Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 25
Текст из файла (страница 25)
914. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор а=(5; О; — 3). 915. Точка Р(2; — 1; — 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916. Даны две точки М,(3; — 1; 2) и М,(4; — 2; — 1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору М1М,. 141 917. Составить уравнение плоскости, проходящей че. рез точку М~ (3; 4; — 5) параллельно двум векторам а =(3; 1; — 1) и аз =(1; — 2; 1). 918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М,(х0, 'У0; г0) параллельно двум векторам а~ — — Д~, т~, и,) и а,=(1з, из;, пз), может быть представлено в следующем виде' хо у уо г го ш, и, 1, из, И =О, 919. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М,(2; — 1; 3) и М,(3; 1; 2) параллельно вектору а=(3; — 1; 4). 920. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М,(х„у,; г,) и М,(х,; ц;, г,) параллельно вектору а=(1; т", и), может быть представлено в следующем виде; х — х~ у — у, г — г, хз — х, у, — у, гз — г, =О.
921. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: М,(3; — 1; 2), М,(4; — 1; — 1) и Мз(2' 0> 2) 922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через три точки: М, (х|, у,; г,), Мз(хз', уз', г,) и з(хз1 Уз' гз) может быть представлено в следующем виде~ х — х, у — у, г — г, хз — х, уз- у, гз — г~ хз х~ уз у~ =О. 142 923. Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей.
В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора1 1) 2х — у — 2г+ 5 = О; 2) х+ 5у — г = 0; 3) Зх — 2у — 7 0; 4) 5У вЂ” Зг=О; 5) х+ 2=0; б) у — 3=0. 924. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости; 1) 2х — Зд+5г — 7=0, 2х — Зд+5г+3 О; 2) 4х+2д — 4г+5=0, 2х+д+2г — 1=0; 3) х — Зг+2=0„2х — 6г — 7=0.
925. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости: х+ 9д — Зг+ 2=0; х-д-г+5=0; х+ 2г — 3=0. 926. Определить, при каких значениях 1 и т следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости: 1) 2х + 1д + Зг — 5 = О, тх — 6д — 6г + 2 = 0; 2) Зх — д + 1г — 9 = О, 2х + тд + 2г — 3 = О; 3) их+Зд — 2г — 1=0, 2х — 5д — 1г=-О.
927. Определить, при каком значении 1 следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости: 1) Зх — 5д+Ь вЂ” 3=0, х+Зд+2г+5=0; 2) 5х+д — Зг — 3=0, 2х+1д — Зг+ 1=0; 3) 7х — 2д — г=О, 1х+д — Зг — 1=0. 928. Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей: 1) х — д)~2 +г — 1=0, 2) Зд — г=О, 3) 6х+ Зд — 2г =О, 4) х+ 2д+ 2г — 3=0, 929. Составить уравнение плоскости, которая про* ходит через начало координат параллельно плоскости 5х — Зд+ 2г — 3=0, 1) Зх — д — 2г — 5=0, 2) 2х+ Зд — г — 3=0, 3) 2х — 5д+ г= О, х + д ~2 — г + 3 = 0'1 2д+ г =0; х+ 2д + 6г — 12 = 0', 16х+ 12д — 15г — 1 = О. 930.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(3; — 2; — 7) параллельно плоскости 2х — Зг+5=0. 931. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям» 2х — у+Зг — 1 О, х+2у+г=О. 932. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(2; — 1; 1) перпендикулярно к двум йлоскоотям» 2х — г+ 1=0, У=О. 933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(хо; уо', го) перпендикулярно к плоскостям А»х+В»у+С,г+0»=0, А,х+ В,у+С,х+ 0,=0, может быть представлено в следующем виде: х — хо у — уо г — го А» В» С» Ао В2 С2 =О. 934.
Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М» (1; — 1; — 2) и Мо(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости х — 2У + Зг — 5 О. 935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки М»(х»', у,; г,) и М,(х~; д,; г,) перпендикулярно к плоскости Ах+ Ву+ Сг+ П =О, может быть представлено в следующем виде: х — х, у — у, г — г, хо — х~ у~ у~ А В С 936. Установить, что три плоскости х — 2у+г — 7=0, 2х+у — г+ 2=0, х — Зу+2г — 11=0 имеют одну общую точку, и вычислить ее координаты.
937, Доказать, что три плоскости 7х+4У+7х+1=0, 2х — у — г+ 2=0, х+2У+ Зг — 1=0 проходят через одну прямую. 938. Доказать, что три плоскости 2х — у+ Зг — 5=0, Зх+ д+ 2г — 1 =О, 4х+ Зд+ г+ 2 =0 пересекаются по трем различным параллельным прямым, 939. Определить, при каких значениях а и Ь плоскости 2х-у+ Зг — 1=0, х+2У вЂ” г+ Ь=О, х+ау— 6г+ 10=0: 1) имеют одну общую точку; 2) проходят через одну прямую; 3) пересекаются по трем различным параллельным прямым.
144 5 39. Неполные уравнения плоскостей. Ууавненне плоскости «в отрезкахъ Каждое уравнение первой степени Ах + Ву + Са+ 0 = О (в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (Э=О), то плоскость проходит через начало координат, Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось.
Если в уравнении отсутствуют два члена с те. кущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью. Если в уравнении плоскости Ах+ Ву+ Сг+ В =О нн один из коэффициентов А, В, С, Р ие равен нулю, то это урав. пение может быть преобразовано к виду — + — + — =1 х у з Ь с где В с= —— С суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат).
Уравнение (1) называется уравнением плоскости «в отрезках». 940. Составить уравнение плоскости, которая проходит. 1) через точку М,(2; — 3; 3) параллельно плоскости Охд; 2) через точку М,(1; — 2; 4) параллельно плоскости Охг; 3) через точку М,( — 5; 2; — 1) параллельно плоскости Оуг. 941.
Составить уравнение плоскости, которая проходит: 1) через ось Ох и точку М,(4; — 1; 2); 2) через ось Оу и точку Мз(1; 4; — 3); 3) через ось Ог и точку Мз(3; — 4; 7). 145 942. Составить уравнение плоскости, которая проходит: 1) через точки М,(7; 2; -3) и М2(5; 6; — 4) параллельно оси Ох; 2) через точки Р~ (2; -1; 1) и Р2(3; 1; 2) параллельно оси Оу; 3) через точки Я~ (3; -2; 5) и Я,(2; 3; 1) параллельно оси Ог. 943. Найти точки пересечения плоскости 2х — Зд— — 4г — 24=0 с осями координат.
944. Дано уравнение плоскости х+2у — Зг — 6=0. Написать для нее уравнение «в отрезках». 945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью Зх— — 4д — 24г+ 12=0 на координатных осях. 946, Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость 5х — 6у + Зг + 120 = 0 от коорди н атного угла Охд.
947. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х — Зд+ 6г — 12 =0 и координатными плоскостямии. 948. Плоскость проходит через точку М,(6; -10; 1) и отсекает на осп абсцисс отрезок а= — 3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках». 949. Плоскость проходит через точки М, (1; 2; — !) и М,( — 3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок Ь=З. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».
950. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(2; — 3; — 4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат). 951. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М,( — 1; 4; — 1), М,( — 13; 2; — 10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины. 952.
Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку М~(4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины. 953. Составить уравнение плоскости, отсекаюшей на оси Ог отрезок с = -5 и перпендикулярной к вектору п=( — 2; 1; 3). 146 954, Составить уравнение плоскости, параллельной вектору 1=(2; 1; — Ц и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3, 6 = — 2. 955.
Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х — 2ц+4х — 5=0 и отсекаюшей 2 иа координатных осях Ох и Оу отрезки а = — 2, 0= —. $40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде хсова+ у совр+ гсов у — р = О, где сова, совр, сову суть направляющие косинусы нормали плоскости, р — расстояние до плоскости от начала координат. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).
Пусть М* — какая угодно точка пространства, Н вЂ” расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением Ь точки М' от данной плоскости называется число + И, если точка М' и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число — А если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М" лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю). Если точка М' имеет координаты х', у", г', а плоскость задана нормальным уравнением хсова+усов~+гсовт — р=о, то отклонение точки М' от этой плоскости дается формулой Ь= х'сова+ у*совр+ г'сову — Р.
Очевидно, 0 = ~ Ь ). Общее уравнение плоскости Ах+ Ву+ Сг+0=0 приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирующнй множитель, определяемый формулой ~' А' (- В' .)- С знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения. 147 966. Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными: 2 1 ! — х+ — у — г — 3=0' з з з 6 3 2 — х+ — у — г — 5 = 01 957. Привести каждое из следующих уравнений ско стей к норм ально му виду: 1) 2х — 2у+г — 18=0; 2) — х — — д+-г+3 3 6 2 7 7 3) 4к — 6у — 12г — 11 = 0; 4) — 4х — 4у + 2г + 1 5) 5у — 12г + 26 = 0; 6) Зх — 4у — 1 = 0; 7) у+2=0; 8) — х+5=0; 9) — г+3=0; 10) 2г — 1=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
