Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1097. На сфере (х- 1)'+ (у+ 2)'+ (г- 3)'= 25 найти точку М~, ближайшую к плоскости Зх-4г+19=0, и вычислить расстояние д от точки М~ до этой плоскости, 1098. Определить центр С и радиус Я окружности (х — 3)2+ (у+ 2)2+ (г — 1)2 - "100, 2х — 2у — г+9 =О. 1099. Точки А(3; -2; 5) и В(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С (1; — 4; 1). Составить уравнения этой окружности, 1100. Точка С(1; — 1; — 2) является центром,окруж. ности, отсекающей от прямой 2х — у+ 2г — 12=0, 4х — 7у — г+6=0 хорду, длина которой равна 8.
Составить уравнения этой окружности. 1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М~ (3; — 1; — 2), М,(1; 1; -2) и М,( — 1;3;О). 1102. Даны две сферы (х — т,) + (у — и,) +(г — р,) =ф Ф (х та) + (У и2) + (г Р2) Л2~ которые пересекаются по окружности, лежащей в неко- торой плоскости т. Доказать, что любая сфера, про- ходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость т могут' быть представлены урав- нением вида а~(х — т,) +(у — и,) +(г — р,) — Д1~~+ +~Ь т2) +(у и2) +(г Р2) Р2~ 0 при надлежащем выборе чисел а и р.
1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер: 2х2+ 2у~+2г'"'+ Зх — 2У+ г — 5=0, х'+ у'+ г~ — х+ Зу — 2г+ 1 =0. 1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность ° ° х'+. у' + г2 25 2х — Зу+ 5г — 5=0, 1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность Е х~+ у~+ г' — 2х+ Зд — 6г — 5 = О, 5х+ 2у — г — 3=0 < х'+ г~=25, д=2, х~+ г'= 16, у=3. 1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере х~ + д-'+ г'-' = 49 в точке М~ (6; — 3; — 2).
1108. Доказать, что плоскость 2х — бд+ Зг' — 49=0 касается сферы х'+ д'+ г'=49. Вычислить координаты точки касания. 1109. При каких значениях а плоскость х+ д+ г = а касается сферы х'+ д'+ г-'= 12. 1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере (х — 3)'+(д — !)'+(г+2)-'=24 в точке М, ( — 1; 3; 0). 1111. Точка М, (х,; у,; г,) лежит на сфере'х~+д'+г'=~-'. Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М,. 11!2. Вывести условие, при котором плоскость Ах+ +Ву+ Сг+ Х) = 0 касается сферы х'+ у'+ г' = ~-'. 1113. Точка М1 (х' ,у,; г,) лежит на сфере (х — а)' + + (д — р)'+ (г — у)'= ~~. Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке М,.
1114. Через точки пересечения прямой х=31 — 5, у=5~ — 11, г= — 4~+9 и сферы (х+2)'+(у — 1)-'+ +(г+ 5)'-=49 проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения. 1115. Составить уравнения плоскостей,' касательных к сфере х'+ д'+ г'=9 и параллельных плоскости х+ +2у — 2г+ 15=0. 1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере (х — 3)'+ (у+ 2)'+ (г — 1)' = 25 и параллельных плоскости 4х+ Зг — 17=0.
1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере х~+у'+г-'-10х+2у+26г — 113=0 и параллельных прямым "+ —" — + "+ — "+ 2 -3 2 ' 3 — 2 0 169 и точку А(2; — 1; 1). 1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности: 1 118. Доказать, что через прямую 8х — 11у + 8г — 30 = О, х — у — 2г=О можно провести две плоскости, касательные к сфере х'+ р'+ г'+ 2х — 6у+ 4г — 15 = О, и составить их уравнения.
1119. Доказать, что через ар акую уч-3 = з+1 х+6 нельзя провести плоскость, касательную к сфере х'+у'+ +г' — 4х+ 2у — 4г + 4 = О, 1120. Доказать, что через прямую х 41+4, у= 31+1, я=1+1 можно провести только одну плоскость, касательную к сфере х'+д'+г' — 2х+6у+ + 2г+ 8 = О, и составить ее уравнение. ф 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы в векторной символике В дальнейшем символ М (г) означает, что г есть радиус-вектор точки М. 1121. Составить уравнение плоскости а, которая проходит через точку М,(т',) и имеет нормальный вектор и. Решение «), Пусть М(г) — произвольная точка. Она лежит в плоскости а в том и только в том случае, когда вектор МрМ перпендикулярен к а.
Признаком перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения, Таким образом, МоМ 1. а в том и только в том случае, когда МрМ ° а ° О. (1) Выразим вектор М,М через радиусы-векторы его конца и начала.' МаМ = г — гз. Отсюда и из (1) находим: (г — тъ) а О. (2) Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удовлетворяет радиус-вектор г точки М в том н только в том случае, когда М лежит на плоскости а [г называется текущим радиусом- вектором уравнения (2Ц. 1122. Доказать, что уравнение та+.г) = О определяет плоскость, перпендикулярную к вектору и. Написать *) Задачи 1121 и 1129 существенны для правильного понимания задач етого параграфа.
Их решения приводятся в тексте. 17О уравнение этой плоскости в координатах при условии» что п=(А 8 Ф 1123. Даны единичный вектор и' и число р) О. Доказать, что уравнение т'по — р = О определяет плоскость, и рпендикулярную к вектору и', и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что век. тор пз образует с координатными осями углы а, [з и у. 1124.
Вычислить расстояние и от точки М, (т",) до плоскости га' — р=О. Выразить расстояние д также в координатах при условии, что г, = (х,; у,; х,), п' = (соза; созР; сову). 1125. Даны две точки М,(г1) и М,(г,). Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М, перпендикулярно к вектору М~М~. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что т'1=(х1» у1» а1)» ~'2 (х2» у2» хз) 1126. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(т',) параллельно векторам а, и а,.
Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что гб — — (хо' уо' го) а, =Ц,; т,; а1), 62 (»2)»»»2» пз)' 1127. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М~(ю',), М,(г,) и Мз(гз), Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что у'~ (х1» у1', 2~)» »2 = (хзз у2» ~2)»» 3 = (хз» уз» яз)' 1128. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М, (г,) перпендикулярно к плоскостям: га, +,О, = О, гл, +,02 = О.
Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что ге= =(хе» Уо' хз) а1 — — (А~, В,; СД» п,=(А,; В;» СД. 1129. Доказать, что уравнение [(г — го)а]=О определяет прямую, которая проходит через точку М,(ге) параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор г точки М (г) в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой. Доказательство.
Рассмотрим произвольную точку М(г). Пусть г удовлетворяет, данному уравнению; по правилу вычитания векторов г — фр — »ЙзМ; так как Иг — г0) а) =О, то [МцМа) =О; следовательно, вектор МчМ коллинеарен вектору а. Значит, точка М действительно лежит на прямой, которая проходит через Мч в напРавлении вектора а.
Обратно, пусть М лежит на атой прямой. Тогда МзМ коллинеарен а. Следовательно, [М0Ма] О; но МаМ= à — го' отсюда [(г — гз) а[ О. Итак, заданному уравнению 17» удовлетворяет радиус-вектор г точки М в том и только в том слу. чае, когда.М лежит иа указанной прямой («называетси текушнм радиус-вектором уравнения).
1130. Доказать, что уравнение (га]=т определяет прямую, параллельную вектору а. 1131. Доказать, что параметрическое уравнение г= =го+ а1, где 1 — переменный параметр, определяет прямую, которая проходит через точку М,(гс) (т. е. при изменении 1 точка М(г) движется по указанной прямой).
Написать в координатах канонические уравнения этой прямой при условии, что го=(х„; ус', гс), а=(1; т; и). 1132. Прямая проходит через две точки: М, (г,) и М,(«,,1 ° Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах 1129, 1130, 1131. 1133. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М~ (г~) перпендикулярно к прямой г = г, — а~. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что г, =(х~, у1, 'г1), а=(1', т; и). 1134. Составить уравнение плоскости, проходящей чеРез точкУ Мо (го) паРаллельно пРЯмым 1«а,~ = т„ И23 т2' Ф 1135.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М,(г,) перпендикулярно к плоскостям гп., + Р, = О, гп, + Р, О. 1136. Прямая проходит через точку Мо(г,) перпендикулярно к плоскости гп+ Р=О. Составить ее уравнение в параметрическом виде. Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что го —— (ха, ус, и,), а=(А; В; С)! 1137. Прямая проходит через точку Мо(го) параллельно плоскостям га, + Р1 = О, «из+ Р,= О. Составить ее уравнение в параметрическом виде.
Написать каноническое уравнение этой прямой в координатах при условии, что гс=(хс! уо гс)! а! (А1! В!! С!)! пз (А2 Вз Сз)! 1138. Вывести условие, при котором прямая г= =«, + а1 лежит на плоскости гп+ Р = О. Написать это условие также в координатах при условии, что го (хо' уо' гс) а=(1; т; 4~, п=(А; В; С).
1139. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую г = г, + а~1 параллельно прямой (гаД = т. 1140. Вывести условие, при котором две прямые г=«1+а,~ и г=г,+а,1 лежат в одной плоскости. 1141. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой «=го+ а1 и плоскости га+.Р=О. Вычислить также 172 координаты х, у, г точки пересечения при условии, что «,=(х,; у,; хо), а=(Ц; т; п), и=(А; В; С). 1142, Найти радиус-вектор проекции М,(«,) на плоскость «и+ Р О. Вычислить также координаты х, у, з этой проекции при условии, что «~= (х,; у,; г ), п=(А; В; С).
1143. Найти радиус-вектор проекции точки М~(«,) на прямую ««о+ а~. Вычислить также координаты х, у, г этой проекции при условии, что «, = (х„у,; г ), «о (хз; у;, го), а=(1; т; п). 1144. Вычислить расстояние д точки М,(«1) от прямой « = «о+ а~. Выразить расстояние д также в координатах при условии, что «, (х,; у,; г ), «о (х,; уо; хо), а=(1; т; п). 1145.
Вычислить кратчайшее расстояние д между двумя скрешивающимися прямыми: ««, +а,1 и « », + а,1. Выразить расстояние д также в координатах при условии, что (' 1~ Л ~ 1Ь 2 (х2> у2) а2Ь а~ =(11', т~', пд, а~ (1~, т~, п,), 1146. Доказать, что уравнение (« — «)' = р' определяет сферу с центром С («,) и радиусом, равным у~ (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
