Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464), страница 4
Текст из файла (страница 4)
сс'б' б, Ю уГ Так квк .К~ 'й-Ла Гй "ЛГ)~~ =б, ус то .~~а" ~~ с~В+.'Ла''сх ''осгй со «НП ийс МЬ Ца и, Ю Зс. В солвнондальнон поле векторныв линни нлн вемкнутмв (рио.р), нли приходят ип беоионечности и уходят в беоконечноссс (рио.10), кли начинэптся и вананчивается на границе поля (это свойство следует ив свойства 2 ), Гис. 10 1))о.Р П е орленок ал ннх полей 1, М)гнктнсе поле, создаваемое прямолинейннм провохннкс >сроку течет перел>енный электрический тои. 2. Поле линейных окороатей тала, вращающегося вокруг своей 3.
Поле скораотей потока несжимаемой жидкооти беэ иоточнии стоков. Пате>к иальныв беэзкх евые) некто ные пол >,ал,„, », . ... - .>. ;ьльныы, или беэвихревым, если в каждой его точке таба д. П кме > потею иальных полей 1. Ыагнитнсе поле, создаваемое прлмолинэйнлм проводником, >о которому течет постоянный електричесиий ток. 2. Пола Ньютанова притяжения данной массы к неподвижному ю>лтру. 3, Злвктричеакое поле ллвпряженноати точечного заряда. Рассмотрим свойства потенциальнога поля. 1а.
Цирллуляция вектора >л пс любому контуру в одноавяэнай облаотИ в потенциальном поле равна нулю, т.е. .Фа (Т- д, л Дойаэа альства, Используя формулу Стоков для гладкого контура Ь и произвольной гладкой поверхности Е ° натянутой на контур Ь , получим В Флл >'Г = Яка~ >э Я>л>ь д, Ь >'с) элс озайатва означает, что в аиловом потенциальном' поле рабата па любому контуру равна нулю (например, в поле тяжести Пекли) ° Слеллсйэив.
В потенциальном поле не мажет быть замкнутых векторных линий. Дохазательство. Рассмотрим векторную линию (риа.П). В любой точке Й втой векторной линии аквлярнае произведение а г(т ~ д, лл тек как оба вектора а и ц(к на- правлены в одну сторону. В етом олу- И бй чаэ работа вектора цл вдоль контуо Ф, ра будет больше нуля, что противоречит оэойатву 1о, Противоречив доказывает ('л>а.
П утверждение следатвия. 2с. В потенциальном поле линейный интеграл по неправленной луге цо не зависит от фррмы цуги> т.е. (рко. 12) 22 /а >(Н,/>1 л(х, >ц>л»у А~'8 Доказательство. Оно ораву следует иа свойства 1, если воспользоваться аккитивностью криволинейного интеграла. »л 6 Таким обравом, можно утверждать (и доказать), что овойстза 1с н йа эквиза- - о лентны, т.е. 1о а==э 2с, Я Ва.
Потенциальное поле вектора >э ~Р, д, Ф ) имеет потенциальную Ркс. 12 функцию (поте(к(кэл), т.е. такую скалярную функцию,й(Л() = б(й",,У> б) > для которой ол>л> Ык+ (ли~ л >Рг(г ' >"з г — >' д -г — ' .)и, )д,, )(( Тогда / а лл'к ~>цл> й(д)- ь(( >) (формула Ньютона - Лейбница). лб Дохлзвтейьатво. Проведем ега а помощью следующей леммы, деюд. Выражение >о>Ы "дх(у'л Рлл'В в потенциальном поле вакторва = ) /', д >>>) являетая прлныл( дифференциалам некоторой функции б(~д- л> л) , причем ла - > — > д , Я> жй а ги действительно, луоть л>(~~ В) / а о(т =„/ >>эс>лглдфд>>4 при >л>ч 4>ч етом брдем считать точ>Ц»>(жо>.ф, > бо) фккокРовенной, а точкУ ллб(л;у> В) - точкой о текущимй коардинатвмк (рис.13).
Покажем, что йд (ог)т+ до~ л(рс~ г * Лля етого дадим пркращения отдельно для л;у, В, т.е. рассмотрим тачки с Ил координатами Рф(ж'л лх;ф, '), и И, М Ьу+а~, Й, Г~(х;~ Р л Л б) И(хййел и чаотные приращения функции М> и(,эР, б):.б б(, л) и, л,,К накажем, что >с*. 4лб.,д. ~ы., Я Зи дл на примере р би, Уж ' Найдем Йтное приращение л цх Ркс. 13 используя теорему о араднем; б и- ( о сй -„)а а'К - / а ~у Ь"'777' АВ ГоГ 7 Р( ~ ) ~ Р(Ф)о.х; Фб с~Г~~, 'лак как лоб а . — - —, та тоб сл д. дд ЯР у лулс сну Аналогично докевывавтоя, что все'другие проекции вектора ротора равны нулю, вначит, вектор роторе токе равен нулю (лоб а О) Свойотва.
1~ - 3 моено объединить циклсграммсй (рис. 14). 1 'х Вычкслим следующий предел; з И РЙЯм' йл7 ~ 6'тл — д7тл РМ. я.х г1.х. лл-О ля д ля' о (Ф И) В силУ непРеРыаности фУнкции лЩ:Я;~ У) пооледний пРедел будет равен бпт РЙ9 Р(М) = Р(Х~, Е), С другой стороны, л47тт †"" — — - част!щи прокэводная -эб.а о от функции Ж~;у г) по я' в точке И пс определению частной пронэводной, понтону Р( )=Р(Ч,Л)" й или Р " ЛЬ Й(~ФВВ) ' „лри Аналогично докаэываются два других равенотва, И~ ~О ~~Юг "~- лл~~~ с~ .у — ")г л((( сМ лу(( <9(( т,е.
подынтетральнос выражение б исходном интеграле в потечциаль- ном поле есть полный дифференциал некоторой скалярной функцли и(л;у л), нааываемой потенциалом поля, Лемма докаэвна. Осталось эмваоти формулу Ньютона - Лейбница для пространственл!ого олучея, 'таи гн, как это делалсоь в олучае плоской кривой! )~ сЫ = (((В)- (((4), лу Следует заметить, что оправедлиао и обратное утверядэние: иэ свойства *Во следует, что моха д, т.е.
3 =Ф хола д, Действительно, нэ свойотва 3 следует, что лри, дй Ул' Уо - Уе ~,7Р г7Ли Ю д'а Найльы частные ппоиэводные ( — — †., ~- , -л-:- = У73г ° В оилу того, что смещанные пройсводлпюе равны, получим, что л7Р дд, с7д у7Р— г — =-~ —; или т;; — -р — =- д, 34 у' сХ' рис. И бо. Вектор а потенциального псля лвляэтол градиентом потенциальной функции и полностью ею определяетоя. Войавательотво. Так кек а ~Р д, У )- вектор потенциального полк, то, пс свойству Зс, оуществувт потбнциальная функция и(а;р, я) , такая, что Р ~»- ,, д о †, Ал ф — , иначе Вто овойство часто форйулируМ оледуащим образом: векторное поле гссадиэнта некоторой скалярной функции всегда потенциально. В .
Потенциальная функция воврастает, и притоы наиболеэ быотро, в направлении векторной линни. Дойаватейьотэо. Действительно, так как а утасЫи вектор П нвйравлен по касательной к векторной линии, т.э. пс направлению градиента, то в направлении градиента (или в направлении векторной линии) функция воврастэет наиболее быстро по соответствующему овойству градиента. бо. Потенциальное поле полностью определяэтоя евлавием потенциальной функции (потенциала), т.е.
ведением одной скалярной функции, а не трех, как для векторных полей общего вида. Га оничеокке алла авы полн, (юйэйелелщэ. Векторное пале вектора а наэывается гармониЧааким, или лаилаоовым, полем, воли оно одновременно соленоидэльное и потенциальное, т,е. 25 Лля этого полк ~шс~й, АЖ)тасйУ 'Р РЙ бя б)) хобдтас~0 (ллРО" б, для лапласова йоля и Я = О , или +Й, ~-ч(; О, о,вь~,ь ии~,л ~ „,к р н, ели она удовлетворяет уравнении Лапласа: я Й = б, Поле, яелявшееск одновременно потенциальным и оолэнонхаль- ~в~м, называют поэтому гармоническим.
Прииеэй. Лаплвоово поле - гравитационное лоле: Г=-~ -„-Л х, Остановимся вкратце нв из~ории возникновения уравнения Лап- ласа, Рассматривая закон тяготения, Лаплас предложил откаватьоя от явной формулы для сил дальнодейотвия'и заменить ее дифферен- циальным уравнением для поля величины ь( , которов опиоывает взаимодействие межку соседними элементами поля, Попробуем восста- новить ход мыслей Лапласа, приведший его к выводу уравнения лИ=О, Ках известно, Кеплер, обрабатывая наблщхения 7вхо Врага эа цвиженкем планет, установил три закона: 1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном иэ фокуоов которого нвходктоя Солнце.
2. Вькиус-вектор от Солнца до планеты еаметвег разные пло- щади в равные интервалы времени, Э. Кввдратм времен обращения двух планет пропорциональны хубвм больших полуооей их орбит. Законы эти, хотя и красивые, но довольно олажные. В даль- нейшем Ньвтон сформулировал выражение, называемое законом вос- ынрного тяготения: магду двумя любыми телами действует сила притяжения, прямо пропорциональная их мессам и обратно пропорци» опальная квадрату расатоиния мекку ниии. удивительна, конечно, что два тела, находящиеся на колос- сальном расстоянии, могут дейотвоввть одно на другое, Это дально- действие всегда казалась непонятным, и попытке преодолеть это непонимание, по-видимому, к привела Лапласа к нетривиальному истолкованию; наличие какого-либо притягивающего тела влечет эа собой возникновение ва всем пространстве некоторой субстанции, интенсивность которой И Г-Ч ~ л) в точке Гх; ф Е) вычисляется по фо)л4~лэ йб 3 ~'*--х;) ~~~~,) ВЯл-Р,)' где ~ - некоторая постоянная; М - масса притягивающего тэлв; гя; о, у) его координаты, Чтобы вычислить Р / Г - компоненты силы тяготения, дек- Уг г ствушщей на тело единичной массы, расположенное в точке с координвтамн бх' ~ф Р) ь ивич положить Г ~ , ,4 РИ, дй, 3й Как нзвеотна, функция й называется потенциалом вйнторного поля: аксаи-1Г,Ф ~ 1 Коля прнтягивашэщх тел несколькб ( тело массой М рвсполагавтоя в точке (ж,, ~,, г, )), то силу мокко вмчислить по тем же формулам, если взять в качестве потенциала функцию И ш-) Е (-.,) ~~у, Г.-ф)" .
.,Лаплас предложил польеоватьоя при изучении тяготения не саыой5нкцией И , а тен ды)фервнцивльныы' уравнением, которому эта функция удовлетворяет. Зто уравнение может быть получено оледуищщв образом. Рпссмотрим оначала только 'одно слагаемое; Мб Я ° * )~ , ) (' Л, к вычислим эго проиэводкмв, введя обозначения: ~" %. ~~ «~~ й-е)" Производные равны: 'ж ~р~ус' тэк кэк с, -' — и т.д х .ж , . )Зэффервнцнруем =с' еще рае Яж Лектор а~ задает потенциальное поле, в котором можно определить область расположения стоков ГсГ>с"Ж ' О ) и источников ГЖКа, « >у) . 'Гак как сй'>Га~ =6ж"~ бЛ > то хЫГх>) б =Ю.м' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
