Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поток через звмкнутуа поверхнооть 6 равен потоку векторе ЙР"О через эту поверхность и рввен количеству жиякости, протекаецей через поверкность 6 Твк как поверхность Я - замкнутся, то через часть этой поверхности„где соу(ло, а)~0(обозначим ее бг ) жидкость / зтекзет, с через ту честь поверхности, где солце~, а) >0(обознвчим ее 6' )„ жидкость вытекает (сы.рио.Э). Таким обрезом, поток вектора скорости через замкнутую поверхность 6 равен ревности между количеством жидкости, вытекаюцюй через честь поверхности 6 , и количеством жидкости, втеквцццей через чвоть поверхности 6~ : ",ф'а ц„'6 -- Ла а.
У6~Яа й„Х= -"г"".г Сб) бб ) бб ) Я При етом возможны три случая 1) П 0 - количэотзс втэквющей жидкости П, равно количеству вытекающей жнцхоотн 0 2) /7г 0 - из объеме внутри поверхности вытекает болыце жидкости, чем втекает, внвчит, л объеме есть источники жицкости; 3) Пл0 - втекает больше жидкости, чем вытекает, значит, внутри происходит поглощегцце жидкости, т.е. в объеме есть стеки. Источники жидкости можно предствзить квк точхи нагрозз, где происходит таяние снвгз> эвполняющего обьем Ч , а стоки - как точки, где происходит иопэрвнне жидкости, Можно установить количественную сзяоь ивжду потоком векторе и мощностью (или проигзодительпостью) источников и стопов, Для етого необходимо найти связь между тройным интегралои по объему ( Ч ), огрвниченпому поверхноотью бб), и позерхностныи интегролом по замкнутой поверхности 6 Эту связь и устанавливает теорема Гвуссэ ()стрсгрвдокого.
Тес емв Гв сов- . Пусть некоторвч облезть ~ аЗ (Р.) а Р с объемом У' ограничена кусочно-глвдксд замкнутой поверхностью 6 о выбрвнньи исправлением нормали. Пусть з оплести ( У ) ведено векторное поле а ~Р, О, Ц4 ), где Р~то, г) 0б~ л) Жх,ф г)- непрерывно диф(щренцируемые функ~~ни э облооти ('l ).' Тогда спрвзедлива следуюцщя формуле, уствневлизвющзя связь пеклу р ц тройным'знтегралом по объему и поверхностным интегралом по аемкнутой поверхности: фИЧаугуМщсуууФа(зх(оуу=я~ф+-)~~ '-ф)Яхье(й . Доказательство. учитывая свойство лннзйнооти интегралов, достаточно доказать козкоз из трех реву тотв; ((( фИ~,~а - ЦП~е(г; Щ~ е~е( ЯдЫг,' афти.
Ич у -ЛМ ОО» е (з) йоханом последнее равенство. Проведем доказательство длк случая правильной облаотк ( Ч ) вдоль сои дл (т.е. для такой области, границу которой прлмыз, параллельные оси дг „ пересекают нз более чзм з двух точках (рно.4). Тогда поверхность б' мощно разбить на две чаоти (ам,рис.4): никнюю часть бу ° заданную урав- НЕННЕМ г Уу(К; Ч), Н ВЕРХНЮЮ ЧаОтЬ бл , ЭаДаННУЮ УРаЭНЗЫНОМ Р = Я Ое)уу ° я'йа(х й) Рко. 4 Нычкознм тройной интеграл по области ( У ) от щ — 7уб 4 ~ (Р 33~,~ / 4- ~г.
~ур(у у~р Рд бу у(,(у ~ б„. "~ 'У~-ЯРъ члуУ УМЯУ~ =ЯйьУРУ~х~У+Яй(лч,ума= тощ у л'ч .г, у =Я~Ял, ч Ду(.хо~ )О НО Анвлогнчнз доказывают первые два раеенотва, после этого нх онладнвают м получает форнулу Гаусса - Остроградокого. Рассмотрен случай~ когда по веркность 6' - неправильная щ (рнс.6). Ьтст олучаь оводнтоя к б предыдущему, воли область ( )у ) бь разбить на части с помощью длоа- з, костей нлн цилиндрических поверхностей о образующими, параллель- 4 меем сок дг, так, чтобы получились правильные подобласти. Если область ( )У ) разбить .на три ппавкльныз поДоблаоти )Уу> )~~, )» оеченикмн бу н б л, (обозначив при етом через бу, б~, Рло. 6 6' тв части б', которые ограничивают (Уу,)~~ У), тогда граница ( )Уу ) соотоит иэ бу,бул,б~е, причем раосыатрйваютоя правые стороны 6' н б' '" ( граница ул ( )у л) состоит ив 6 и б ; граница ( )( ) состоит иа б' н Я 6 (см.рис.6).
,. )~биении формулу Гауооа - Оотрсградокого для кащлой области, пблучим .Ш "Я 3 Л (Чу) бу 6 Ф бе уу уе .Ы ".Ку Ю ((4) б, .(у.'у'-Ю у,/У (Д б~ бай= Луй П- Л ()Уу бу б" б' Мзано покавать, что формула Гаусса - Остроградского справедлива и для многоовязной области ( )У ), для етого ее разрезают нукное число раэ', чтобы она стала односвяэной, и затем доказательотео сводят к предыдущему случаю. Таким образом, значение потока вектора через границу области и знаи его, подсчитанные по формуле Гаусоз - Остроградского, являются интегральными характзриотиками поля з данной области. Чтобы получить локальную характеристику поля е точке, нэяо отя- П ! ! ! ! сс>>7 6 // цтть область в вту точку а раоомотреть соответствующий предел, Зто пркводит к новому понятию теории поля - понятию дивергенции, кли раоходкмсстн.
~Щвойгенйи>1. Цусть задано векторное поле Б/М/ в области /у)с л>д , ограниченной гладкой ориентирован>сой поверхностью б' . Зычиолиы отнапвние потока воитора через замкнутую поверхность 6 к обьеыу, ограниченному данной поверхноотью: 7 у Зто атноюение равно количеству кидкости> возникающой в едкнице обьем», вели а - полз линейных скоростей двикущейся иидкссти. Уюли обьем У стянуть в точку М (или поверхность б' стянуть в точку М ) и найтк предел отношения при 6 /"/ то подущсм холичеотво нидкости, возникающей в точка М , нлм дивергекцк».
Эв~ч>. ь > ° ь, '» ~> в " ность, окрукамкую точку М, к обьзму, ограниченному етой поверхностью, при условии, что поверхность стягивается в точку М или У- б>, навываетоя дивергенцией, или раоходимоотью векторного ноля в точке /"/ , и обозначается .>Фа л сй' сб) » У /и/с'Е а) о/с'>/сс/М М Лквзргенция является скалярной величиной и сама образует скалярное поле в векторнои поле щ .
Дивергенция векторного поля в точке определяет карактор поля в етой точке, при етом воэмоины алучанс орк с/сс/ сс(//Ь// тачка М являытоя иоточником> прк сс>со а б>// 'с) точка М является стоком, прк с/с'д сс / О/ с> точка И - нейтральная. Тзв>ы образом, дивергещрсю (от лат, а/с>/ехде»~сс>- раскоднмость) в точке мокко назвать мощноотью источника (стока)» рвоволсивн>юге в двиной точке, Следует отметить еще одно очень вамнаа свойство кквзргвнцки вектора - инвариантность, т.е, независимость ст вмбсра системы коордкнат (следует иа определения).. Точно таким ке свойствен сбщ>дает,и другая характеристика векторного поля - ротор (вихрь), которую мы рассмотрим в дальнейшем. 12 Чтобы получить формулу для вычноления дквзргонср>к векторного попс, преобразуем позер>сностный интеграл 'в определении днввргенции по формуле Гауаоа - Оотрогрвдского: с/с'с/а/м/' щ> у Уа л,сс'б' сс»> у ЦР>~с/е //с/хЫ~+ / у д сп) у с> /з) /Мхс~ -йи у/ ц~~-АР ° -ф- -Я)4х ~42, К последнему интегралу применим теорему с ореднзм в трайном ннтегрслвс / дР дб) сРл> дР дсу д>(>, Ч.б у/у) с/ у б.~ х с/ й>> — Я( У" + д т '"т — >/с/ха>/У "йп> — (У- + е>- с У-фУ сс>>7('у / -у — + "с — //у дР д>Р дл> у с) /т и Когда поверхность 6 отягиваетоя в тс>ау М, точка й М, так что в силу непрерывности частных' производных ссбс(ДС>М)»сс>>7(У с ет т )»( Р" — "У вЂ” >' д / с/с'сга * у — —, -д — в — ° дР дб) дд ду,' йспояьвуя полученный результат для с//с'сс а, иоана записать формулу Гаусса - Остроградского в более компактной (векторной) форме У4 >с сс>К асс>сба Ю~, /ь/ /у) Зта запиоь читается твк: поток векторного поля через замкнутую позерхнооть равен тройнону интегралу от дкввргонцин векторного поля по облому> ограниченному заданной поверхностью, Теперь оовераенно яощ>м становится и физический синоп этой фсрыулыс поток видкости черев замкнусую поверхность равен оуммарной мощности всех источников и отокоо, нзхадясщхся внутри поверхности, т.е.
13 количеству зндкости, возникающей в рассматриваемом обьэмз в едкницу времени. Формула Гаусса - Остроградского являвтоя обобщенмем формул Грина и Ньютона - Лейбница на трехмерный случай. Ее конно использовать для зычиолвния объема некоторой облвоти о помощью поверхностного интеграла. 3. Линейный ннтв л ввкто х л некто в ~ПЕЛелеППЕ. Линейным интегралом вектора а - )Р> 4~, Р ~по ориентированной дутв то называетоя крнволикзйный интеграл вид» УП )Е -3Мх Пф зРа'г, лМ лб Физичеохий синод сто - работа вектора Ж вдоль неправленной луги ло в векторном поле.
Ъ~В~Г/Е,йд ентированному гладкому ремингтону контуру Ь, нвзывавтоя циркуляцией вектора а по контуру Л, и обоэначаетоя Р ' '" ф а оИ у Р3х В 4ф Ы Лы»'г . Поясним ФФаичвоккй йюл циркуляции на примере ввнторного поля а линзйщвх окороотей установивнегооя потоке лсп(кости. Возьмем в етом псле,некоторую окруннооть в хачеотэе контура (. Циркуляция вектора. а вдоль сируннооти Ь вырангзт работу вектора а вдоль окруннооти. Еолч циркуллциз вектора а по рина нулю, то работы вектора щ, по Ь не происходит н частицы кидиооти нв вращаютоя по окруннозти Ь (например, лвмн- нарвый поток вкдхооти в трубе). Если кз циркуляция вектора а по ~, не равна нулю, то будет происходить вращение частиц видкоотн по окрувнос' н, причем скорость вращения будет увеличнватьоя о ростом циркулвции, н наоборот (например, двикение нихкооти в эоронхе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
