Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Вго полупрямыо, ицущие ст начала координат в бвоконзчнооть. Начало иоорцинат не принвцлежит ни оцной иэ вокторных линий, так как в начале иоорцинят поле на определено, Для выбора ив семейотэа векторных линий конкретной линии нвцо укаэать точку, через которую вта Рис.лй вскторнаи линия цолжна пройти,и по коорцинатам зто» точи ! опрэцел ь с, с., Сг(р ' 19)* 2, Найлем векторную трубку поля тяготения, соответствующую кругу рвциуса а , лежащему в плсскооти я гл, с центром на оси Ог. Векторной трубкой, соответствующей некоторой площацке, иээмваетск часть пространства, заполненная векторными линияыи, проходящими через точки пловщцкьл, Как покаэвььо вьлюе, векторными линиями поля тяготенкя являютоя прямолинейные лучи, аыхоляшив иэ начала кооркиььат, поэтому векторная трубка з поле сил тяготения буцет иметь границей конус о вершиной в начале кооряинвт, нэПРэввяювсй которого служит граница эвланного круга.
Уравнение огрэни- лй Е Приравнлзм ети соотношения и ь(ьункции 3"лю Е (фУИКЦИЮ ЛРСХ, Уьг,Е) МОЖНО ВнбРВтЬ ПРОИСВОЛЬНО, НО, ПО ВОЭЫОжНОСтн, так, чтобы система циь(4еренцььвльных уравнений после сокращений была наиболее простой). Итак, лгх а! (у лгг г *' 3/г ллЕ ЫЕ льь Е (л ля. г') чиоающей конической поверхности; / ЛГ '~Л)-аЛЛУ /) Мошно яоказвть, что любая векторнвя трубка в палс сил тяготения имеет форму конуса с вершиной в начвле координат (рис.20). 3. Пивергвнция в грвеитвционном поле вектора Г мокет бить найдена по формуле Э/о дд М с6'//д "()" — + -р — в "у — / ,к', // Г//~ Х 4.
Вычислим поток поля сил тяготения д' — — — через (х)л сферу'радиусе а о центром в начале координвт. По определению ))б<Г~ -фР,~~, где /т - единичный вектор, нвпрввленнмй по норыэли и поверхнос- ти от отрнцчтвльной ее отороны к полокительной. Так как /х = х/(х П то скелярное произведение П невем случае Я ( а „ оледоввтвльно, /// /ух (д, )-- ~ Тоглв Уа .У//» ял л,. го:бГ =-)" т('- —, - ' * 3 Х ~Х Хл '" хл/ 3 ХУ Х), Таким обрезом, дивергенция поля рввна нулю в любой точке поля; отличной от нвчвлв координат, Поэзо устэнович, что дивергенция в начале координат равна бесконечности. Роли во всех точкэх некоторой облаоти б дивергенция век- торного паля ровне нулю, то говорят, что поле соленонхально в этой области, Из полученного для поля сил тяготения следует, что поле тяготения /.
— .~ — соленоилвльно в любой области 6 '( —, (з ! но вхлючоющей почало координат. 46 ) <~)-д (-«~-)~а -- ~-"-у ~г 6 6' ю у //// и ы (~,/l~'/т7 . Г/// А Пв полученного результата видно, что поток поля черве сферическую поверхность, внутри которой находится притягивающвя ывтериальнвя точкэ мсосой / , нв зависит от рвдиуоа сферы, в зависит лищь от маосы, сосредоточенной в начале координат. Следует заметить, что поток векторного поля сил тяготения вообще не эввиоит от формы эвмкнутой поверхности, окруивющэй материальную точку, а которой оосреяоточена масса Г//. Поли ие рассматривать поток векторного поля через .виинутую поверхнооть, не оодерващую внутри себя точку,,где оосрелоточеня мессе, то поток через любую такую замкнутую поверхность ровен нулю.
Квйствиьельно, в етом олучае применима фориулв Гэусса- Оотрогрэдокого, Выше было поивввно, что дивергенция полл тяготе- ния, образованного мессой /:~ , равна нулю (всюду, кроме той точки, где сосредоточена меосе), Вычислять поток через поверхность у , внутри которой неко- дится мвтеривльнея точка мессой '///т , по формуле Гнусов - Оотро- грвдокого Нельзя, твк ивк внутри поверхности подынтегральнвя функция раэрнвнв <облвоть дэусвязная); Покавэи теперь, что дивергенция в начзле иоорцинет ровно бвсконечнооти, 4/ По определению дивергенцией векторного поля ~ в точке М нввивавтсп предел, к которому стремится отношение потока черве эвмкнугую аовврхкасть, акрукающую точку гб , к объему области« ограниченной этак поверхностью.
Предел берегал при стягивании поверхпастк к точке гв' ,Д(»; «х )в»б г«И г=. = ««««~ у-гт . )» Поток чвреэ эамкнутую сферическую поверкность, окруяающую начало координат, как била покаэено виве, равен - ФУ)глг , Отношение потока к обьвму вара, евключенного вцутри эвданнай сферической поверхности, «г.г! )" «гг 3 ~ л ~уЗгга~ «г « Переходя к пределу при а — О , нейдем, что дивергенция поля в точке О(бг,, 0; О) равна минус беаконечкости.
Таким обраэам, гв«»«д «) = с«гв7 ~ «~у) *' «««« б'«г) «~) г«О О. Вычислии поток векторнога подк снл тяготения некоторой иваси ««, памегюнной в тачку М,Ж«~ ~в«Г,) черве часть аФеры радиуса А', с центрам в точке И, и площадью повврхноати о» *р ( «ь« - тедеснмй угол). Поле аил тяготения мааом ! г помещенной в точку Гб , апрекеляетая вектором (( - с,)"й~-у,~~+»у- у,)д) г7-К Ч Гг-г.)д'1" — ХМ Я = фх-,х„); ф-ф ) ) ГЕ- Г,)~ Скалярное прокэввденив ~лз У »«в следовательно, ») г»=) Нр.=;,)ад=а-ХГ.Я;И ХТ»»,'=, сл., Я о.о, в Получили, чта поток ив эависит ат радиуса вмбранной сферы.
Пади в качестве поверхности а' взять полную поверхность сфврн, что ' ««О соответствует величине телесного угла с г «»Я , то получим ревультвт прэдмкущей вадачи. 6. Определим поток поля сил тяготения черве коническую повврхноать, обрвэованную отреэками лучей, прохоллшнх через точку »'-'га , где сосредоточена мааса лг, В этом случае «Т ) Р, сдедоввтвльно„ Г!',Л) О и, следова- тельно, поток черве боковую поверхность конуса а центром в тачке, где аасрвдоточвнв притягиваютля материальная тачка, равен нулю.
В пратнвополакнои случае поток равен-»»)!)"лг , независимо от 'вида поверхности, оируяающей та агу И~, 7. Определим циркуляцию поля аил тлаотения по любому эвмкну- тому контуру. Покакеи, что поле являетсн бвэвихревмм. для этого найдем вихрь поляг ,»' д' ! ! «» д~' 'ф" «гд .Ж где дл'~~у» д) ! гг г<ч' !у г д ) д г хл ',ф д ")«ч если мааса ггт аосредоточвна в начале координат, то «! «»- ) «7 Я~лг я ~ 3 lгг РФ х Ж Ф (х31гг гг)у)» 1 д»чдгдд)з! =б! аналогично 7 ' ~д Т""О«)"д и "Ф"(У" у г» ) О «7 Следовательно, хс» »'- 0 и лале аил тяготеняя, поровденнае то- чечкой массо1., помещенной в начале кооркинат, явллвтся беэвихре- вмм пален. Поэтому циркуляция этого паля по любому эемкнугому контуру », равна нулюг Ф»г««»«г = «)г б но циркуляцян силовога падя по эамкнугому контуру равна рабате, аоверюавмой стим .подем (при перемещении точки елиничнай иваси по контуру.
Ь ); следонвтэльно, работа силового поля тяготения по любому эамкнутаму контуру равна нулю, Твк иак вихрь поля равен нулю, то поле вид тяготения явля- ется потенцивльнмм полем, т.е, оно является полом грааивнтав да скалярного поля !( Г раЫИ Сналярноэ поле «« ' невывветон потенциалом векторного поли «у Э. Найлом работу, совервеннув в поле сил тяготения прм перемещении ьвтериальной точки М единичной масоы иа положения И бх , г/ « ) в положение И, !х , ф , Я ) Тек как поле потенциальное, то работа может быть найдена по об<"!щенной 4ормуле Ньютона - Лейбница! А - ь ~-.- хьЫл — .Я~., (т.иод лил «Р)/ ! «-'Ъ ф«, «„) гкв ««Г«$ ) Ц(Ж). виачения потенциала поля в точках И«и !'"(д Потенциал полк Г в любой точке ИГк; ~, «) ь(РВ ** Гх' «р «««) Тогяа У Глр (' Я 2„«)бй ( « „«„«««« 2. Иссле рвение э кт нивского и магнитного по ей Одним иэ наиболее важюлх видов взаимодействия в природе яэляетоя злектричеокое взаимодействие, Силы електричвокого взаимодействия связаны с существованием особой Физической характериотики чеотиц - электрического заряд.
Тела, не нвоукив злектричвоких зарядов, электрически не взаимодействуют друг о другом. Если рассматривать тела квк материальные точки, то онлв электрического взаимодействия между ними пропорциональна произведению зарипов этих тел к обратно пропорциональна квадрату рас отояння моллу ними. Это положение навываетол законом Нуяона. Если Х - сила взаимодействия между мвториальиыми тезками с зарядами с и у ,' то закон Нулона можно записать в виде Ь у« « глв С - константа. ЭО Сила Г направлена по прлмой, соединяющей заряды, и может приводить к притяжению илн отталкиванию звряжонюх тел Если с точку Р , нвходящуооя на расстоянии т от заряда и, внести пробный верня у ', обнарувзс! силу, действующую нв у' со сторо-.
ны с . Сила эта обнарувиваетоя только при налички второго пробного заряда. Но изучение электрических явлений облэгчветоя, воли исходить ив предотавления, что как в точке Р , тви и в остальных точках пространства, окружвмлего варях у , всегда существует электрическая сила, обуоловле!л!яя приоутствием заря- да у . Еоли в пространотэе существуют влектричеокке силы, обнерувяваюлиеся при внесении в него влентричваких зарядов, то говорят, что н пространстое существует электрическое поле.
Сила, дейотвуавл на помещенный в псле единичный положи- тельный заряд у ' . « ,. навывеетон напряженностью, илк силой электрическою о поля (или проото електричеоким вектором), Нз за- кона Кулона следует, что напряженность поля с точечного зврява у нв расстоянии Т от заряда ' 1Г !« Нвпрювенность поля двух или неокольних зарядов равна векторной сумме напряженностей поля каждого из этих зарядов, Иннин слова- ми, электрические поля, создаваемые раэличнымн зарядами, яакла- дываютоя без взаимодействия друг нв друга. Это вваимодейотвие носит название овойотвв суперпоэиции.
Таким обрезом, сумиврное поле, создаваемое зарядами, где Т - расстояние точки поля от,воех зарядов. Видно, чтз поле Е сложного теле не отличаетоя от поля простой частицы, имеющей заряд у ~ у т о, ~~ . Этот заряд Ч не эавиоит от взаимного расположения зарядов (зенон сохранения заряка), Если ввести оистему координат бл' с « , поместив в павло координат заряд у , то вектор напряженности поли можно запи- сать кан .х т !!~ хтг~~~' ~, ° ~ ' ~'~Р«4г7~ *! Так как электрическое поле подчиняется авиону Нулоно, ыатеивтн щб( оки оналогичному закону Пьхзона лля гравитационного поля (поля тяготения), то для электрического полн еое характеристики поля опрелеляютоя аналогично таму, кзк это было сделано в случае гравитационного полн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
