Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При каком значении т прямая— х+1 у — 2 +з = — параллельна плоскости х — Зу+бг+7=0~ 1046. При каком значении С прямая < Зх — 2у+ г+ 3 = О, 4х — Зу+ 4г + 1 = 0 параллельна плоскости 2х — у + Сг — 2 = 01 1047. При каких значениях А и 0 прямая х=3+ 4~, у = 1 — 4~, г = — 3+ 1 лежит в плоскости Ах+ 2у— — 4г+ 0 =01 1048. При каких значениях А и В плоскость Ах+ + Ву+ Зг — 5 =0 перпендикулярна к прямой х = 3+ 21, у=5 — 31, г= — 2 — 2П х — 2 1049.
При каких значениях 1 и С прямая у+! х — 5 4 З перпендикулярна к плоскости Зх 2у+ + Сг+ 1=01 1050. Найти проекцию точки Р(2; -1; 3) на прямую х = З~, у = 51 — 7, г = 21 + 2. 160 1051. Найти точку Я, симметричную точке Р(4; 1; 6) относительно прямой х — у — 4г+ 12=0, 2х+ у — 2г+ 3 =О. 1052, Найти точку Я, симметричную точке Р(2; — 5; 7) относительно прямой, проходящей через точки М, (5; 4; 6) и М,( — 2; — 17; — 8). 1053.
Найти проекцию точки Р(5; 2; — 1) на плоскость 2х — у + Зг+ 23 = О. 1054. Найти точку Я, симметричную точке Р(1; 3', — 4) относительно плоскости Зх + у — 2г = О. 1055. На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А( — 1; 2; 5) и В (11; — 16; 10) была бы наименьшей.. 1056. На плоскости Охг найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек М~ (3; 2; — 5) и М,(8; — 4; — 13) была бы наибольшей.
1057. На плоскости 2х — Зу+ Зг — 17=0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А(3; — 4; 7) и В( — 5; — 14; 17) была бы наименьшей. 1058. На плоскости 2х+ Зу — 4г — 15=0 найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек М,(5; 2; — 7) и М,(7; — 25; 10) была бы наибольшей. 1059. Точка М(х; у; г) движется прямолинейно и равномерно из начального положения Мс(15; — 24; — 16) со скоростью и = 12 в направлении вектора з = ( — 2; 2; 1).
Убедившись, что траектория точки М пересекает плоскость Зх+4у+7г — 17=0, найти: 1) точку Р их пересечения; 2) время, затраченное на движение точки М от Мц до Р.; 3) длину отрезка М,Р. 1060. Точка М (х; д; г) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М~(28; — ЗО; — 27) са скоростью о=12,5 по перпендикуляру, опущенному из точки М, на плоскость 15х — 16у — 12г+ 26 = О, Составить уравнения движения точки М и определить: 1) точку Р пересечения ее траектории с этой плоскостью; 2) время, затраченное на движение точки М от Мз до Р; ° 3) длину отрезка М~Р. 6 д,, В, клетеиик 161 1061.
Точка М(х; д; г) движется прямолинейно и равномерно из начального положения Мо (11; — 21; 20) в направлении вектора я = ( — 1; 2; — 2) со скоростью о = 12. Определить, за какое время она пройдет отрезок своей траектории, заключенный между параллельными плоскостями: 2х+ Зд+ 5г — 41 = О, 2х+ Зу+ 5г+ 31=0. 1062.
Вычислить расстояние Ы точки Р(1; — 1; -2) от прямой х+3 у+2 х — 8 3 2 -2 1) х-5 у х+25, 3 2 -2 2) х=1+ 1, У=1+2, г=41+13; 2х — 2д+ г+ 3 =О, 3) Зх — 2д+2г+ 17=0. 1064. Убедившись, что прямые 2х+2У вЂ” г — 10=0> х+7 у — 5 х-9 х — д — г — 22=0, 3 -1 4 параллельны, вычислить расстояние Ф между ними. 1065.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М~(1; 2; — 3) параллельно прямым ,х-1 у+1 'х — 7 х+5 у — 2 х+3 3 — 2 -1 2 — 3 3 1066. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(хо, уо', го) параллельно прямым х-п~ у-Ь, г-а, х-а~ у-Ь~ х-с~ может быть представлено в следующем виде; у до г го и, ю, и, а, х — хо 12 =О. 162 1063, Вычислить расстояние д от точки Р(2; 3; -1) до следующих прямых: может быть представлено в следующем виде. х — х, у — у, =О.
хг х! у2 — у! г — г, т 1068, Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х =21+ 1, У= — 31+ 2, в =21 — 3 и точку М1(2; — 2; 1) 1069. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую х=хо+11, У= Уо+ т1, 2=~0+п1 и точку М,(х,; у!, г,), может быть представлено в следующем виде: х — х,.у — у, г — г, =О. х! хо у! уо 1 т а! во 1070. Доказать, что прямые х — ! у+2 х — 5 2 — 3 4 $ х = 31+ 7, у = 21+ 2, г = — 21+ 1 лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости. 1071. Доказать, что если две прямые х — а1 у — Ь, г — а~ х — а~ у — Ь~ х — а, т, а, ' 1д т2 .
п~ пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они лежат, может быть представлено в следующем виде: у — Ь, г — с! т, и, т2 02 х — а! =О. 1072. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые х — 2 у+! 'г — 3 х †! у~2 г+3 3 2 -2 ' 3 2 -2 1067, Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М!(х!! у!, 'г!) и М2(х2; у2', г2) парал» лельно прямой х-а у — Ь 1 Ж п 1073.
Доказать, что уравнение плоскости, проходя. щей через две параллельные прямые х а, + И, у=Ь,+т!, г=с!+п~ и х=а2+И, у=Ь~+т~, г = с2+ п1, может быть представлено в следующем виде: у — Ь, г — с, Ь2 Ь! с2 с! х — а! а~ — а! 1074. Найти проекцию точки С(3; — 4; — 2) на пло. скость, проходящую через параллельные прямые х — 6 у — 6 х+3 х — 2 у — 3 х+3 13 ! -4 ' 13 1 1075. Найти точку Я, симметричную точке Р(З; — 4! -6) относительно плоскости, проходящей через М, ( — 6; 1; — 5), М~(7; — 2; — 1) и М~(10; -7; 1). 1076.
Найти точку Я, симметричную точке Р ( —.3; 2; 5) относительно плоскости, проходящей через прямые х — 2у+ Зг — 5 =0, ( Зх+ у+ Зг+ 7 =О, х — 2у — 4г + 3 = О; 1 5х — Зу + 2г + 5 = О. 1 2х — у+ г — 3=0, 1 х+2у — г — 5=0. 1078. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей х — х! у — у, х-х! через прямую ! — ' — параллельнопря! П$! !!, мой х=хо+ И, у=у,+ т1, г=го+п1, может быть представлено в следующем виде! х — х! у — у! г — г! т! и, 1079. Составить уравнение плоскости, проходящей х — ! у+2 х — 2 через прямую 2 — — 2 перпендикулярно к плоскости Зх + 2у — г — 5 = О. 164 1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х 31+1, у=21+3, г= — 1 — 2 параллельно прямой х хо у уо з †.го т а А В С =О 1081.
Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку Мо(3; — 2; — 4) парал. дельно плоскости Зх — 2У вЂ” Зг — 7 =0 и пересекает х — 2 у+4 г — 1 прямую 1082. Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям Зх+ 12У— — Зз — 5 О, Зх — 4у+ 9з+ 7 0 и пересекает прях+5 у — 3 г+1 х — 3 у+1 г — 2 мыс 2 — 4 3 ' — 2 3 4 1083.
Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев: х+7 у+4 г+3 ° х — 21 у+5 г — 2, 1) 3 4 — 2 6 Ф =ив — 4 ввиде -1 2) х=21 — 4, у= — ~+4, г= — 21 — 1; х=41 — 5, у = — 3~+5, з = — — 51+5; х+5 у+5 г — 1, 3) х = 61 + 9, у = — 21, з = — 1 + 2. 5 44. Сфера В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр С (а; р; т) и радиус г, определяется уравнением (х — а)'+ +(у — Р)'+(г — т)' г'.
Сфера радиуса г, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение х'+ у'+ г' г'. 1084. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев: 1) сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус г=91 2) сфера имеет центр С(5; — 3, '7) и радиус г=2; 3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; — 4; — 2); 4) сфера проходит через точку А(2; — 1; — 3) и имеет центр С(3; — 2; 1); 5) точки А(2; — 3; 5) н В(4; 1; -3) являются кон. цами одного из диаметров сферы; 1080. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую х=хо+И, у=уо+ т~, х=хо+п1 перпендикулярно к плоскости Ах+ Ву+ Сз+ Х) =О, может быть представлено в следующем виде: 6 ) центром сферы является начало координат, плоскость 16х — 15д — 12г+ 75=0 является касатель~ ной к сфере; 7) сфера имеет.
центр С(3; -5; -2) и плоскость 2х — у — Зг+ 11 =0 является касательной к сфере; 8) сфера проходит через три точки М,(3; 1; — 3), М,( — 2; 4; 1) и М,( — 5; 0; О), а ее центр лежит на пло. скости 2х+ д — г + 3 = О; 9) сфера проходит через четыре точки', М,(1; — 2; — 1), М,( — 5; 10; — 1), Мд(4; 1; 11), М„( — 8; — 2, 2). 1085.
Составить уравнение сферы радиуса г = 3, касающейся плоскости х+ 2у+ 2г+ 3 =0 в точке М,(1; 1; — 3). 1086. Вычислить радиус Р сферы, которая касается плоскостей Зх + 2у — бг — 15 = О, Зх + 2у — бг + 55 = О, 1087. Сфера, центр которой лежит на прямой 2х+ 4д — г — 7 =О, 4х+ 5у+ г — 14=0, касается плоскостей х+ 2д — 2г — 2=0, х+2у— — 2г+4=0. Составить уравнение этой сферы. 1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей бх — Зд — 2г — 35=0, бх— — Зу — 2г+ 63 = О, причем одной из них в точке М~(5; -1; -1).
1089. Составить уравнение сферы с центром С(2, 3; — 1), которая отсекает от прямой 5х — 4у + Зг + 20 = О, Зх — 4у+ г — ~-8 = 0 хорду, имеющую длину, равную 16. 1090. Определить координаты центра С и радиус г сферы, заданной одним из следующих уравнений.' 1) (х — 3)2 + (д + 2)2 + (г — 5)2 = 16; 2) (х+ 1)~+ (у — 3)~+ г~= 9; 3) ха+/+ гг — 4х — 2у+ 2г — 19=0; 4) х'+ д'+ г' — 6г=О; 5) х'+ ф -+ г~ + 20у = О.
1091 ° Составить параметрические уравнения диаметра сферы х'+ у'+ г'+ 2х — бд+ г — 11 = О, перпендику- лярного к плоскости 5х-.у+2г — 17=0. 166 1092, Составить канонические уравнения диаметра ~феры х~+ у~+ г~ — х+ Зу+ г — 13 = О, параллельного прямой х=2~ — 1, у -31+ 5, г = 41+ 7.
1093. Установить, как расположена точка А(2; — 1; 3) относительно каждой из следующих сфер — внутри, вне или на поверхности: 1) (х — 3)'+ (у + 1)'+ (» — 1)2 = 4. 2) (х+14)~+(у — 11)~-<-( -1-12)я= 625 3) (х-6)'+(у-1)'+(г-2)'=25 4) х~ + у'+»-' — 4х + бу — 8» -»- 22 = 0; 5) х~+ у~+ г~ — х+ Зу — 2» — 3 = О, 1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной сферы в следующих случаях: а) А( — 2; 6; — 3), х'+у'+г'=4; б) А(9; — 4; -3), х~+ уз+»~ + 14х — 16у — 24» + 241 = О', в) А (1; -1; 3), х'+ у'+ г~ — бх + 4у — 10г — 62 = О. 1095. Определить, как расположена плоскость отно- сительно сферы — пересекает ли, касается или прохо- дит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями: 1) г = 3, х~+ у'+ г~ — бх+ 2у — 10г+ 22 = 0; 2) у = 1, х~ + у~ + г~ + 4х — 2у — бг + 14 = 0; 3) х 5, ~Р+у'+г~-2х+4у — 2г — 4=0. 1096.
Определить, как расположена прямая относи- тельно сферы — пересекает ли, касается нли проходит вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравне- ниями: 7 2 ) =-И+2, у-З~- —,, г=~-2 хз + у'+ г'+ х — 4у — 3»+ Т 0; 2) х-5 д 2+25 3 2 -2 х'+ у'+ г' — 4х — бу+ 2г — 67 = 0,' 3) <2х — у+2» — 12=0, 2х — 4у — г+ 6=0, х~+ у'+ г' — 2х + 2у + 4» — 43 = О 187 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
