Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Этп методы называют также квадратурными. Онп основаны на использовании формул численного интегрирования для вычисления определен» ных интегралов, входящих в интегральные уравнения. Численные методы получили особенно широкое распро страненпе в связи с внедрением ЭВМ, хотя эти методы можно использовать и в ручном счете при небольшом числе узлов.
Численные методы могут применяться для решения как линейных, так и нелинейных интеграль ных уравнений.. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение вида ) К(ху гуущуг = )(х, уф), а(х(Ь, (912) а Разобьем отрезок [а, 6] на части точками х, = й (~=О, 1,, и). Заменим интеграл в уравнении (9.12)' некоторой квадратурной формулой с помощью значений сеточной функции и, в узлах: уу ,~~ с,Х (х;, х;, и;) = ~ (х,, и;), 1 = 1., 2, ..., п, (9.13) где с; — коэффициенты квадратурной формулы численного интегрирования. Мы получили систему нелинейных алгебраических уравнений. Решая систему (9.13), получаем значения сеточной функции в выбранных узлах отрезка (а, Ь1. Для практического решения этой системы можно использо~ вать рассмотренные ранее методы, например метод Нью» тона (см. гл. 5, з 3). Вопрос о сходимости сеточного решения и; к значе~ ниям искомой функции у (х;) при и — может бытту рассмотрен лишь для конкретного вида интегрально уравнения.
В общем случае сходимость численного метоУ да исследовать трудно, гл. О. интеГРАчьные ъРАВпенпя 298 Рассмотрттм линейные интегральные уравнения. Запишем сеточное выражение (9.13) для однородного уравнения Фредгольма: и, = Х ~ с,К (х;., хп и;. Запишем это выражение в виде с;Х(х,-, х;)и, = — и,:, ~Р 1=1 (9.14) 1 = 1, 2, ..., л. Система линейных уравнений в таком виде описывает задачу на собственные значенпя матрицы А, элементами которой являются числа а,.;=с,К(х,, х;) (см. гл. 4, 5 4, и. 4). Матрица А имеет и собственных значений, которые являются приближениями к собственным значениям однородного уравнения Фредгольма. В случае неоднородного уравнения Фредгольма вместо однородной системы (9.14) получим следующую систему лпнейных алгебраических уравненнй; и и, — Х „~ с.;К (х,, хт) и; = ~ (х,), у = 1, 2, ..., и.
(9.15) 1 — 1 Эта система уравнений может быть решена одним из рассмотренных ранее методов (см. гл. 4), например методом Гаусса. В соответствии с теоремой Фредгольма (см. $ 1, п. 2) параметр Х не должен быть равен ни одному из собственных значений. Если он попадает в окрестность некоторого собственного значения, то система (9.15) становится плохо обусловленнотт, и сеточное решение.
может сильно отличаться от искомых значений Их,). На практике обычно собственные значения ингегрального уравнения неизвестны, поэтому ограничиваются исследованием практической сходимости. Оно состоит в проведении серии расчетов со сгущаюшейся сеткой. Если при этом наблюдается сходимость сеточных значений, то в качестве искомого решения принимаются результаты последнего расчета на густой сетке. При решении уравнения Вольтерра система линейных алгебраических уравнений (9.15) имеет треугольный вид, и она легко решается последовательным нахождением значений ит (по аналогии с обратным ходом метода Гаусса), й 2.
Мктоды Решкния 299 у ге) — ).) е ~* * у ге)аг = х, о (9.16) Используя рассмотренные выше методы, нужно найти значения искомой функции у(х) на отрезке (О, 11, Р е ш е н и е. Для применения нтерационного процесса (9.8) для приближенного решения данного интегрального уравнения примем в качестве нулевого приближения у,(х) =О. Тогда у,(х) = х <- Х ) е '*~'уг~а) уг = х. о Подставляя полученное приближение у, = г (й = 1) в (9.8) и используя формулу интегрирования по частям 1 1 ) иаа = иг )г — ) ауиг получаем следующее приближение к решению. 1 1 у,гх) х+11ге ~ егуг=х — )ге '"+*')г -у).1е '"'"аг о о Аналогично находим 1 уг (х) х .г 1 1 е и уг гг) уг = х + )е * (а ), + аг)), о (9.17) а, = 1 — 2е-', а, = (1 — 2е ' — е-'+ 2е ')/2.
В данном случае можно построить любое приближение к решению уравнения (9,16). Сходимость данного Рассмотренный подход можно использовать и для решения многомерных интегральных уравнений. При этом в многомерной расчетной области значительно возрастает число узлов. Для решения таких задач требуется большой объем памяти ЗВМ; системы уравнений в этих случаях более целесообразно решать итерационными методами. П р и м е р.
Пусть задано уравнение Гл. 9, интегРАльнык уРАВнения итерационного процесса оценивается с помощью условия (9.9), которое дает ограничение на параметр Х.: !Х! с 1![М(Ь вЂ” а)). (9.18)' Для рассматриваемого примера имеем Ь вЂ” а=1, ЛХ=(пах!К(х, е)! =шахе ('+'~ = 1, Следовательно, из (9.18) получаем условие !Х! с1. Если для решения уравнения (9.16) использовать метод степенных рядов. то искомую функцию нужно представить в виде (9.10), а из рекуррентных соотношений (9 11) находим члены разложения (Ро (т) = У (~) = ~ 1 1 ег,(г) — ~ к (г, геег, (г)ыг = 1 ге '"г'ег = е "— ге '*+", о о 1 1 еег (г) = 1 гг (г, гг ег (е) ыг = 1 е '*г' (е ' — 2е "г~ ~ ыг о 1 -х — (х-(-1) 1 -(х+9) -(х+3) 2 — — е ' +е 2 1 Подставляя вычисляемые значения с~;(х) в выражение (9.10), находим приближенное значение для искомой функции у(т).
Результаты совпадают с полученным ранее выражением (9.17). При !Х,! <1 ряд (9.10) сходится к искомому решению. 5 3. Сингулярные уравнения 1. Сингулярные интегралы. Рассмотренные выше интегральные уравнения содержали неособые интегралы, подынтегральная функция которых определена и непрерывна на отрезке интегрирования. Однако при решении ряда практических задач приходится сталкиваться с , уравнениями, содержащими несобственные интегралы. Рассмотрим некоторые виды интегралов,,имеющих непосредственное отношение к решению практически важных интегральных уравнений. Эти интегралы представияют также и самостоятельный интерес. е 3.
СИНГУЛЯРНЬГЕ УРАВНЕНИЯ Пусть подынтегральная функция 1(х) интеграла ь ) )1х) 1х о (9.19) обращается в некоторой точке с отрезка ~а, Ь] в бесконечность, т. е. 'интеграл несобственный. Тогда его можно попытаться вычислить следующим образом: ь с — е1 ь ) 11х) Нх = 11т ) ))х)Ых -1- 1[т ) )1х)Ых. 19.20) а е1- О 0 ее +О с)-е. Здесь е„е. — некоторые положительные числа, которые стремятся к нулю независимо друг от друга. Если выра-' жения в правой части (9.20) существуют, то несобственный интеграл (9.19) сходится. При решении ряда прикладных задач встречаются несобственные интегралы вида ь — с~[а, Ь|. (9.21) о В соответствии с (9.20) можно записать ь с — е — = 11П1 — + 11п1 а 1 а 2 с+е е- о е-о 2 е.
=11Щ 1п 1 +11Щ 1пь с, е-о с — а е-о. е 1 2 2 Поскольку оба предела равны бесконечности, то интег рал (9.21) здесь является расходящимся. Однако этот интеграл можно понимать и в другом смысле, полагая е, = ее = е. В этом случае 11ш — + ь = 11ш (1п е-хо ), е Ь вЂ” с1 Ь вЂ” с Ь вЂ” с, — + 1п — ) = 11ш 1п — = 1п —.' (9.22) с — а е ) с — а с — а' е- о Интеграл в таком смысле называется интегралом в смысле главного значения по Коши или сингулярным интегралом. гл. 9. интегРлльные уРлвнения Аналогично можно ввести интегралы более общего вида ь с — е Ь у (х) Их, ( у (х) с~х ( у(х) Нх =Нгп ~ ' + ) х — с ,) х — с ,) х — с е-+о а а с+с Оказывается, что в таком смысле интеграл существует при люоой функции у'(х), которую можно представить в виде с(х) = ~,, ~(1, п(1, (х — а) (Ь вЂ” х) ~с Здесь функция сс(х) удовлетворяет некоторому условию, называемому условие.и Гельдвра степени к на отрезке [а, Ь~, которое состоит в том, что для любых двух точек х„х, этого втрезка ~~(х,) — сс(хе) ~ ~~ А (х, — х,), 0(и~1, А =сопй.
В этом случае говорят, что Яункиия сс(х) принадлежит классу Н'(сс): ср(х) ~ Н(сс). В ряде приложений встречаются также интегралы вида 2Л у(8) с1д — ИО, ~ е:= (О, 2л1, у(0) е= Н(сс). (9.24) 0 Такие интегралы называют интегралами с ядром Гиль- берта. Они существуют в рассмотренном выше смысле, т. е.
как сингулярные. Для сингулярных, интегралов, как и в случае определенных интегралов, справедлива формула замены переменной х = х(1), однако производная х (с) должна принадлежать классу О в окрестности точки с = х(г,). Например, при любом значении с о= ( — 1, Ц имеет место тождество 1 Это то'кдество можно получить, сделав в левой части дробно-линейную подстановку ~ = )'(1 — х)/(1+ х).
Я 3. СПНГУЛНРНЫЕ УРЛВНЕЕ1ИЯ Тогда 1 О0 о / 1 —,ю Йь ( 8 Ы1 — ) (1+Р)(Р~1+ ) — (1 )] 1 о 1 — с 1 ~/1+ с — ~/'1 — с о о Рассмотрим вопросы, связанные с построением методов численного интегрирования для рассматриваемых особых случаев. Оказывается, что исходя из самого определения сингулярного интеграла (вырезается симметричная окрестность точки, в которой он вычисляется), можно построить простую формулу типа прямоугольников для вычисления сингулярных интегралов. Пусть надо вычислить сингулярный интеграл на отрезке ~ — 1, 1] в точке с.
Возьмем равноотстоящие точки х„х„..., х„такие, что точка с делит пополам отрезок между ближайшими к ней точками из этого семейства. При зтом крайние точки х, и х„лежат на расстоянии не менее полушага от концов отрезка, Тогда и пользуются формулой 1 и у (х) Их '%~~ у (с~) Ь 7, -1 й т т=0,1, ...,и, Для интеграла с ядром Гильберта (9,24) используют следующую квадратурную формулу, Возьмем два семей- Разность между точным значением интеграла и значением полученной квадратурной суммы есть величина порядка 1п и!и', если ср(х) ~Н(к). .
В приложениях, как правило, такие интегралы надо вычислять сразу в большом количестве точек, равномерно расположенных на отрезке [ — 1, 1]. Позтому выбирз,1рт два семейства точек: х,= — 1+Ы1, 6=2I(и+1), /с=1, 2, ..., и, с, = х, + Ы2, Л = О, 1, ..., и, 304 Гл. 9, интеГРАльные уРАВнения ства точек: О„= й (2л/и), ~„= О, + л/п, /с = О, 1, ..., п — 1. Тогда 2и и-1 и .Π— Р - 2л Π— ~ у(О) сС~, ЫО М,,'~ — у (О~) с1и —" О й=-о т=0,1, ...,п — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
