Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Этот опредезитель обозначается сима~ Ь| волом; соответственно имеем: а2 Ь2 1 1 ° а| Ь| = а,Ь, — азЬ1 (2) аэ Ь, определителя Л свободными членами системы (3); определитель Ля получается из определителя Л при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца. Если Л-,ьо, то система (3) имеет единственное решение; оио определяется формулами Лх Лу х~ р д= (6) Если Л О и при этом хотя бы один нз определителей Л„, Лэ отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы). Если же Л=О, но также Л„=Ля О, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно нз уравнений системы есть следствие другого). Пусть в уравнениях системы (3) Ь, = Л, = О; тогда система (3) будет иметь вид: а1х+ Ь!у=О, а~х+ Ь~у =О, (6) Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение: х О, у О.
Если ЛМО, то это рещение является единственным если же Л О, то система (6), кроме ну. левого, имеет бесконечно много других решений, 1204. Вычислить определители; 1) -1 4 2) 3 — 4 — 5 2 ' 1 2 1205. Решить уравнения: 1) 2 х-4 2) 1 4 1 4 4) Зх 1 3 х 2х — 3 2' 3) х х+1 — 4 х+1 6) х' — 4 -1 х — 4 х+2 8) соз 8х — з1п 5х з1п 8х соз 5х 5) х+1 -5 =0; 7) 4з|пх 1 1 соз,х 4) 3 16~ 5) а 1 5 10 ~' а' а 7) а+1 Ь вЂ” с а'+ а аЬ вЂ” ас 3) 3 6 6) 1 1 х1 х, 8) ~ соза -з1па ~ з1па' соза ' 1206. Решить неравенства.
2) > О', 4) >5; 1207. Найти все решении каждой из следующих систем уравнений: 1) ~ Зх — 5у=13, << 2х + ?у = 81; 3) / 2х — Зу=6, 1 4х — 6у=5; 2) / Зу — 4х=1 ( Зх+4у=18; 5) / ах+ Ьу=с, ( Ьх — ау=о); 1208, Определить, при каких значениях а и Ь система уравнений Зх — ау = 1, 6х+ 4у = Ь 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений, 3) имеет бесконечно много решений.
1209. Определить, при каком значении а система однородных уравнений 13х+ 2у=О, 5х+ ау =О имеет ненулевое решение. 5 2, Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными Пусть дана система двух однородных'уравнений < 4г)х+ Ь)у + с)х = О, ! "4 агх + 4)гУ + сгз О с тремя неизвестными х, у, з.
Введем обозначения: Если хотя бы один нз определителей Ь), Ьг, Ьг не равен нулю, то все решения системы (1) будут определяться по формулам х=ЬА у= Ьг4> Х=Ьз4 где 1 — произвольное число. Каждое отдельное решение получается прн каком-либо определенном значении г, Зх — 3 2 х 1 2х — 2 1 ?х 2 4) ~ б) ~ х+5 < О,' Зх 2х ~ 14. х — у~3 =1, х 1~3 — Зу=- ~IЗ х~5 — 5у= ~/5, х — у у'5 = 5. Для практики вычислений полезно заметить, что определители ° 6~, Лз, Ьз получаются при помощи поочередного вычеркивания столбцов таблицы: Если все три определителя Л„ оь Лз равны нулю, то коэффициенты уравнений системы (!) пропорциональны.
В этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого и система фактически сводится к одному уравнению. Такая система, естественно, имеет бесконечно много решений; чтобы получить какое-нибудь из иих, следует двум неизвестным придать произвольно численные значения, а третье найти из уравнения. 1210. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений: 5 3.
Определители третьего порядка Пусть дана квадратная таблица нз девяти чисел аь аз, а„Ь„ Ь„Ь„сн сз, сз аз Ьз сз а, Ьз сз Определителем третьего порядка, соответствующим таблице (Ц, называется число, обозначаемое символом а~ Ь, с, а, Ьз сз аз Ьз сз 188 1) Зх — ' 2у + 5г = О, х+ 2у — Зг= О; С 3) х — Зу+ г=О, 2х — 9д+ Зг =0; 5) Зх — 2у+ г=О, х+ 2у — Зг = О; 7) х+ 2у — г=О, Зх — 5у+ 2г=О; 9) ~ х+ Зу — г=О, ~ 5х — Зд+ г=О; 11) << ах + 2д — г = О, ~ 2х+ бд — Зг=О; 2)/ Зх — 2у+ г=О, 1 6х — 4у+ Зг=О; 4) Зх — 2у+ г=О, х+2у — г =0; 6) 2х — у — 2г=О, х — 5у+2г=О; 8) Зх — 5у+ г=-О, х+2у — г =-О; 10) ах+ у+ г=О, х — у+ аг =0; 12) ~ х — Зу+аг=О, 1 Ьх+6у — г=О.
н определяемое равенством а, Ьз с~ а, Ь, с, аз Ьз сз а1Ьзсз+ Ь1сзаз+ с1азЬз с~Ьзаз — Ь1азсз-а,сзЬз. (2) Числа ао аз, аз Ьо Ьз, Ьз, сь сз, сз называются элементами определителя. Элементы ао Ьз, сз расположены на диагонали определителя, называемой главной; элементы аз> Ьз, с~ составляют ето побочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, что первые три слагаемые в правой части равенства (2) представляют собой произведения элементов определителя, взятых по три так, как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме слева.
Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2), нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано различными пунктирами на той же схеме справа, после чего у каждого из найденных произведений изменить знак, В задачах 1211-1216 требуется вычислить определители третьего порядка. 1211. 3 — 2 1 — 2 1 3 2 0 — 2 1212. 1 2 0 1 5 0 0 3 — 1 1213. 2 0 5 1 3 !6 0 — 1 10 1214. 2 — 2 0 — 1 3 3 2 2 5 1215. 2 1 0 1 О 3 0 5 -1 1216.
0 а а а 0 а а а 0 189 а, Ь, с, / .. ° ' > а,.",' Ь ..'с I а,- ' Ь,', с, а>, Ь, ~с, аз сз 5 4. Свойства определителей С в о й с т в о 1. Величина определителя пе изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т. е. а, Ь! с1 аз Ьз сз аз Ьз сз а, аз аз Ь, Ь Ь с1 с, сз а, Ь1 с~ аз Ьз сз аз Ьз сз а, с, Ь, аз сз Ьз аз сз Ьз С в о й с т в о 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
, Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число й равносильно умножению определителя на это число Ь. Например, Ьа, Ь1 с1 (газ Ьз сз Йаз Ьз сз а, Ь, сз аз Ь, сз аз Ьз сз С вой ство 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случай предыдущего'(при Ь О). С в о й с т в о 6.
Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Сзв о й с т в о 7. Если каждый элемент и-го столбца нли п-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в а-м столбце, или соответственно в а-й строке, имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например, а~+а, .Ь1 с1 Ч аг + аз Ьз сз а аз + аз Ьз сз з а1 Ь1 с1 Р аз Ьз с2 РР а1 Ь1 с1 а Ьз сз РР аз Ьз сз з аз Ьз сз С в о й с т в о 8, Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множн- 190 Свойство 2.
Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умноженьпо его иа — 1. Например, тель, то величина определителя при этом не изиенится. Например, а~ Ь! с1 аг Ь, сг аз Ьз сз а~ + ЬЬ1 Ь1 с1 а+И, Ь, с, аз+ ЬЬз Ьз сз Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки' и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, которой обозначен сам элемент. С в о й с т в о 9. Определитель а, Ьз с, а, Ьз сг аз Ьз сз равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеют место следующие равенства' Ь = а~ А1 + агАг + аз Аз А а~А~+ Ь~В, + сгС» гз агАг+ ЬгВ, + сгСг, Ь азАз+ ЬзВз+ сзСз ь = ь1 В + Ь В + Ь В„ А а-а с~Сг + сгСг + сзСь 1217. 3 2 1 — 2 3 2 4 5 3 3 2 7 -2 3 -2 4 5 11 У к а з а н и е.
Воспользоваться свойством 8. 1218. 1 -2 3 — 2 1 — 5 3 2 7 1 О О -2 -3 1 3 8 — 2 191 В задачах 1217 †12 требуется, не раскрывая определителей, доказать справедливость равенств. У к а з а н н е. Воспользоваться свойством 8. 1219, 01 Ь~ с, а2 ь, сз а, + аа, Ь|+ аЬ, с, + ас, У к а з а н н е, Воспользоваться свойствами 7, 3, 6. 1220. Указание. Воспользоваться свойствами 7 и 6.
1221. 1222. Н задачах 1223 †12 требуется вычислить определители, пользуясь одним свойством 9. 1224. 1 2 4 — 2 1 -3 3 — 4 2 1226, 1225. 1 1 1 1227. 192 РЬ1+ус, Ь1 с, ~Ьз + усе Ьз сз — О РЬз+ усз з1п'а соз'а соз2а з1п'Р сов'~ соз 2Р з1пзу соз'у соз2у Π— а — Ь а Π— с Ь с О 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 1 2 О 5 1 3 16 0 -1 10 Х Д 2 х' у' м' 17 — 7 13 1 7 1 1228. Определители, данные в задачах 1223 — 1227, пользуясь свойством 8, преобразовать так, чтобы в каком-либо столбце (или строке) определителя два элемента стали равными нулю, а затем вычислить каждый из них, воспользовавшись свойством 9. В задачах 1229-1232 требуется вычислить определители. 1229.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
