Сержантова М.М., Логинова Л.А., Познякова Л.В. Теория поля. Под ред. Сержантовой М.М. (1992) (1095464), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Плокив зти потоки и поделив на объем элементарного параллелепипеда, получим »1 . с/слг а(м) = — -,— — !,тис" (аи /!г ~;!)'Ь' э» л) с» !' / д с/ а /,! — 'а /./!) и Вэпиием выражение лля дивергвнции' в цнлинкричеокой оиотесле коор- динат: с/г,га -,-„'- -;„-(х ах)» — -ур-(а,,) юу-(а,), В ойвричеокой оиотеме коорэинат; а»с«са' — -' — (зла )» — — б! ъ — (ат,);- — — у (сг ссхсс!) с«г Роте сэи ь э к иэолинейны коо ипатах.
По опрзаелению прс/екцсся ротора вектора а но заданное направление ч вычколя- етоя по Формуле тс/П. =- /ах, ст Тик чо, клк и в случае дивергвнции, раооиотрии влементврный пирвллолопкпсл (в тех вв обовнвчениях) и вычислим проекции ротоои векторе а но направления Г„ Ет„ ст„г (сы.рис. 17). нейдем проекцию ротора вектора К йв направление Р,~ вычислим циркулже!ю по контуругб'~~ 4~~ РгЗгЧи разделим ев не ой: . = аЪ„ . Циркуляция по всему контуру будет равнв сумме ггд 23 четырех криволинейных интегрвлов по соответствующим ребром пврвллолепнпедо. Проекция а на ИР~~ равна а , следовательно, локлолинойиый иглегрвл вдоль Нг( о точностью до бесконечно милых инсвих порядков относительно а'6' а„.сЯ = а, ( лЫ. Криволинейнпй интегрвл по ребру с$~ гу отличается от предыдуще- 3 го тои, что третья координвта резне М~ ллло' и нвправленке отревко л~~ л~~ противоположно сгм , повтоиу криволинейный интегрвл по У гу рваон Р -(а„(л+ у — (ау~.,)( г) (б.
Лля репри /'~~И: -а„~з--а,(.ла . Лля ребро Ил Ф ои очвт, прирещения второй координаты; 7 Га„,(„~ — (ас,(, ) ( )о) ! Просуммировав полученные выражения, получим циркуляцию вектора а по контуру Мг( гну г( Рl: — а - у —,,,(ая(л)л(Мау+.~П (а ). ),(„г ~.„(, разделим РезУльтат нв о(ч -(, (. п(блЫи полУчии пРоекЦию л 3 роторе вектора а на Е, , т.в.
соответствующую координату ротари: хг а — ' !' ~-(а (, ),(а ( )) г а Остальные проекции определяютоя аналогично, В результате получим клб а ~ ( ~~:.(а~,г(у)-~~ (асад)е,„г — „~-Л вЂ” — „г(а,„~.,)- Р -,—,„(а„(л))Е„г ( „~-у„— (аяг.„)-~у(а„г.,))вх„,, ( гу д ух звписеть болео компвктно с помощью Последнюю формулу можно определителя ~и б, ~,я Ж- а)., аы),, а Ь координстах (т, у', г ), их еи г,, х д Я 3 -ЭУ а та~ а' рдинатах (х, Ч', !р): В цилиндричеоких В сферических кос г к"л~дф к мй~ М'- ф ак кгсг()а!г ка„ Опе то Леплеоа в иволинейных кос и ага . 1. для сквллрной функции И(и, ь!;М), Тек кск аИ саврас( И, то оператор Лвпласв в криволиней- ных координатах имеет вид Я Л П '~Ы 3 ~гЦд А~ с) (кЯ~ дИ ! (- — ~г < т) ~ ~ л1Ы.
Ы В цилиндрических координвтвх (х„ р л), у Р З~, ( Р"а ФИ ли - х ".гх-(' л )' -,у р-~ у' д В сферических координатах (т,)Р, У): ла = — „у-(х -д") я, зу р)гл ха~3 О~! 'с е„, е, -.гс'гг а> с> гсл р' для афвричаокнх коорлинят Г т, >Г', д) г е,> гс /2 В сс>5 >г' сгг =.хГ>сг аГ+ лА, сг' с'г Г г>г с'> сс о'сьГ Ьг сссс ет с аиВсюгр' -гс'ггу -гсгг Васс у> аиВГсгс р сс>гу> уса В б> Сформулирувм правило и таггка с„— ( —,,' с' °,„о>с+ р-,~~ а. Ву с- Вл ' -ИЖ .+Г тй ! >йю с'У ~ Рг— — ° — -,гя у-А~ А' е А" вб, с еы ,г е сгл УЙ вЂ” -Ф- l У с>сс сГ сс'>ссг, счс>г 7г дс,г лр Я ° сл Вс" г Ру 4г с>сг басс д гг / г г гз б о'х 2, Ллн всагг рнай Функции с> Л> прел>гкущаго тюу сг>б су =~тЫ с~с'сгсу - л с> > >'>8 лсч = ух>>ссг ссгссг су — тсЕ ссИ сс ) аг га > л аоб яоаалник о тов.
Иалоиким, что с>Гсг =1тЫсс т. л.. ДО>аГ>КИ>Г СКЯЛЯРНа бм, бтл С' . Иа ВЫРаКВИИЯ, атолипа ОПРВВа> И, > проаум>с>гравав расультяты, гк>пучки .сг.сг — Г 4 - Г' Ъ"- ' =' А-' Э" " ' гд Ьг еы' юл Ы е гГ ' 'I'~ зи сс ' гд Вб "6 ' Ат А~У '~~'> г Всл - г с)а - г с~я А=-- .' Е и — —.Е и — —.Е Ь, Всг сс г-,р Вгг и Аз Рюг оГ Или в матричной авпиаи с пома>цью матриц парохода Зяпилсм матрицу пааахода для цилиияричвских координат Гт л л.> > г> 40 ольоованил этими матрицами, Чтоб>с получить, иаприивр, вначвнив с' в афвричвскай систвмв нооркинат, недо вырвквиия в пвраай отрока матрицы дамнокить нв аоатовтстауюассв вдиничнмв ввкторм аиствмы координат ( сс, К ог ) и просуммировать их, в рваультатв получвам с' сюгдсс>гр'е' - гсл)л е -гсг>Влагу>е к ' у' с> Аналогично Лля Е„ (ко Ломноквнив по столбцу): сг - "сюгВсаг г>с + юргВлсгс гй) г л 'л ВАч и р и м в р~ сквлярнав палю гА "/г<.м -)гс проабравовять к цнлиняричаокой и афвричвскай сиатвмам нсорлииат и найти вго гряливит в втик коорлинятах.
Лля контроля вычислить тИ угс сг' сг и убедиться в раввнствв вга нулю. Р в в в и и в. й цилинлричвской сиотвив кооркипат г"г, Г, л) .х. хсю>гуг; >Г. кгсл>Г, сс' >глл- х", с г" Г> сл х, гг = г, ~и - г л)ц - Всг~тасуй=к- е г.— . е +-)-е сги х с лф гс> с я е = ~7 л еляб)'е~гг' ду х лег > «,.В,,е ' ': —,=~) ~ де ~-т,х я ° и >' ~ Ггг г>г М'г'-т')') е Гжд В»7 7~ ЭВ тсаслд ' м о В 3 тай а" т-гх»»г2 В Контроль: ея К ссХВ о'В р'д МВ гс»С рхас7 М ГЛЛВЛ 2.
ПРИЛОЖЕНИЯ .+ Ея (' Н В »7» "б Г - г е", »/ е .В»е г гйща~. В сфврической оиствие кооркннвт гч,(х В), сс = та»хджгр, т сох дхсл т», б тзт»гд, сс т юг" д утисбсг = -с~-' е а — — е» вЂ”,г" е Всс г Всс' тагхд 3у с» т од В ' утаа» Ы = г»сах.сд Ет - -~,~ лд Е =-б Е» Е " Хгллд Хуляд ~тз~в "7ТЮ)»В е„-д. р и м в р. Векторное поле а - »»с'",а » ,» "2; х,„ об(щэссать к цилинярической и сферичвско(( системам ксоряинат и вычислить таад . Лля контроля вычислить ссугга и сравнить ее со значением сб»ге ср в ДСК.
Р е в е н н е. В цилиггярической системз координат Гк ; е)г а --Щгт ГО Х Ех.-гб УЕ )»таГХ(ХГХЛЛ(ГЕ»Саар'д )» г' - хет,+ ке Контрслгм ас'гга = б в КСК, Сг в ЦСК. В сферической системе координат ст»7» В) . а -чссхдхсл(л(сахдсах(ле -хк»тс»Е -хглдсохРЕ )» е »тссхдссхг»хссхдх»»где»сыске -х»лдхаг(хе )» хагхдГхслде + е к .согде 7 утхглЛВе„»хсахдеьг»тсаглде а»гаса б»б» б ХВЕХС), сЫг а ° -(- -ф- Гк л — тхсл ЛВ)» — ф-Гчсхггд)» Г Г 7 тл т Л таыд ~~ У" Й'агх д): — л хблЛВ -г-х»0» х В х 7 3 ксахд од "к — хд т Зссх ВГ-хелд) "Зхслдсахд-Зхч»гдссхд В. 1, Иссле оввнив г авитвгионн го по Ванную роль в прнрояв играет гравитационное вваимокействие, Если два тела расоматрнвать как матернвльсвге точки, тс сила гра- витацконкого вэаииоксйствия (или сила тяготенил) манку геаи окавыоается обратна пропорциональной квадрату расстояния невку точками и пропорциональной произвекению их масс.
Обозначая массы тел через »и и лг и расстояние мекку ними через к , мозно записать формулу для гравитационной силы, яействующей мекку материальными тсчквии: г»» ла у" гко ) - универсвльнып ковфрициент пропорциональности, не вани- слщий от прирояы вваимояейсгвующих сил (минус указывает, что си- ла Р являетоя всегяа силоп притлкеник), Эта формула выракаот закон тяготения Ньютона, Величина у называется гравигационной постоянной. Исслепуя гравитационное вэсимояействне, мсано прийти к поня- тно поля тяготения, которое монет быть ввекено слецтющгог оорвзсм. Рссомотрим некоторую точку Р , нвхсляггуюоч нв расстошвгл от материальной точки массой »»г .
. Если в точку Р псчес- 43 тить ациничную массу пл.. . то не нее букет лейотвовать сила тлготеьвьн, обуслоэленнал массой лю . Зта сила обнаруживается в кэжлой точке пространства, окружающего материальную точку массой лю , Поэтому говорят, что вокруг материальной точки маооои лгь суьььеотвует поле тяготения (или гравитационное лоле), которое проявляет себя через силу притяжения. Валки матемвгичеокое описание поля тяготения и исояецуем это поле. )эссьлотриьл поле снл тяготения, обраооввнноз некоторым лритягивэщьщм телом массой лть (считаем его материальной точкоИ массой гьь ).
Вволэм систему коорцинат Охэьги о началом в материальной точке мэссоИ лль ). Тоща елиничная масса„ помещенная в произвольной точке пространства, букет притлгиватьоя к начвлУ Коорпинот силой Г .Я-. Таким образом, в квэщой точке Р , лсжаэьэй вне притягивающей масом, опрелелен вектор Р , направленный к началу коорцинат н численно равный ((тгь/ К г , т.е. в кашкой точке пространства кроме начала координат валено векторное поле. В ьщ ьэле ксорцинат поле нв опрецелено.
Вектор г в любой точка Р имеет направление, противоположное рациуср(х,у,вь вектору точки Р , поэтому Л! учитывая, что И лсл'л уел л ИЕ и (х ),/~~~~ул гг, полу Йм, что Рко. (В г уьх Л Гььф глав схглуглгг)гг Схг.,уг>гг)з"' схв('Дуг рассмотрим некоторые эвца1и, связанные с характеристиками полл тяготения. 1, Найдем вэкторньье линии поля тпготения. Уравнения эекторэьх линий нахсцлтоя ив системы цьь(ь(ьерзцциальных уравнений лйх ~'~ д~л г «,Р ФГ;Ф,я) Г (х;3~ э) гле "1Гю/ Ултре л СХ'легл г"ЬЗ'" ' С' гХг „ги а~Ух ' г =,, г гь ..Иг' ьь лу Уравнения векторных линий улобнее получать в параметричсбььои. йорма. )(ля отоь о расьлстрич систему ЛиФ)ю(ьэнциаль1ных уравнений .Ц (хгл~ лгг) ~ Сгсг углгг)~~ Не лгЕ Фю г ( л)г гг) /уь,й' лю г , Схгл~ лгг) г лхг,~лг,гг) лг с г г, г) льлх х, лллу' 2Е Е л 2Е= Е ь сЕЕ=Е Интогрируя сиотему, получим х сгЕ; лг = с, Е; и -с Е ° Втк уравнения описывают семейство векторных линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
