Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 30
Текст из файла (страница 30)
что этому уравнению удовлетворяет радиус- вектор «точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере). 1147. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой «=а1 и сферы «'=Ю Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что а=(1; т; п). 1148. Найти радиусы-векторы точек пересечения прямой «=«о+а1 и сферы (» — »,)'=Ж Вычислить также координаты точек пересечения при условии, что «з= =(х,; у,; г,), а=(1; т; и). 1149. Точка М,(»,) лежит на сфере (« — «,)'=Р'. Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М,.
1150. Составить уравнение сферы, которая имеет центр С(«,) и касается плоскости «и+О=О. Написать уравнение этой сферы также в координатах при условии, что «, = (х,; у1', х1), п=(А; В; С). 1151. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере «' =Я' и параллельных плоскости «и + 6=О. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что и (А; В„ С), 17З 1152. Через точки пересечения прямой»=»,+а1 и сферы (» — »,)' =Р' проведены касательные плоскости к этой сфере.
Составить их уравнения, Написать уравнения зтих плоскостей также в координатах при условии, что», (х,; у,; ге), а=О; и; а). 9 46. Поверхности второго порядка Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой си. стене декартовых прямоугольных координат определяется уравнением х' у' »' + — +-т — =1 а' Ь' с' Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины а, Ь, с суть полуоси эллипсонда (рнс. 47). Если все онн Рис, 47. различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие- нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения.
Бели, например, а= Ь, то осью вращения будет О», При а = Ь < с эллипсоид вращения называется вытянутым, при а=Ь > ссжатым. В случае, когда а Ь с, вллипсоид представляет собой сферу. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями: х' у' »з — + — —" =11 а' Ь' с~ хз уз »Я + г — = 1. (3) а' Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется одно- полостным (рис.
48); гиперболоид, определяемый уравнением (3),— двухдолостным (рис. 49), уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины а, Ь, с 174 называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнеяием (2), только первые из них (а и Ь) показаны на рис. 48. В случае двухполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна' из них (именно, с) показана на рис. 49. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при а= Ь являются 2 поверхностями вращения. Рис. 48. Рис, 49. Параболоидами яазываются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уран пениями; х' у' —. + — 2я, (4) Р Ч л2 у2 — — =2г, Р Ч где Р и д — положительные числа, называемые параметрами параболоида.
Параболоид, определяемый уравнением (4), называется зллиптическим (рис. 50); параболоид, определяемый уравнением (5),— гиперболическим (рис. 51). Уравнения (4) н (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. Й случае, когда Р=Ч, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверх« постыл вращения (вокруг Ог). Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).
Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой а. За» дадим, кроме того, некоторое положлтельное число д. Пусть М- 175 произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости и, М0- основание перпендикуляра, опущенного на плоскость а из точки М. Переместим точку М по прямой ММ~ в новое положение М' так, чтобы имело место равенство МзМ' =Ч ° МОМ и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости а, где она была первоначально (рис, 52), Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости а; точки, которые расположены на плоскости а, оставим на Рнс. 51, Рис.
50. своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости а, переместятся; при этом расстояние каждой точки от плоскости а изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжа! тием к плоскости а; число д носит название коэффициента сжатия. (У Пусть дана некоторая поверх- ность г"; при равномерном сжатии д пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях составят поверх.
Рис. 52. ность Р', Будем говорить, что поверхность г"' получена нз Р в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения.
П р имер. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид хз у2 а2 + — + — =1 пз 3| сз может быть получен из 'сферы лз 1 у2+а2 пэ 176 с х =х, у'=у, г'= — г, (6) х=х', у=у', гам — г'. Я с (7) Предположим, что М(х; у; г) — произвольная точка сферы х'+у'+ г2=а2. Заменим здесь х, у, г их выражениями (7); мы получим: 2 х+у+ — г02, р2 р2 И р2 с2 откуда ~2 ,2 р2 х у' г' — + — + — =( п2 Следовательно, точка М'(х'; у', г') лежит на эллипсоЪ2де вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к пло.
скости Охг по формулам: /Р х =х, тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение кото« рого дано в условии задачи. Отметим еще, что однополостиый гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей. Однополостный гиперболоид 2 у2 г2 — + — г- -г-1 а2 Ь с Л7 результате двух последовательных равномерных сжатий прост- ранства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициенс том м сжатия д1 — н к плоскости Охг с коэффициентом сжатия и Ь У2 ° а д ок а з ат е л ь с т в о.
Пусть производится равномерное сжатие с пространства к плоскости Оху с коэффициентом д1 — и пусть и М'(х", у", г')-точка, в которую переходит при этом точка М (х; у; г). выразим координаты х', у', г' точки М' через координаты х, у, г т~чки М. Так как прямая ММ' перпендикулярна к плоскости Оху, то х' = х, у' у. С другой стороны, так как расстояние от точки М' до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этои плоскости, с с помноженному на число с1 — ††, то г' = — г, а' а Таким образом, мы получаем искомые выражения: имеет две системы прямолинейных образующих, которые опреде- ляются уравнениями: а — + — р 1 — У 1 > ( — — — 1-а (1.> >1, а — + — р 1+— — а 1 — о > где а и 6 — некоторые числа, не равные одновременно нулю.
Ги. перболическнй параболоид х' у' — — — =2г Р также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями: ( а ( — +=1=2>д l х у 7 х у а ~= — — 2рг, Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что вта прямая проходит через постоянную' точку Я н пересекает некоторую определенную линию Ь, Точка Я называется вершиной конуса; линия Š— направляющей. цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что вта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию Ь (направляющую).
1153. Установить, что плоскость х — 2 = О пересекает х у г эллипсоид —,+ —,+ 4 1 по эллипсу; найти его по« луоси и вершины. 1154. Установить, что плоскость х+ 1 = О пересекает х' у' г' однополостный гиперболоид — — „+ — = 1 по гипер- 32 1о 2 боле; найти ее полуоси и вершины.
1155. Установить, что плоскость д + 6 = О пересекает х> р2 гиперболический параболоид — — — = 6г по параболе б 4 > найти ее параметр и вершину. 1156. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида д'+ г'=х плоскостью х+ 2д — я = О 1157.
Установить, какая линия является сечением х' у' г' эллипсоида — + — + — = 1 плоскостью 2х — Зд + 4а- 12 4 3 — 11 = О, и найти ее центр. 178 1158. Установить, какая линия является сечением Хг Хг гиперболического параболоида — — — =у плоскостью 2 3 Зх — Зу+4г+2=0, и найти ее центр. 1159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 2) хг уг — — — =2г, 4 3 2 х — 2у+ 2= О; Хг у' — + — =2г 3 6 Зх — у+бг — 14=0; 3) х' у' хг — -1 — — ] ) ° 4 ' 9 36 9х — бу+ 2г — 28 = О, и найти центр каждой из них.
1160. Установить, при каких значениях т плоскость х+ тг — 1 = 0 пересекает двухполостный гиперболоид х' + у' — г'= — 1 а) по эллипсу, б) по гиперболе. 1161. Установить, прн каких значениях т плоскость х + ту — 2 =0 пересекает эллиптический параболоид х' — + — =у а) по эллипсу, б) по параболе. 1162, Доказать, что эллиптический параболоид х' — + — *=2у имеет одну общую точку с плоскостью 9 4 2х — 2у — г — 10 О, и найти ее координаты. 1163. Доказать, что двухполостный гиперболоид хг уг 2 3 + 4 — 1 имеет одну общую точку с плоскостью бх+ 2г+ 5 = О, и найти ее координаты.
х' уг 1164, Доказать, что эллипсоид †, + -5 + -~-= 1 имеет одну общую точку с плоскостью 4х — Зу+12г — 54=0, и найти ее координаты. 1165. Определить, при каком значении т плоскость х2 у2 х —.2у — 2г+ т=О касается эллипсоида — + — + 144 36 а' + — =1 9 1166. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору п=(2; -1; — 2) и касающейся эллип- 222 тического пар аболоида — + — 2г. 3 4 1167, Провести касательные плоскости к эллипсоиду 4х'+ 16у'+ Зг'=1 параллельно плоскости х — 2у+ 179 +2г + 17 = О; вычислить расстояние между найденными плоскостями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
