (и~ь;+1 + и1.
1) (8.101) Полученная схема сходится со скоростью 0 (Й„ Ь.„ т), 2 2 1„/, /с+ 1 1./, й О 1 х Рис. 67. Расчетная область Рис. 68. Шаблон двумер- ной схемы Формулы (8.99) или (8.101) представляют рекуррентные соотношения для последовательного вычисления сеточной функции во внутренних узлах слоев /с =1, 2..., ..., К. На- нулевом слое используется начальное условие (8.98), которое записывается в виде и';; = ср(х,, у,).
схемы для уравнения (8.97). Рассмотренные выше схемы легко обобщаются на двумерный случай. Построим явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис. 68. Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получаем следующее сеточное уравнение: и1!+~ — и~.
и~ . — 2и".. + и". и~ . — 2ии + и".. Н и 1+1 3 Ц 1 — 1 г К1-е1 "О "1Л-1 ~ьа 1 ~2 а 5 3. УРАВненил ВТОРОГО пОРЯДкА Значения и„, и1,, и;2, ива в граничных узлах вычисляются А Ь А А с помощь1о граничных условий. Блок-схема решения смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводпости изображена на рис. 69. Здесь решение хранится на двух слоях: нижнем (массив по) и верхнем (массив ив) .
Блоки граничных условий необходимо сформировать в зависимости от конкретного вида этих условий. Вывод результатов производится на каждом слое, хотя можно ввести шаг выдачи (см. рис. 56). Можно построить абсолютно устойчивую неявную схему для решения уравнения (8.97), аналогичную схеме (8.94) для одномерного уравнения теплопроводности. Аппроксимируя в (8.97) вторые производные по пространственным переменным на 1+1-м слое, получаем следующее разностное уравнение: и~+ — и~ и~+ — 2и~" + и~~ и~+ — 2и~+ + и~+ О 11 ~+1,Я П ' 1 — 1,1 + ьз+1 0 + 1,1 — 1 ~ 2 Ь2 '1 2 (8.103) Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое: А1 (и,"+,', + и;"Д,,) — (1 + 211 + 212) ии, ' + / 1+1 1+1 1 Й ' 2 + Х2 (111 ~ 1 + и~ ~+1~ = — ио, Х1 = т/61, ~ 2 т/~2> (8.104) 1 = 1, 2, ..., 1 — 1, у = 1, 2, , У вЂ” 1.
К этол системе уравнений нужно добавить граничные условия для определения значений сеточной функции в граничных узлах (т. е. При 1=0, 1; у =О, У). На нулевом слое решение находится из начального условия (8.98), представленного в виде (.8.102). Система (8.104), полученная для двумерного уравнения теплопроводностп, имеет более сложный вид, чем аналогичная система (8.94) для одномерного случая, которую можно решить методом прогонки.
Таким образом, распространение неявной схемы на многомерный случай приводит к значительному усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений. Недостатком явной схемы (8.99) является жесткое ограничение на шаг по времени т, вытекающее из условия Я 3. УРЛВНЕППЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 283 (8.100). Существуют абсолютно устойчивые экономичные разностные схемы, позволяюгцие вести расчет со сравнительно большим значением шага по времени (т гг) и требующие меньшего объема вычислений. Две из них будут рассмотрены в п, 3, 3. 11онятие о схемах расщепления. Основой построения рассматриваемых схем является разбиение расчета на одном шаге по времени, т. е.
перехода от /г-го к 1+1-му слою на отдельные этапы. Такие схемы называют схемалги расщепления или схелгами дробных шагов. Они сохраняют преимущества как явных схем (просто11 вычислительный алгоритм), так и неявных (возможность счета с большими значениями шага по времени) и лишены присущих этим схемам недостатков. Одной из таких схем, используемых для решения задач при наличии двух пространственных переменных, является схема переменных направлений (в литературе можно встретить также название продольно-поперечная схема), Суть этой схемы состоит в том, что шаг по времени т делится на два полушага. На первом из них вторая производная по одной из координат, например д'СЧдх', аппроксимируется на промежуточном слое 1+1/2, т. е.
используется неявная аппроксимация; в этом случае д'Иду' аппроксимируется на слое /г, т. е. явно. На втором полушаге наоборот, неявная аппроксимация используется только по направлению у. Соответствующая разностная схема для двумерного уравнения теплопроводности имеет вид 1+1/2 Ь 1+1/2 2 1+1/2 ~ 1+1/2 Й 0 И 1+13 И ' 1 11 11+1 О ' 11 — 1 2 + /2 й 2 (8,105) — '1иг'+1/2 +и~+1/2 иг'"+1 — 2ин+1-г- иг~ -"11 г — 1г 11+1 0 ~ 11 — 1 т/2 1+1 2 —,' 1/2 1+1/2 П О 1+17 т/2 й2 1 (8,106) Таким образом, вместо разностного уравнения (8.103) в чисто неявной схеме мы получили два уравнения, каждое из которых, по существу, соответствует неявной схеме по одному из координатных направлений.
Уравнения (8.105), (8.106) можно переписать в виде систем линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций соответственно в узлах 284 Гл. 8. уРАВнения с чАстными пРОизВОдными 1+ 1/2-го и й+ 1-го слоев: = (2А, — 1) иД вЂ” ?, (и';,+, + и;,,), (8,107) »+1 1+1 1+1 Х,и.;,, 1 — (1+ 2Х.,)и,, + ?.,и;,+1— Х, = т/(261~), Х., = т/(26. ), 1=1,2,...,1, ?=1,2,...,У. К этим системам уравнений необходимо добавить начальные условия в виде (8102), а также граничные условия на каждом из этих дробных по времени шагов.
Матрицы систем (8.107) и (8.108) трехдиагональные, и для решения этих систем мо;кет быть использован метод прогонки. При этом сначала необходимо решить систему уравнений (8.107), из которой находятся значения сеточной функции и„!'. Эти значения используются затем 1+1 1+1 для вычисления искомых значений ии из системы (8.108) .
Заметим, что диагональные элементы матриц систем (8.107) и (8.108) преобладают, поэтому выполняются условия устойчивости прогонки. Это также обеспечивает существование и единственность решения данных систем, т. е. разностного решения. Приведенная схема переменных направлений безусловно устойчива, она сходится со скор 0(й + ~1, + т'). Как уже отмечалось, рассмотренная схема весьма эффективна для случая двух пространственных переменных.
Однако на случай трех и более переменных она непосредственно не обобщается. Рассмотрим другой тип схем — локально-одномерные схемы. Их построение основано на введении на каждом шаге по времени промежуточных этапов, на каждом из которых записывается одномерная аппроксимация по одному из пространственных направлений. Многомерная задача «расщепляется» на последовательность одномерных задач по каждой из координат, Поэтому такие схемы называют схемами расщепления по координатам.
Заметим, что в подобных схемах отсутствует аппроксимация на каждом промежуточном этапе, т. е. на промежуточных этапах используемые одномерные разност- 5 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 285 ные схемы не аппроксимпруют исходное уравнение. Здесь имеет место лишь суммарная аппроксимация на слоях с целыми номерами. Погрешности аппроксимации промежуточных слоев при суммировании уничтожаются. Такие схемы с суммарной аппроксимацией называются аддитиеными. Схема расщепления по координатам для двумерного уравнения теплопроводности может быть записана в виде и,+ — '2и, + и,.
2 и" — и.. О 0 т ~2 и~+ — и. и~+ — 2и~+~ + и~+~ О О т211 Ц 43 — 1 Она фактически представляет собой двукратную неявную схему для одномерного уравнения теплопроводности: на первом этапе находятся вспомогательные значения й;;, на втором — искомые значения сеточной функй+ 1 ции и1;, Получающиеся системы уравнении имеют трехдиагональные матрицы и могут быть решены с помощью метода прогонки. Схема безусловно устойчива, / 2 2 она сходится со скоростью 0(61+ 62+ т). Из построения локально-одномерной схемы ясно, что она легко обобщается на случай произвольного числа переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
