Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464), страница 5
Текст из файла (страница 5)
- Р г - область расположения стоков; сГб>Га, «>7 =З.ж «-г - область расположения иоточников. 2. Найдем ооленоидальцую ооставляззяую поля вектора хз а, й -а~ =лу>. +<. +ад~ ~>'9-3$)Т, Лля вектора Ед тол Е х>>ь а~ » по теорема о "расщеплении",' что проверяется нвпосредотвенжц сна = ~- ОР,)>'Л> — бж'~ря~~- у-й'"Зф б >р э > т.в. полз вектора а двйствктельна ссленондальнов. Одно иа нэсоыиейных достоинств результатов эряощеплення" состоят в том, что поток векторе Е через замкнутую повврхнооть з векторном поле равен потоку только вектора >з) , циркуляция вектора з определяется циркуляцией только вектора хТ, .
Лейстзитэльно, ))Га) - ))Га~) ) фа >Л с >Н ф(а з а ) т Ыб' , зз) ГЯ) Ц>з) >зд6+ф ад вщМ = фх)) «Т>з>6, Ге) Ге) так как ф >эл«з>х>Н" Л) субб' ~ее)>Г = >7)' л) Ка)= IТйг) ~ )ра с6.' =фЯ~4~ЦсИ л 4 .Ф ахсЖз ф Л~сЖ .>ь Фщ>т> т"к "з" 'Ф 6~' ~Н =Ятх>~а з сх'6' б, се) ';Ь . Тс> что по теореме "расщепления" можно найти векторы а н а I,Г с точностью дс векторной постоянной, следует иэ того, что слагае- мою тя ив вектора Е можно бняо отнес>и как к вектору а, твжь и к вектору щл, В завершение изложения основы>х понятий теории поля хате- лось бы по>;аэать, как иэлщно Поремонноо электромагнитное лоле ог~исывается следующей системой уравнений Максвелла, являющихся авбукой длв оовреиенного инженера >эаа.>а»>ы~~'р'~ а~бг7 ~ ~> е ~ Я- - обобщенный закон полного тока. 'б)Л'Р > лй' ч»хŠ— — +- - обобщеннан электромагнятнвя индукции; >хйГ3 Мр - обобщенный закон о прерывности линяй электрической индукции>, з>>Г>Гсз>' О - обобщенный закон о непрерывности линий мэг>иеной индукции.
В уравнениях используются слекуюэиэ абоеяачения; Й вектор на- пряженности магнитного поля! Ю - вектор электрической индукции; )ч - вектор магнитной индукции; с> - вектор напряженности электрического пол>ц ,) - вектор плотности тока проводимости; )о - объемная плотность элэитричзских зарядов; С -зЮ и/с- скорость распространения электромагните>х взаимодействий з ваку- уме* Немного истории, Понятие о векторном поле и сазовых линиях ввел йарадвй П791-П67)> он называл их ' ооотзетстаенно "псле смл" и элинин сил". К сожалению, труды Фарадея з этой осласти не получили приэнанип.
Лишь двадцать лет спустя о его теорией позна- комился Максвелл, пс достоинству оценивший значимость этих трупов. Ищвя зекторнога полл навсегда связана с именами йарадея и Макс- велле, 7. тсгонэльные к кволы ейные кос ипаты К изолннойныз кос ипаты коэ н кенты е Чтобы определить основные понвтия векторного анализа (градявнт, дивергенция, ротор)> не требуется введение системы кооряи>э>т, Однако при решении многих задач для зычиоления значений градиента, диаергенцнн, ротора приходится пользоваться коордияатами. В некоторых задачах вычисления в прямоугольной систеые координат стоно- 3> вятся заливке сло>пале. Часто полокснив точки в пространства энгокнеэ апрпкелять на с помощью прнмоугольных декартовых каарканаг' .д:, уи д , а с помощью трах других Ввлячин и> с)> гс> .
Трсбустся> ч гоби качкой тройке числовых эначвний величин и, сгд сду саатзатстаовала опреквлзнная точка а пространства и, обратна, качкой точка пространства долина соотвзтствовать тройка числовых эначений. Такую тройку значений сс, г), ~д наэивают криволинейн>ен каординнтаии. "члелэленив. !<риволинсйныик'координатами точки М в проо'грэнатва насыпается тройка чисел (и, гг, ы| ), опрвдвляюпкх пало>юнна тонни М )>лсаыатрам коаркинвты точки М в декартовой прямоугольной системс каоРкмвт (ДСК)(лики> У) М(л;~Я)и в кРиволянвйщск коог>м натах (КОИ) (си, дг ьФ М(с>>лги ьд); ПУсть мвкДУ каоРДинатвми существусг вво>мноадйазначнов саотввтствив, т.в. существует (ун>гцн нщхымл связь," ~ г = с'ссс с> гсс) ищд л)д .), =гищьгг,г) и, обратно, гу .. с((дыд ур ,д с'(и, сГ, д.
>) ', М' Х>Фщ; ~и И)д пркчэч потребуем, чтобы якобиан в любой точке был нв разан нулю, яхг. у и) .Рсдс, >Г сд') Огйэйэлэ>~ие, йнокватво точек М(и> 0; си() проатранстяа, для которых ф>сксиравэ>га одна координата, называвтся координатной поверхностью, Опйглв>>ание, йнокеатва точек ст(иигг, ссг) пРаатРанства, У катсгчх Фиксирован>г кае координаты, наэывавтся координатной линчи*я. ид>дддддид. и и >~ > гкнейноя аиствме кооркннат - пред>е, то такие координаты называются ортдганлльщми крявалинэй>энди координатами, Принарц аоатагон>ддьных к иволинайнпх кос инат М>ди>ч>ии р Ксарчинагные поверхности: .к =с ~Л- цилинкричвскал пазархность а образующими> парвллалы'*мя осн ОР и напразляющзй с вида округа наоти рэм>уся х с центром на оси Оя >л сомсы- полуплоскость, проходящая через оаь Оя у ог>гхб- плоскость, пэрпанкикуллрнэя оаи Оя Связь ФК с )(СК с .х и х сс>ги>Л> хдОг и, Координатныэ поверхности оэчгб- а$ера а центром в начала координат рвдиуаз (ид ~сагсгс' полупласкоать, прохокяпая чарва ась Оя О сс>дгхб- конус с асье смллвтрии ОР н углом раствора при вершина, аовпккащкэй с началои каорвинвт, равным д Связь ССК с )(С((г .м.
хос>гсд ссгг)г, ф Г Сыск гщд й„ х,гикс О . И ЗЭ х,'4 г>д~~>>>~иди,.х .., „„, .и>, и,~- латать аущвстваваниа хаич>гольной в любой точка координатной линии (т.в. првдполавии, что координатная бс бу, линия - гладкая), Обоонмчм координаты г точки М и раэщдх систг>сэх координат г М(х с> л) М(сс, сг гд>) . При>векам чврээ точку М ортсгопалымо косрдннатыгэ м д, линии н бУдам счк'г: т>, /;ч1 -"- сди(>г, о н, гдс сд>Я - дщ)дгэрэн>гкал луги коарди- Ф нотной линии с"с ; о.'сг - базисный ввктор каордннагщмй линии сдг , напрааленный по .голтсльной к сгг Ф.
Ф (рис. 15). >>налогично вводятся сиЯ, Рис. Тб сс'сг . Примем за базис в тачка /"1 р й у ~Д,.,гг„Я, ~ Оаномгоа отличив декартовой сиотемы координат ат кривалкнзйной аиствмы координат состоит в там, что кля КОК бэвкс ', Х ваэгла один и тот ка для любых точек пространства, с,„,. ( для КСК бэйнс э качкой точке пространства свой, в силу тага,чта н КСК точка находятся в пвресэченин трех кркэалннейных коар>г- натнысс лммй, !Е и«Р.»эс э" «эи ыиээхвса в а «ФО « г/ -- г!(«ц у, г ) . Трем'летов войти вырааение для атас/ // в.виде рвз»ояыия'по орта!«1«(„, Рм, Е„,» ~в криволинейной ортогональной оистомэ кооркинэт, Ллл отого необходимо найти проекции ~тес/ с/ нэ сюпрээлэния этих орсон.
Проекция укссг/С/ на какое-либо нвпгнэлэчээ Гэонэ прэиззолной От // по етому направлению' «эсг л г/, и с/ / р/! "бг" = /«аэ х =/«ът ""и с( а ~с» эи а /тли / с»и Риз!оси,нэ ппрояэляютоя проекции ~хсгс/ сс на с»д н о'и / «рс/ »Ъ~ / с7// »Сл б, У«г о'лис Ьг с/и/ Пэсэсээтслыкс, ~с«!«/с/ =--,- —,)- г л — — Й л — у — Е ди — / Яи — / Рг/ I/ Й««и б сусг с! »З и!Ы ' - ) !с!сии! лля вычисления градиента окалярной фунхции с/ з криволинейной окотеме кооркинэт. звякаем выражение для рта«Ы в цнлиндрнчвокой оиотеме моор" лк!э!т! ~!хсс/// = — «э е -«! — бт» "«!- Е'.
с»г/ - / Яг/ - «/г/— УХ Х .~ Э~ !» э!Л В. В е!ери'[эс!«ой Рно'сэ«сэ координат! д«с — / Вг/ — / /г/ у»с«с/// -: — ю»' — — - — бт»- — — б' «) г '!'. г с«и «э «т«/» !» т «з!р сг ' Дкэергендня в к1»яэолкнейнхи коо ипатах. Цуоть ,«/«с»' «-' Ф с/«'сса(м)-/ю ! "'Ь»- - по определению. Воопользуемоя !.,! У зти! опрелеэениом и вычислим с!»««с««(М) в точке М(и, д;эо) в криволинейной сноточо коорэинат и, сг«Г.
Лля етого найдем логов век- ТОРЭ а -.~Л„С! ', асв ~ Н базИОЭ.~Е„, бт, Я„» ~ ЧЕРЕЭ ПОВЕРХ- ность бэокос!очно малого пэрэллелепкйода в точйэ М о ребрами с//, с/Ел,с// и рвояслим его на объем етого параллелепипеда !риз. 17!. Сначала вычиолим поток через грани, перпендикулярные ребру с/е/ .
Вне!э!ля нормаль к !'рани ММ~ л/з М оовпэдвег о векто- З рэч -ст , оээзозатольно, поток' через зту грань равен о точностью эо бесконечно малых э!:зато порядка откооктээьно объема парвллвлспипеда: Вб д.»т „/б„-аи «Ю, =-аи с// с/с». ='-а„ /л/ с/Юс/ ~, ' и где а б , В вычиоляютоя в точке Ва противополоиной грани ц! М »!/ »х»»!/ первая координате равна ,, ~и > внезняя нормаль оовпвка- г ! ет в ст «величины с«и» /л, /з отличаютоя от их значений на первой с)/! ~ 1иь грани нв прираквиие бгс ~ эха ') +- ° ° (а, /й /, )сги, и «сг 3 Поток через вту грань равен Г! ! бг т ! (аи/й/ "В«П(а /л/г)с/и)с/«!асс«/, Ибэ'~" Суммарйый поток через дзе рэоомотрекнмв грани равен оумме потоков; ' /аи бг /г' Ыс ~г /з )с/и)с/ос/юг аи ~г / с/ь~(с«/ " (аи /Л /л)с/и«/с!«(~Л . В с»и Аналогично для других пэрэллелыа!х граней; сээ-„(а,~///л)с/ис/эс/с«с, щ(а г/тЬ,)асис/и«/и!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
