Турчак Л.И. Основы численных методов. Под ред. В.В.Щенникова (1987) (1095857), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналитические методы полезны не только тем, что дают возможность получать оощие решения, которые могут быть использованы многократно. Они имеют также огромное зпаченпе для построения численных методов. Проверка разпостных схем на известных решениях простейших уравнений позволяет оценить эти схемы, выяснить их сильные и слабые стороны.
Данная глава посвящена численным методам решения задач для уравнений с частными производными. Это основной класс методов, с помощью которых в настоящее время решаются прикладные задачи, моделируемые уравнениями с частными производными. Численные методы требуют наличия ЭВМ большой мощности, т. е.
обладающих большим объемом памяти и высокой скоростью вычислений. Среди численных методов широко распространенными являются разностные методы. Они основаны на введении некоторой разностной сетки в рассматриваемой области. Значения производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгеораических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему уравнений, можно найти в узлах сетки значения сеточных функций, которые приолиженно считаются равными значениям искомых функций. Излагаемые в этой главе численные методы применимы к различным типам задач.
Мы будем рассматривать лишь достаточно узкий класс задач для уравнений первого и второго порядков, линейных относительно производных. (Напомним, что порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной.) 24О гл. в. уРАВпппе1я с '1лст11ыз1и пРоизводными В случае двух независимых переменных х, у эти уравнения можно записать в виде д~и д и д и ди ди а —, + 2Ь вЂ” + с —, + а1 —. + е — + ~и = д.
(8.1) диду д, 2 дх ду называемое уравнением переноса. На практике в этом уравнении одной из переменных может быть время ~. Тогда его называют также эволюционным уравнением. Если хотя бы один из коэффициентов а, Ь, с отличен от нуля, то (8Л) является уравнением второго порядка. В зависимости от знака дискриминанта е? = Ь' — ас оно может принадлежать к одному из трех типов: гиперболаческому (1? = 0), параболическому (й = О) или эллиптическому (1'.? ~ 0). Приведем примеры уравнений с частнымп производными второго порядка, которые будем в дальнейшем рассматривать: волновое уравнение (гиперболическое) д и ~д"и д1 2 дх~ (8,3) уравнение теплопроводности или диффузии (параболическое) ди ди — =а —, а)0; д1 ' д,.21 (8.4) уравнение Лапласа (эллиптическое) дйи д и —,,+ —,,=О.
дхэ ду (8,5) Здесь и = и(х, у) — искомая функция. Коэффициенты а, Ь, с, д, е, ~ и правая часть д, 'вообще говоря, могут зависеть от переменных х, у и искомой функции и. В связи с этим уравнение (8.1) может быть: а) с постоянныъ1и коэффициентами; б) линейным, если у линейно зависит от и, а коэффициенты зависят только от х, у; в) квази- линейным, если коэффициенты зависят от и; это самый общий вид уравнения (8.1). Существуют различные виды уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами. Рассмотрим некоторые из них.
При а = Ь = с=~=О, ИФО, е~О получается уравнение первого порядка вида ди ди +Р =Ч (8. 2) я 1, элементы теОРии Рлзностных схем 241 Если правая часть уравнения (8.5) отлична От нуля, то оно называется ггравненггел Пуассона. Приведенные уравнения называются ~гравнениямгг лгатематичеекой физики. К их решению сводятся многие прикладные задачи. Прежде чем переходить к обсужденигп численных методов решения указанных уравнений, рассмотрим основные вопросы построения разностных схем. 2. 0 построении разностных схем. Как уже отмечалось, построение разпостных схем решения уравнений с частными производными основано па введении сетки в рассматриваемом пространстве. Узлы сетки являются расчетными точками. Пример простейшей прямоугольной ооласти С(х, у) с границей Г в двумерном случае показан на рпс. 44.
Стороны прямоугольника а ='х< 6, с ~ у ~ д делятся на элементарные отрезки точками х, = а+ гйг (г = О, 1, ... ..., 1) и у, ='с+!й, (г = О, 1, '., 1). Через эти точки проводятся два семейства координатных прямых х = сопз$ и у =сопела ооразующих сетку с прямоугольной ячейкой. :1юбой узел этой сетки, номер которого (г, г), определяется координатами (х;, у,). г,г'- 1,г+1 1, /, А 1 г',,„г, г1 Рис.
45. Элемент сетки Рис, 44. Прямоугольная сетка Аналогично вводятся сетки для многомерных областей, содержащих более двух йзмерений. На рис, 45 показан элемент сетки в виде прямоугольного параллелепипеда для трехмерной области. Прямоугольные сетки наиоолее удобны прн организации вычислительного алгоритма. Вместе с тем некоторые схемы используют сетки с треугольными и даже шестиугольными ячейками. 40 л.
и, ттрчак 242 гл. 8. 5"Равнения с члстныап1 пРОизВОдными Узлы сетки, лежащие на границе Г ооластп 6, называются граничными углаз1и. Все остальные узлы — внутренними. Поскольку начальные и граничные условия при постановке задач формулируются на границе расчетной области, то их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Иногда граничные точки области не являются узлами сетки, что имеет место для ооластей сложной формы. Тогда лиоо вводят дополнительные узлы на пересечении координатных линий с границей, лпоо границу приолиженно заменяют ломаной, проходящей через близкие к границе узлы.
На эту ломаную переносятся граничные условия. ®" Рис. 46. Преобразование расчетной области В ряде случаев сложные криволинейные ооласти с помощью перехода к новым независимым переменным удается свести к простейшему виду, Например, четырехугольную область С, изображенную на рис.
46, можно привести к единичному квадрату С' путем введения новых переменных ~, т) Вместо т, у с помощью соотношений у — $. (х) о~~ч<~. К новым переменным нужно йреооразовать уравнения, а также начальные и граничные условия. В области С' можно ввести прямоугольную сетку, при этом в области 6 ей будет соответствовать сетка с неравномерно расположенными узлами и криволинейными ячейками.
В дальнейшем при построении разностных схем мы для простоты будем использовать прямоугольные сетки 9 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 243 (или с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов в трехмерном случае), а уравнения будем записывать в декартовых координатах (х, у, з). На практике приходится решать задачи в различных криволинейных системах координат; полярной, цилиндрической, сферической и др. Например, если расчетную область удобно задать в полярных координатах (г, ~р), то в ней сетка вводится с шагами Лг и Лср соответственно по радиус-вектору и полярному углу.
Иногда и в простой расчетной области вводят неравномерную сотку, В частности, в ряде случаев необходимо проводить сгущение узлов для более точного расчета в некоторых частях рассматриваемой области. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения задачи (например, в зависимости от градиентов искомых функций), Для построения разпостной схемы, как и в случае ооыкновенных дифференциальных уравнений, частные производные в уравнении заменяются конечно-разностными соотношениями по некоторому шаблону (см.
гл. 3, ~ 1). При этом точные значения искомой функции Г заменяются значениями сеточной функции и в узлах разностной сетки. В качестве примера построим некоторые разностные схемы для решения уравненпя теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях. Запишем смешанную краевую задачу в виде — = а —,, 0~(х~(1, ~) О, а)0, дГУ ~д~7 ) Л1 (8.6) У(х, 0)=ср(х), У(0, ~)=~ (8), С'(1, к)=~,(~), где гр(т) — начальное распределение температуры У (при ~ = 0); ф(~), ф(~) — распределение температуры на концах рассматриваемого отрезка (х = О, 1) в любой момент времени ~. Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.
е. У(0, О) = ср(0) = ф(0), Е7(1, 0) = с~(1) = ф,(0). Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий х; = гй (1 = О, 1, ..., 1), 1, = ~т (у = =О, 1, ..., 1); й и т —. соответственно шаги сетки по направлениям х и Г. Значения функцпн в узлах сетки обозначим У'; = У(х,, Е,). Зти значения заменим соответ- Ие 244 Гл, 8, уРАВнения с ЧАстныыи пРоизВодными ствующими значениями сеточной функции и';, которые удовлетворяют разностной схеме. Заменяя в исходном уравнении (8.6) частные производные искомой функции с помощью отношений конечных разностей, получаем разностную схему и?+1 — и'. и! — 2и~ + и' 1 1 1+1 1 1-1 т й 2 (8.7) ~ = 1, 2, ..., У вЂ” 1, 1' = О, 1.
.., В записи этой схемы для каждого узла использован шао- лон, изображенный на рис. 47, а. ~ -1, Р1 Ц+1 с+1,1'+1 ь — 1„/ Ь 1,у /~ с+.1„у а б Рис. 47. Шаблоны Для одного и того же уравнения можно построить различные разностные схемы. В частности, если воспользоваться шаблоном, изоораженным на рис, 47, 6, то вместо (8.7) получим разностную схему и1+ — и! и1+ — 2и~+1+ и! 11 г т 1+1 1 ~ — 1 (8.8) 12 И в том и другом случае получается система алгебраических уравнений для определения. значений сеточной функции во внутренних узлах. Значения в граничных узлах находятся из граничных условий и', = ф, (~,), ит~ = ф, (1;), (8.9) Совокупность узлов при ~ = сопз1, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
