Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464)
Текст из файла
ЭГЖ 22. 151, 5 С32 Гецензенты: А.М.Виноградов, Л.Л.Покровский СЭЭ Серкэнтова М.М„ Логинова Л.А., Лознякова Л,В, Теория поля: Учебное пособие /Пад ред. Серквнтовой М,М. - М„. Изд-во МГ)У, 1992, - 58 с., нл, ЛЫФ 5-7038-0760-3 пособие состоит ив двух глав. В первой главе изложены теоретические основы векторного айалиэа и теория поля оо всеми докезательстваыи э соотввтстзпи о новой программой курев высшей математики. Эторая глава посвяяэпа примерам испольвсвания математического аппарата теории поля в задачах механики, злектродинзмики и других задачах имкенерной йрактики, что позволяет расширить и укрепись связь этого раздела математики с инаенер« ньми дисциплинами, Лля студентов факультетов радиоэлектроники и лазерной техники, иырорчации и управления, машиностроительного.
Ил. 23. Библиогр. 7 наов. ВБК 22. 151.5 Гедакция заказной литературы Маргарита Михайловна Серкантовв Лилия Алвисандровна Логинова Людмила Бацлавовна Повнякова Теория поля Эаведуювюя редакцией Б,С.Иваикина 'редактор Ж.К.Кошелева Корректор Л.И.Малютина '-' ЛЖУ 5-7038,0760-'3 ф МГТУ нм.
Н,Э,Баумана, 1992, Подписано в печать 23,0к.91, Формат 60х84/16, Вумага тип. й 2, Печ.л,3,7п. Уел.печ.л.3,49. Уч-иэл.л,3,46, Тирам 100 вкэ. Иэя,й 192. Эакаэ М .".!.. . Цека 15 коп. Издательство МГТУ, типография МГТУ 107005, !(оскза,'Б-Э, 2-я Бауманокая, 5 ГЛАВА 1. ЭЛЫНТМ ТБЭРИИ ПОЛИ 1. Класси ика изических валичнн. Скаля е и век!о ные поля Квассийиквция йизических величин по их раэмернооти сушестэу» ет давно, так как оравнивать величины разной размерности (напри- мер, время, длину, маосу, окорость и т.д.) бессмысленно. Так не, квк невоэмокно орввнивать н приравнивать сквллр и вектор, В современной классийикации йиэическиа величины объединены по тому, как они иэненяются при поворото осей коорпинат: окаляриые - не иэменяютоя при поворота; векторные - ведут себя, как вектор, проведенный иэ начала координат в какую-либо точку пространства; при повороте системы координат относительно начала координат длина этого вектора не кзмвниется, а его проекции на оои ноненяются по известному прави- лу Х ' = ЛХ , где ) - матрица перехода,д, Х.
- матра(ы столбом, оостевленныв ка соответствующих координат вектора з новой и ота- рой системах координат", твнэорные - иэненяютоя более олокно, например, как произве- дение квух векторов„ спинорм - кроне векторных и тенэориых величин есть н другие, которые изменяются при поворотах заданным обрвзои; например, из опиноров ыокно образовать квадратичную комбинацию, которая квмв- няется, как вектор, или другую - океляриую, не изманяшвуюся при поворотах (таи„ волновак функция электрона изменяется при поворо- тах, как опинор, или, кратко, она является спинорной величиной, спинором).
ОПЛеййнзув. Часть пространства (или вое проотрвнство), в наядой тачке которого определена некоторая ()иэическая величию, нэзывавтоя полем втой величины. Пооисльку физичеокив величины бывают 'скалярными, векторными, тенэориыыи и гпинорными, то и поля, ооответотве>пш, бывают сиа- ллрнымн', векторвеи и т.д. В дальнейшем буден раосматривать только скаля(ивее и векторные полн и их свойства. Понятие поля не содервит а свбв нового"по сравнению с поня- тием функцик, просто термин вполз" общепринят и улобвн овоэй йизичеокой опредолвнноотью. Раосмотрии подробиее Оквляриые и веиторяые Полк. ЖЛерлеПие. Ноле, в кендой точка гт котороло олиоэначио 3 определена некоторая скалярная величина СС(>с() > называется ска- лярным полам втой величины.
Скалярное поле очитаетоя заданныи> если функция точки сс(ет) определяет значение раооыатривасс>ой окалярной величины в каадой точке полл; сс(>с>).= (((»р)В более общем олучав скалярная функ- ция а может быть функцией.не только хоордипат, но и времени, тогда ь>оэ>ьо говорить о так называемых яестациснарных, илн неуота- нозивнихоя, полях. Ограничимоя рассмотрением стационарных, или уотановиэаихся, т.е.
нв меняющихся во вреиени, полей. В зависимо- сти оь размерности пространства будем различать плоокие и проот- ранотээнние поля П кыв ска >эо> олей 1. Поле температур неравномерно нагретого тела. Я. Поле плотнооти маоо неоднородного тела. 3. Поле плотности электричес>саго эарлда> неравномерно рас- пределенного в тело.
4, Поле давлений в некотором объеме. Схалярное поле задается окаллрной функцией координат, функ- цию обычно представляют в виде графика, Геометрической иллюотра- цнэй скалярного поля олуяат так называемые поверхности уровня И(»ф г)-сааН , на которых функция постоянна. Если поле плооков, то вместо поверхноотвй уровня иы имеем линии уровня на плоокооти. В качестве примеров линий (поверхностей) уровня окалярньк полей мелко привести хороюо воем ивввстные линии (поверхности) уровня равных температур - иоотврмические, равных давлений - изобарнче- окив. Сгущение линий (поверхяоотей) уровне на риоунке означает быстрое иэиенение соответствующей скалярной функции, а на оамой линии (поверхности) уровня функция постоянна.
П р и м е р, Скалярное поле' ведено функцией сс'(»,ф с) есле В "" . Найти поверхности уровня. Р е и в н и е. Полагая ж е е г б, будем иметьс г 'л оеиейотво двуполостных гиперболоидов ° если С с О семейство одиополостньас гиперболоидов, если С г 0 1 круговой конус с эврииной в начале координат> если с = с) . о»а>аэл, > .
° а > ° >» „.>„.„, опредолен вектор а (гс) = ас» ф, л), называется вэкторщсм полем вектора а( М), > Ц»~ ~д чу 1. Поле линейных скоростей установив>сегооя потока иклкоотк, 2. Силовое поле, магнитное поле. 3, Поле тяготения. Воиторное пола считаетоя заданным, воли векторная функция точки а(ес)определяет значение рассматриваемого вектора в каикоп точке поля М >а (>ь() а (»; ф с). Векторноа поле а'(>>е)в проотранстэв махно запать и аиде трех скалярных фу)щций а», а), ая а(гО= (а ( с),Я), а,(»УВ), а (;У,Я)~ Для наглядного иэобракения векторного поля служат векторныэ линии.
Опйейе ~енив, Линия, неправлоние которой в каадой точке сов- падает о направлением вектора полн в этой тачке> называется вок- торной линней. асс» »»»>с>>вас 1. Векторные линии в поле линейных скоростей ота>эьонсрного (установивщегося) потока аидкооти - линии тока. . 2. Векторныэ линии в магнитном поле - силовые лвнии, выхо- дщцив иэ северного полюса и оканчивающиеся на пином полюсе магни- та. 3. Векторныв линии для полокительного точечного эарялв- лучи, эыходщяне ив заряда. Векторные линии векторного полл находят иэ оиотемы диЩерен- циальных уравнений о'» сЬ о(у — — — > а.
а), а выражающей уоловив коллинеарноотк векторного поля а + ,а а (, ' Ф" и бесконечно налога вектора касательной оИ' ~Йефссг ~~к вектор- ной лкнии, где м х(»)> г) (»у,л '(ракиус-вектор векторной линки. П р и м в р. Найти веЫрные линии поля 7 =(л-~)с'е(»- ~~"'+ Я-»)Л., Р е ю е н и е. Система уравнений воктсрных линий имеет внх а>» с(.с> а'г "»-г ~-» а с аес Нопользуя свойство пропорций — = -~- =. †,~ , получки >(» ()> >Ил = () , откуда »ет я Г,, - первый интеграл окоте>э> (одкопарэметрическое семейство поверхностей, на которых распола- г аются векторные линии).
Затем, умножая числитель и внаменатель первой дробя на ~ , второй на ф , третьей на х н скла- дывая ревультаты, получим хд..т(~ф~+ угу О, отсюхв получим еще один первый кнтеграл 2 .ж' ~у лР и Окончательно уравнения векторных линий в пространстве можно эа- писать в виде уравнений линий пересечения сфер плоокостями: .х~р" у'э= с~, Х'ау ' у С"у При решении двйной сиотемы дифференциальных уравнений был применен метод интегрируемых комбинаций. В некоторых случаях бывает удобнее получить уравнение век- торной линии в параметрической форче.
Для этого расоиатриввшт систему дифференциальных уравнений вида а~Х с~~ф ы а гж;у, г7. у~у,г) "а„,б;у,у)" 4'» Ф~;ы,б,б) гле Южф и, б) - пройэвольно выбранная функция. Решив двинув систему, можно получить уравнение векторной линии в параметрическом виде; .х',щ ~Ю, ,у -рю,' г- лМ.. Выбор той или иной функции дущ~ я Л) будет влиять только нв способ парамстриэации векторных лйнйй, П р и м е р. Найти векторные линии поля а ~с ~,ту~ б.т, Найти среди них векториус линии, проходяэплэ череэ точкКМР, О д). Р е ж е н и е. Система дифференциальоюх уравнений ввктор- нмх линий имеет вид с~х ф Ы6 ЫЕ а а. ( у ж ' 6 ф -хщ'с, — + У =т сЫ Ж» "~ус3 .ж.ЫЕ . -р- -~ г ~(б) с7с,.~'П ~,б з.п с -Ф~Ю -с~лсчб е с~ спас, РЮ Юле сг Найдем вькторнув линие, прохопящущ черве эаданнуа точку И(7, бФ: .х' сею с "' хМ с > Ы~ — параметрическое уравнение винтовой линии.
В приложениях, особенно в гидро- и аэродинамике, чвото встречается понятие векторной трубки, или трубки тока. ~Пщ)йвлэййв. Векторной поверхноотьв (рис. 1) нвэывается поверхность, состоящая иэ векторных линий, проведенных чврев кажкущ точку некоторой линии ь , навываемой нэпраэлещей, Если 1. эвыкнутвн кривая, то векторная поверхность'наэываетоя векторной трубкой (рис,й).
Ркс. 2 В, Пото велта е че э поверхность. ээойецв Гв оса - Ост сг ского теория поля научает криволинейные и поверхност~в~е интегралы от векторных функций и их овсйотва, овяэь криволинейных и поверх- 7 Рис' 1 ц постных кнтегрзлов с кратными интвгрвлвии, свойстве оквлярных и секторных полей. Одной иэ центральных теорем теории поля являет» ся теореме Гаусса - Остроградского,уствназливающен связь поверх- ностного интвгрвла по ввикцутой поверхности о тройным интегралом со объему, овключенному знугри этой поверхносги. Но прежде чем приотупить к формулировке и доквзвтельотзу этой важной теоремы, делим определение потока вектора поля (или, квк вц~е говорят, по- тока векторного полн) и его физическую интерпретацию, Рассмотрим область Юа А' , з которой ведено векторное поле вектором а Р()'Г)Е ° АУ~~, РОМ)Х, об(УМ Р , пусть з облвстг бр) объемом Ч взцвнв некоторая ориентированная поверх- ность 6 .
Рассмотрим поверхностный интеграл от скалярного произ- ведения векторе поля а на единичный вектор нормали к поверхно- сти 6 рщ,„м ь и ....ц-р. а~~о ~ р ю е» поверхность 6 назызввтся поверхностный интеграл, зэятыб по эв- двннсй стороне поверхности, от скалярного произведения векторе поля аФР) нв единичный вектор нормали яо к поверхности 6' который обознцчается танц у) Яа а <~6= Л1Рсага '<7сау~бгРссг,()сх6 ('6) <'б) Слелует звметять, что поток векторе поля есть окелярная величине, с координвтм едкничного векторз нормали определяю.ая через вго напрзвляццюце кооинусы я (соло(, саго, сог) ~ Попробуем установить физический смысл потоке вектора. для етого решим задачу о вмчкслении потока жидкости через овмкнутую поэерхнооть 6 ) внутри втой поверхности задано поле линейных скоростей текущей жидкости айаг"О (рис.Э), Кля простоты будем предполагать, что поле скоростей стационсрное и плотнооть жидкости постоянная к может бмть принята эс едиьви(у.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
