Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1 и т (х) ах ~р О),9 (х),) х — с х — с, — ж~ т-12... п — 1 1 1 ' -' '-1 1 1 )(х) ~ ~ (т)ы Н(а), 2й — 1 х),— соз л, /с — 1 2,...,п, шл с, =сое —" й и' т = 1,21...хп — 1, а~ = л/п, /с = 1, 2, ..., п. Если ~(х) = ))1 — х' с~(х), й х), сов — л и+1 2и) — 1 Си) = сОБ л. 2 (и+ 1) л ., й аА — з1п2 — л и+1 и+1 й = 1, 2...
„ и, т ='1...„п+ 1, Если Если функция ) (О) принадлежит Х7 (я) на отрезке (О, 2л] и периодическая, то разность интеграла и суммы для любого т есть величина порядка 1п и/и". Если же п нечетно и ~" (О)~ Н(к), то зта разность будет величиной порядка 1В п/и'+". Для интеграла на отрезке в частных случаях можно также указать простые квадратурные 4ормулы типа Гаусса, дающие хорошую сходимость: о 3. СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 305 то 2/с сою — )т 2и+ 1 2т — 1 сов — л 2л+ 1 4л 2)) + 1 2п -1- 1 — з(по — л, А=1,2,,„п, и 1121 ..„и,, 1 =1,2...„п, 2.
Численное решение сингулярных интегральных уравнений. Рассмотрим следующие сингулярные интегреальные уравнения первого рода; ч/1+ х Если в уравнении (9.25) К(с, х)=0, то оно называ ется характеристических. Его решения даются формулой 1 ~ (с) (1с о)„(с) с — х -1 Ук (Х) — — 1О, (Х) 1 где ~ =$, ъ, ~-,=О, С вЂ” произвольная постоянная.
2() Л, и, ттрчак — + К(с, х) 7(х) с(х = )'(с), (9.25) -1 -1 2к 2)1 — ) у(6)сйд — дй ~-~ Кф, В)((8)Ю ((р). (9.26) о о Здесь функции Х(Ь, 8), ~(р) принадлежат классу Н((х) соответственно на отрезках ~ — 1, 1~ и [О, 24, причем они периодические по обеим переменным с периодом 2)т. Решение уравнения (9.25) не единственно. Это уравнение может иметь три типа решений, называемых решенияхи индекса к (х =1, О, — 1), Они имеют вид "(„(х) = в„(х)гр(х), ч,) ~ — х г— о)1 (х) ас(Х) = 1)' — х, О1 1(Х) = У 1 — Х'. 1 — х Функция (р(х) принадлежит классу Н на отрезке ~ — 1, 1].
Функцию (о„(х) называют весовой функцией решения данного индекса, Для нулевого индекса весовая функция может иметь вид Гл. 9, пнтегРАльные мРАВНГния зоб 11ри к =1 единственное решение выделяется заданием значения интеграла 1 ~т,ы~ =с При к = — 1 функция т, (х) является решением харак- теристического уравнения только при условии В силу зтого предполагают, что исходное уравнение имеет единственное решение индекса 1 при заданном значении интеграла от решения, единственное решение индекса О и единственное решенье индекса — 1 при ус- ловии 1 7'(с) — К (с, х) у(х) 0х — 1 ' — = О. (9.27) 1т 1 — с п 1 Х А=-1 7п (хй) " + ~ К(ст,х~) уп(х~) Ь = ~(с ), т = 1, 2,; ...
п — 1,, и ,~~~ уп(х~)й = С; для к =О: 1 Ь ~.(х,) Ь вЂ” + ~~ К (ст ~ хп) 7п (хй) Й = '~ (ст) . ~п т т=1,2, ..., а — 1; Для решения рассматриваемых сингулярных интегральных уравнений существует метод дискретных особенностей, основанный на приведенных выше квадратурных формулах. Он сводит задачу к решению систем линейных алгебраических уравнений. Приведем зти системы для случая равномерного расположения точек. Для к =1 получается следующая система линейных алгебраических уравнений: 2 3. СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 307 для х= — 1: т„ (х ) й 72и + ~~~ " + ~~~ К (ст~ хд) 7и (хд) ь = ~(сш)1 'д=,*д-- т = О, 1, ..., и. и и 1 ч~~ ~д ~и (~д) — + ~~ адК (с, хд) гни (хд) = ~ (ст),. д тл т=1,2,...,п — 1,- ,"~, адни (хд) = С, д=1 л 2й — 1 ад = — Хд = СОВ Л, п ! 2п тл с,„= соз — ' и' для х=О: и и дт.( ) — + . адК(с, хд) гги (хд) /(с,„), д=1 т =1.2,.-.,п, 4л, 2 й 2Д 2т — 1 ад = — з(п' — л, хд = соз — л, с,„=сов — л; 2п+ 1 2п+ 1" ' 2п+ 1 ' 2п+1 для х= — 1: и и 1 ч" 'д~ (' ) 7„, + —, +, адК (с, хд) гр ( д) = 1 (с ), ~д — Сд, т=1,2.....,п+1, 2 д 2т — 1 ад = — з1п2 — л, хд = сов — л, с„= сов — л.
и+1 и+ 1 -' и+1' ™ 2(п+1) 20" В последней системе т,„называется регуляризируюи2ей переменной, причем („„- О прп и — с тогда и только тогда, когда выполняется условие (9.27). Таким образом, величина т,„в расчете является индикатором его правильности. Если использовать неравномерное разбнение, то системы линейных алгебраических уравнений примут впд: для х=1: Гл. 9. интеГРАльные уРАВнения Для характеристического уравнения (9.26) с ядром Гильберта при условии 2Л ~ 1Ф)Ф=о о решение дается формулой 2Л ~(6) = — — 2„1 ЛР) ~Д вЂ”, Ф+С ~ Г р †о ГДЕ Задание значения интеграла выделяет единственное решение. Поэтому будем предполагать, что уравнение с ядром Гильберта при известном значении интеграла имеет единственное решение.
Для численного решения получается следующая система линейных алгебраических уравнений: 6к ~п (6~) с$Я 2 + К(Р,6,) ~„(6„) = У(Р„), т = О, 1,,, 2п, , ',,~ т„<в,>= с. й.=о Приведенные системы линейных алгебраических урав-. нений метода дискретных особенностей могут быть иснользованы для вычисления значений у(х,), ~(х,), ~(6,) в расчетных точках, которые аппроксимируют значения искомых функций ((х), ср(х), "((6), описываемых сингулярными интегральными уравнениями (9.25), (9.26).
2и+1~ ~=о А=о 2Л вЂ” ~ ~(6)В=С. ~ Г 2л ~ о СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Аоки М. Введение в методы оптимизации; Основы и приложения нелинейного программирования/Пер. с англ.— М.: Наука, 1977. 2. Бахвалов Н. С. Численные методы.— М.: Наука, 1975. 3. Белоцерковский О.
'М. Численное моделирование в ме- ханпке сплошных сред.— М.: Наука, 1984. 4. Белоцерковский О. М., Давыдов 10. М. Метод крупных частиц в газовой динамике.— М.; Наука, 1982. 5. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К, Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях.— М.: Наука, 1985. 6. Бе рези н И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений.— Т. 1.— М,: Наука, 1966; Т. 2.— М.: Физматгиз, 1962. 7. Воеводин В. В.
Вычислительные основы линейной алгебры.— М,: Наука, 1977. 8. Волков Е. А. Численные методы.— М.: Наука, 1982. 9. Годунов С.К., Забродин А.В„ Иванов М.Я., Крайко А. Н., Про кои он Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики.— М.: Наука, 1976.
10. Год уно в С, К,, Ря оен ький В. С. Разностные схемы.— М.: Наука, 1977. 11. Дробышевич В. И., Дымников В. П., Ривин Г. С. Задачи но вычислительной математике.— М.: Наука, 1980. 12. До роди ицын А. А. Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости.— М.: ВЦ АН СССР, 1969. 13. Дьяченко. В. Ф. Основные понятия вычислительной математики.— М.: 11аука, 1977. 14. Евтушенко Ю.
Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.— М.: Наука, 1982. 15. 3 е н к е в и ч О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975. 16. Калиткин Н, Н. Численные методы.— М.: Наука, 1978. 17. Кестенбойм Х. С., Росляков Г. С., Чудов Л. А. Точечный взрыв: Методы расчета. Таблицы.— М.: Наука, 1974.
18. К а р м а н о в В. Г. Математическое программирование.— М.: Наука, 1986. 19. Ко веня В, М., Яненко Н. Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики.— Новосибирск: Наука, 1981. 20. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П, И. Вычислительные методы.— Т. 1. 2.— Мл Наука, 1976 — 1977. 21.
Ляшко И. И., Макаров В Л., Скоробогатько А. А. Методы вычислений.— Киев: Высшая школа, 1977, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 310 22. Мак-Кр акен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране.— М., 'Мир, 1977. 23. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии,— М,: Наука, 1985. 24. Марчук Г, И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды,— М.: Наука, 1982.
25. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики.— М.; Наука, 1980 26 27 зилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.— Наука, 1978. 38. Р о у ч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980. 39 40 41 42 43 44 45 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Марчук Г.
И, Численные методы в прогнозе погоды.— Лл Гидрометеоиздат, 1967. Марчук Г. И,, Лебедев В. И. Численные методы в тео- рии переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1971 М и х л и н С. Г, Численная реализация вариационных мето- дов,— М.: Наука., 1968. Н а Ц. Вычислительные методы решения прикладных гранич- ных задач.— М.: Мпр, 1982. Н и к о л ь с к и й С. М.
Квадратурные формулы.— М.: Наука, 1979. О д з н Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.— М.; Мир, 1976. О р т е г а Дж., Р е й н б о л д т В. Итерационные методы ре- шения нелинейных систем со многими неизвестными.— М,: Мир, 1975. П об едря Б. Е.
Численные методы в теории упругости и пластичности.— М.: Изд-во МГУ, 1981. П ус ты л ь ни к Е. И. Статистические методы анализа и оора- ботки наблюдений.— М,: Наука, 1968. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах.— М.: Наука, 1975. Рихтм ай ер Р., Мортон К.
Разностные методы решения краевых задач.— М.: Мир, 1972. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н, Системы ква- Ряоенький В. С., Филиппов А. Ф. Оо устойчивости разностных уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956. Самарский А. А, Введение в численные методы.— М,: Нау- ка, 1982. С ам арский А, А. Теория разпостпых схем.— М.: Наука, 1983. Самарский А. А., Гулин А, В. Устойчивость разностных схем.— М.: Наука, 1973.
С ам арский А. А., Н иколае в Е. С, Методы решения сеточных уравнений.— М.. 'Наука, 1978. С ам ар сна й А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы га- зовой динамики.— М.: Наука, И80. С е г е р л и н д Л. Применение метода конечных элементов.— М.: Мпр, 1979. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 311 46. С о б о л ь И. М. Численные методы Монте-Карло.— М.: Наука, 1973.. 47. Стечкин С. Б., Субботин 10. Н. Сплайпы в вычислительной математике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
