Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 50
Текст из файла (страница 50)
2. Построить блок-схему решения смешанной задачи для одномерного линейного уравнения переноса с использованием неявной разностной схемы. 3. Модифицировать алгоритм решения двумерного уравнения переноса (см. рис, 56) для случая, когда число слоев К не является кратным Ь и необходимо вывести результаты на последнем слое. 4. Построить укрупненную блок-схему нахождения разрывного решения квазилинейного уравнения переноса с использованием метода с выделением разрыва. 5. Записать алгоритм решения квазилинейного уравнения переноса по схеме сквозного счета. 6.
Ьак изменится блок-схема решения волнового уравнения (см. рис. 65), если требуется с целью экономии памяти машины хранить не все результаты, а лишь значения сеточной функции на трех последовательных слоях? 7. Построить блок-схему решения смешанной задачи для одномерного волнового уравнения по неявной схеме. 8.
Построить блок-.схему решения смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности: а) с помощью явной схемы; б) с помощью неявной схемы. 9. Модифицировать блок-схему решения двумерного уравненпя теплопроводности (см. рис. 69) так, чтобы результатй выдавались лишь на каждом пятом слое по времени.
10. Построить блок-схему, решения задачи Дирихле методом установления. 11. Записать схему расщепления по координатам для: а) двумерного волнового уравнения; б) трехмерного уравнения теплопроводности. 12. Построить блок-схему решения смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности методом дробных шагов. 13. С помощью рассмотренных методов решения нестационарных задач путем ручного счета получить численные решения на первом слое при конкретных исходных данных. Для двумерного уравнения Лапласа по начальному прибли.кению получить решение на первой итерации в узлах сетки.
ГЛАВА 9 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 1. Постановка задач 1. Вводные замечания. Интегральным уравнением называется такое уравнение, неизвестная функция в котором содержится под знаком интеграла. В общем случае интегральное уравнение имеет вид ~К (ж, г, у~к))Шг — ~(х, у(х)), а а ( х ( Ь, (9.1) можно представить в виде интегрального уравнения Таким образом, интегральное уравнение содержит полную постановку задачи, и дополнительные условия (на-. чальные или граничные) для него задавать не нужно, Отметим еще одно преимущество интегральных уравнений, Уравнение (9.1) записано для случая одной независимой переменной х, Однако легко записать его мно гомерный аналог при наличии независимых переменных Здесь х — независимая переменная, у (х) — искомая функция, К(х, в, у) — ядро интегрального уравнения, ~(х, у) — правая часть уравнения, в — переменная интег рирования.
К интегральным уравнениям приводят многие инже. нерные задачи (в радиотехнике, газовой динамике, квантовой механике и т. п.). Интегральная форма уравнений движения в виде законов сохранения используется также и при построении консервативных разностных схем для некоторых типов задач (в частности, в механике сплошной среды) . Для решения некоторых задач удобнее использовать интегральные уравнения, чем дифференциальные. Например, постановку задачи Коши йуЯх = ~(х, у), у(х,) = у, з 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ (9,4) ху, ху, ..., х„.
Для некоторой области С в рассматриваемом и-мерном пространстве многомерное интегральное уравнение можно записать в виде г г К(Хтя у * я Хууу Вуу ' ' ° г Впя У (Вуя ' ° у Вп)) ~~ВЛ я ° ° яхзуу = 1(х„..., х„, у (х„,, х„))„ Методы решения о~дномерных уравнений естественно Обобщаются на случай многомерных интегральных уравнений (одномерные интегралы заменяются многомерными).
В то же время при рассмотрении дифференциальных уравнений переход от одномерного случая (обыкновенные уравнения) к многомерному (уравнения с частными производными) требует совершенно других подходов и методов решения. 2. Виды интегральных уравнений. Ограничимся рассмотрением одномерных уравнений (9.1). Приведем некоторые частные случаи таких уравнений, которые, с одной стороны, важны в практических приложениях и, а другой стороны, наиболее изучены.
Уравнения (9.1), в которые искомая функция входит линейно, называются линейными интегральными уравнениями. Одним из них является уравнение Фредгольма первого рода: ь )гК(х, г)у)г) ах = )~х), а(х(У. (9.2) а Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид ь у(х) — Л) К(х, я)у(г) я)г )[х), а(х(у. я9.3) а В уравнениях Фредгольма ядро К(х, в) определено и ограничено на квадрате а < х < Ь, а --= в = Ь. Если К(х, в) = О при х< в, т. е, ядро отлично от нуля только на треугольнике а < в < х, а < х < Ь, то уравнения (9,2)' и (9.3) переходят в уравнения Вольтерра соответственно первого и второго рода: Х ) К (х, г) у яг) Уя = г (х), а Х у(х) — ЛК(х, г) у(я) Уг )(х), (9,5) Ч Гл. 9.
интегРАльные уРАВнения Ыы будем рассматривать задачи для уравнений второго рода. Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленными. Их рассмотрение выходит за рамки' данного краткого курса. Заметим лишь, что для решения некорректных задач, т. е. уравнений (9.2) или (9.4), могут быть использованы методы регуляризации. Если правая часть уравнения (9.3) равна нулю, то получается однородное уравнение Фредгольма второго рода, которое можно записать в виде у(х)= ) ~ К(х, х)у(я)хх, х(х(у, ())6) а Это уравнение допускает нулевое (тривиальное) решение у(х)= О.
Для него может быть поставлена задача на собственные значения. Параметры Хь при которых уравнение (9.6) имеет отличные от нуля решения у = гр, (х), называются собственными значениями ядра К(х, в) или уравнепия (9.6), а отвечающие им решения гр; (х) — собственными функциями. Теорема Фредгольм а. Если Х не является собственным значением ядра К(х, в), то неоднородное уравнение (9.3) имеет единственное непрерывное решение у(х) при х ~ [а, Ц; в противном случае данное неоднородное уравнение или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество.
Б практических приложениях важную роль играют уравнения Фредгольма второго рода с вещественным симметричным ядром К(х, 8), т. е. когда К(х, 8) = К(в, х). Симметричное ядро обладает следующими свопствами: 1) симметричное ядро имеет хотя бы одно собственное значение; 2) все собственные значения симметричного ядра действительны; 3) собственные функции а);(х) симметричного ядра ортогональны, т. е. ) ух (х) у,:(х) = О, а Уравнение Больтерра (9.5) не имеет собственных зна ченпй.
Соответствующее однородное уравнение, т, е. при ~(х) = О, имеет только тривиальное решение у(х) = О. Сле- 5 2. методы Решения 295 довательно, неоднородное уравнение (9.5) всегда при любом значении Х имеет. решение, и при том единственное. Итак, основными задачами для рассматриваемых интегральных уравненйй являются: 1) нахождение решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра Х; 2) вычисление собственных значений и отыскание соответствующпх им собственных функций однородного пнтегрального уравнения, 5 2. Методы решения 1.
Методы последовательных приближений. Это простейшие методы решения интегральных уравнений, использовавшиеся еще задолго до появления вычислительных машин. ' Рассмотрим уравнение Фредгольма, записав его в виде ь. у(х) =((х) г- Л ) К(х,,г) у (г)Нг. (9.7) В дальнейшем под уравнением Фредгольма и Вольтерра будем подразумевать соответствующие уравнения второго рода. Для решения уравнения (9.7) построим птерацпонный процесс, аналогичный методу простой итерации для пелинейного уравнения. Пусть д,(х) — начальное приближение искогмой функции у(х) (на практике обычно полагают у,(т) = 0).
Тогда, подставляя Ч,(х) в правую часть уравнения (9,7), получаем выраженно для первого приближения: ь у,(х) = )(х) -(- Л) К(х, г)у, (г) гг. а Аналогично, подставляя найденное приближение в подынтегральпое выражение, находим у,(,х) и т. д. Для люоого )с+ 1-го приближения получим ь и„.„, (~) = У(.
) + ) ~ К (~, ) уь (.) Ь, Ь = О, 1, ...;9,8) При достаточно малом значении !Х,! п ограниченном ядре К(х, 8) этот итерационный процесс сходится равномерно по т, причем зта сходпмость линейная. Достаточное Ъ ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ условие сходимости имеет вид ЛХ ~ 1 ~(б — а) (1р ЛХ = шах~К(х, г) ~. (9.9) Одним из вариантов метода последовательных приближений является метод, в котором используются степенные ряды.
Он состоит в том, что искомое решение у(х) разлагается в ряд по степеням Х: у (х) = ~~ х, грА (х), к=о (9.10) Подставляя это разложение в исходное уравнение (9.7) и приравнивая выражения при одинаковых степенях ?~, получаем следующие рекуррентные соотношения: Ь еро(х) = !(х), ср~~х) = р рр(х, ь)кр„,~к)А, 7с = р, 2р ... а (9. И) При ограниченных К(т, 8) и ~(х) ряд (9.Ю) сходится, если выполняется условие (9.9).
Среди других приближенных методов отметим метод аппроксимации ядра данного интегрального уравнения вырожденным ядром. Вырожденныль ядром уравнения Фредгольма называется ядро, которое может быть представлено в виде суммы конечного числа членов: т. е. каждый член разложения можно представить в виде произведения функций одной переменной гр; (т) и ф(г).
Вырожденное ядро имеет и собственных значений. С помощью такого ядра в ряде случаев удается аппроксимировать ядро данного уравнения, и решение полученного аппроксимирующего уравнения принимается в качестве приближенного решения исходного уравнения, Для решения интегральных уравнений используется также метод моиентов, основанный на использовании метода Бубнова — Галеркпна. Здесь, как и при замене ядра вырожденным, для приближения решения строится аппроксимирующая система функций. Минимизация не- вязки аппроксимирующего уравнения проводится путем ее ортогонализации к координатным функциям.
5 2. методы Решения 297 В практических вычислениях рассмотренные методы сейчас используются сравнительно редко, поскольку при сутствующпе в аппроксимирующих выражениях (9.8)' или (9.11) интегралы, как правило, не удается непосред ственно вычислять в элементарных функциях. Однако эти методы полезны для нахождения первых приближе. ний к решению. 2. Численные методы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
