Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Еаким образом, циркуляция харахтзривует вращательные свойства падя, Лохвивм формулу Стокса, которая являетоя обобщением формулы Грина на трехыерный случай, когда плоская фигура эвменяетоя участ- ком криволинейной поверхности. Формула Стокса связывает поверхно- отны, интеграл по поверхноотк 6 о криволинейным интвгралон по 'ез границе Ь 14 Ееойем~ Стскйв, Цуоть б - любая двуоторонняя кусочноглвдхая юверхность, ограниченная вамкнугой Гладкой кривой Ь причен о конца вектора кормили к поверхности б обход контура проноходнт против чвоовой стрелки, и пусть на б"~/ь задано векторное псле а ( Р д, Р ~, где Р Щ Р - непрерывно дифференцируемые функции на ПУЬ , тогда справедлива формула ФР4~Я ~~Ыб Я(~ - Д~йу ~(Я- ЩхсУ~Д вЂ” ~,Мф~, гз) ~ Дойазвтейьйтво.
Разобьем формулу на три равенства, содерхащив только функцию Р , только Ю и только Р , и доказан одно нз ннх, напрнюер, .у(Рс(л Я 4Ъ:- сЬ Мг -у — Ихс~ (и) Проведем докааатвльотво для случая правильной поверхности , т.е. такой, которая пересекается линиями, пвраллзльнь»и оси ОЛ , не более чем в одной точке (рио.б), ' Цусть поверхность 6 задана уравнением Л * Л~» ~г) .
Вычислим криволн- з )П нейный интеграл 4РГ~ Мог -фР(х~ б(х,~))Йх, лй, б вемена интеграла по Л на интеграл по б правомочна, так хак с' и Ь (ю) мчеют одинаковые координаты ,ж, у, К последнему интегрялу применим'фсрму- гнс.б лу Грина,' Л вЂ” ~ Я Гасонотрвм поверхность У - гГхф и нормаль к этой поверхности Г ~ г ,Ч ~Л Л -/~', тогда л, ~аа~жг9,оол).~- еднничиый вектор нормали. Поскольку л7 и ~7 коллинвврны, то координаты этих векторов пропорциональньп Ль Л~, -/, соу,х сох я сси Л" сел 8 ор ~ ахг~" Таэ хзк дхс~ с~6 сагыз, то Е.',с~хс(и - — "-с/6'саку сс сОх б'" - ссысяЫ6 = - ссСж с~у, Подставим полученный результат з последний интегралс эрсс,~пуз.шф~с.др~~ сю) ссхл )с„.,с югу„ьп...,,, Гб) что и требоввлсоь доказать. Аналогично доиаэмввютоя другив равенства, Следует заметить, что соли поверхность 6" неправильная, то ее разбивают на правильные части такс чтобы свести докаэательотво и првлслпущему случаю.
4. О в то Гамы ьто а и его п именение Введем понятие оператора Гамильтона, или символического лектора (с (чнтаетоя "нйбла"). Оппвлэлениие. Оператором Гамильтона, илн наблз.-веитором, назыэээтоя оимволичесиий вектор энда Я сру Сам по себе еектор нз ииевт реального оиывола, он приобретает смыол лишь в сочетании оо скалярными либо ввнторнымн фуациями. Зтс позволяет компактно записать три основные операции з теории поля; градиент, диэергенцию и ротор (эихрь), умношение этого эвятора на скалярную функцию позволяет эычислить градиент этой ФункциИ, а скалярное и векторное уинощение на эеяторную функцию диээргенцию н ротор ( час а ); Яхпп сс ='уи (у-.с+~ —,~+х.-к дс Рис л суи —. Пи— д" д-,д- же( =р к =Я-;,, —:.
б А-)(„-.а-сРГ) . Ор, Л(а, РР, 7 -..2 —. ст— тэбэ=у~а'=('ч-,'+ ~-~+ Д),~Рс Я +РА) .16 с',с /г Ы 'уу сс» Р ср Р Последнее ооотношениа поээоллат ввеоти формальное определв- нне ротора (вихря) векторного поля а., Опйе)(зуде Пе, Ротором (вихрем) вентора а ~Р, с), Р ~наэызветоя вектор, определяеиый эенотвом ~.~" А.- А ф Эл Р 4 Р =( у — - — ~с' з с)Р ЯсР ф~ 'юбое =р'са ° Ь.)- --зГА~' ° С ЗГ -~~у Р.
Р,о ЯР ч ~ сРСР Зсо )— где (гка - векторное произведение. ' Следует заметить, что о оператором Гамильтона мошно обращаться, иаи о обычщсм звкторои, по правилам еекторной алгебры, и каи о днфререициальным опвраторои, дейотвулшщм на различные произведения (скалярное, векторное и простое), например; сЬ'и иа = [авиа 17и а зи В а ~чад О.оссс сна. Формулу Стокса после воздания операции ча1Емояно записать в более компактной (векторной) форме: ф а сссх = Ятом'а сь аЪ, с сб! т.е. циркуляция сектора по контуру равна потоку вэнтора ротора (вихря) через произвольную глздиуо поаерхность, натянутую на этот контур. Таким образом, чай а является характеристикой вращательной споообнооти поля, тзк хзк определяет значение цирлуляции поля, которая не равна нулю лишь тогда„ яогпа работа поля по контуру нз равна нулю, т,в, поле имеет завихрения или еихри.
Рассмотрим неформальное определение ротора. Пусть задано векторное поле а = ~Р, 4, Р )и произвольная точка И в воле. Выберем в этой тачке проиээсльноз направление елиничной нормали оу и проведем через точку /Ч плоскость Х , перпоидикулярнув вектору нормали, Рассмотрим нз плосхости сс контур Ь содериащий энутри себя точку И н огрвничиваюянй облеоть СЗ) 17 МВТУ ' зщ. М Вь В.:.
П)чПЛ40 (щдАь о площвпью .У . На контуре Ь и выбереи направление обхода относительно веитора /л, против часовой отрелии (рис.7). Вычислим циркуляцию по ионтуру Б и прндвдии, ей лоиалььввй хврвитэр, отянув Ь й в точку М и расомотрев предел отнонени~ цирнуляции и площедм У , в ревультате придан и понятны рох тора. Нычиолим цнриуляцию по монтуру С по формуле Стоков; .й/л'а/«Л«сб а й,//~6 Л/«Р «с/~ А сФ.
аО а/) Воспольвуемся при вмчиолении поолвднего интеграла теоремой о среднем в двойном интеграле! Яс«о «сна сКб (/хр «юс'а) ° '5', Мбй)) Т.. д' Тогда Формулу Стоков мошно ваписать в вида — уо а о(«АР. «ссф') // О Если теперь стянуть контур э точку, то предел отношения циркуляции по контуру к плошали облаоти (Р) при Я вЂ” О/ М М будет равен проеьцин ротора вектора а не направление /7 .~~ а оЫ Й7э ' Гло «/о~ а ) т, г/. 0////~,ь./-./ / у// ° ° --/ ° ° р, /. енция которого нв направление г7 в наядой точке М поля рав» ие пределу отновения цирнуляции вектора пс бесионечно малому нонтуру Ь , окруввюшему площадку о точкой М в плосностн .'и/ , перпендикулярной и вектору нормали й ; н плошади У етой плошадни, прн 8 /,"/', йс последней формулы следует, что цириуляция достигает нвндольвего значения, когда плоскость, в которой находится контур Ь , перпендикулярна «об а (или исправление /т оовпадает с направлением «с1 Е /, Аналогично мошно получить праенции 'Ы а нв координат//ы/ сои и.таины обравом получить формулу для вычиолснил координве венторв хо6 а .
Найдем, например, проекцию «с8а на ось Сб 4 РАх+ 03~ +Му -/, ~.с. Ю д 5" Воопольвуемоя Формулой Стокса, а таяне твм, что в повегс/ отнои интегрсле олагаемые с Ло будут равны нулю, поонольву амх сел/б б/, но сцт/ 1, так каи проецируем поверхность на плоскость,«д~ , поэтому л // юу/// л/3-~ // у сад НР // //., Ю б У /-/ Вмчиолим этот предел, иопольеун теорему о среднем для поверии//. стного интеграла и непрерывность частных происеодных от Р/р, А/ ДМ-) -у ®-Р).'„,, г /р /=/:/ /т) где УяЯ), Аналогично получают другие проеяции: Ул/ Юд,, - ЗР АР «сб Н=~~- — ~ «о~, Н = — -— л. иу /тл 'у,ул у Операции вычисления градиента, дивергенции и ротора имеет общее наэввние: дифференциальные операции первого порядка. Не олвлует набивать, что градиент вычисляется от скаляра, а получа- етоя вектор; дивергенция вычисляется от вектора, получается оиаляр; ротор вычисляется от вектора, получается тово вектор.
В теории поля часто расоматриеаются дифференциальные опера- ции второго порядка, если сни имеют омысл. Перечислим ввиторные дифференциальные операции второго поряхка в скалярном поле: / ф ! хоб рхас~ Г1 чк вектора Р и Р о;г б( - Г (хи = (г сс коллннеарнн) д-и д"и дл с =о (Г -;-г-~ т — д- ° -.ч-х- .~ дго лэтср Лапласа. «налсгичнув таблицу представим для вектормсх днффервщиаль- оерэций второго порядка в векторном поле) ЛД)В) (сс '1 чк( Ас)й=гсо -лд~ гс оик» асс'сгс7 Р (г а гг о лЙ, с(ссгхо~а (г ~ла О, чоЕ хо~ П Рх Рса =р«ас~ ассГа Векторное поле щд~ я х ~д" а го(.хоб а -и"а ~хаоГ с(сиа -ла б.
Векто е о и войства. Ссленои а ьнме вэ то е ол Ф)в~элле)щв. Поле, в котором дивергенция вектогч полл равна . зю, назмваетоя ооленоидальным. Название проноходит от латннокого зоА"а трубка, поэтому лвноилвльнов пола наэнваит ещэ трубчатмм полен, Кроне того, соленоидальное поле - вто поле, свободное ст ' точникоэ н отоков, так как в нем ссс'сГа О. Пфоркулируен и докакем свойства соленоякэльногс поля. )о, В ооленоикальнок пола поток вектора поля через любус чкнутуе поверхность раван нуле (т,э.
в поле нет источников и оков), Доказательство. Вго овойотво оледует нэ фсрмулм Гаусоа- 'трогракокого. Пейотвнтельнсс так каи ассс сТ вЂ "' О ° то .~Цспс'сГо СГсг - „Ц~су:7, сссй ГГ -- Ю, (ьр гэ) Во. Поток вектора поля через лобов поперечное сечение вектор- а трубки есть велачина поотокнная (иначе; интенсивность вектор- .' трубки есть эеличина постовннак). ()окаэательство. Рассмотрим векторнув трубку (рис.8), рея Паауцаатоя скад)ЗИМ ОбраэОМ: Э ВвятОрНОМ ПОЛЕ Энбкрь .
любой контур Г. и через него, через кандув точку конту; проводят векторкме линии. Пусть трубке ограничена сечения 8 и Я , ортогональными й ввкторннм линиям и боковой В поверхностьщ ~' оостоящей ь ив ввктсрнмх линий, где вектор нормали гс перпендикулярен й, вектору а . Пусть всл поверхность трубки еоть 6 Рассмотрим ев внечною честь. согда иэ свойотва Гз слелувт Уа сссссо д; ге! Всспольз: вися свойствои аддитивности поеерхностногг ннс рвлэ) ,фасйсй Дсусуагб' 'Яйг асс "Да й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
