Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 26
Текст из файла (страница 26)
пло. 958. Для каждой из следующих плоскостей вычис. лить углы а, р и у, образуемые нормалью с осями координат, и расстояние р от начала координат: 1) х+у~2+г — 10=0; 2) х — у — г~Г2+ 16=01 3) х+ г — 6 = 0; 4) у — г+ 2 = 0; 5) х ~'3+у+10=0; 6) г — 2=0; 7) 2х+ 1=01 8) 2у+ 1=0; 9) х — 2у+2г — 6 =0; 10) 2х+ Зу — 6г+ 4=0, 959. Вычислить величину отклонения 6 и расстояние д точки от плоскости в каждом из следующих случаев; 1) М~( — 2; — 4; 3), 2х — у+2г+ 3=0; 2) М~(2; — 1; — 1), 16х — 12у+ 15г — 4=0; 3) Мз(1' 2' — 3) 5х — Зу+г+4=0; 4) М4(З; — 6; 7), 4х — Зг — 1=0; 5) М;(9; 2; — 2), 12у — 5г+ 5 О.
143 1 2 2 1) — х — — у — г-5=0' 2) з 3 з 3) — — у+ — г+5=0; 4) 6 3 2 5) — х — — г — 3=0; 6) 3 4 5 5 7) — у — — г — 1 =О 8) 5 12 1З 1З 9) х — 1=0; 10) 11) — у — 2=0; 12) — д+ — г+1 0; 5 12 1З 1З 4 3 — х — — у+3=0; 5 5 у+2=0; г — 5=0. 960. Вычислить расстояние Ы от точки Р(-1; 1; — 2) до плоскости, проходящей через три точки М~ (11 — 1; 1), М2( — 2; 1; 3) и Мз(4' — 5~ 2) 961. Определить, лежат ли точка Я(2; -1; 1) и начало координат по одну или по разные стороны относительно каждой из следующих плоскостей~ 1) Бх — Зу+ г — 18 = О; 2) 2х+ 7у+ Зг+ 1 = О', 3) х+5д+12г — 1=0; 4) 2х — у+г+11= 0; 5) 2х+Зу — бг+2 0; б) Зх-2у+2г — 7=0.
962. Доказать, что плоскость Зх — 4у — 2г+5=0 пересекает отрезок, ограниченный точками М~(3; — 2; 1) и М,( — 2;5;2). 963. Доказать, что плоскость 5х — 2д+ г — 1=0 не пересекает отрезка, ограниченного точками М,(1; 4; — 3) и М~(2; 5; 0). 964. В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между параллельными плоскостями: 965. Две грани куба лежат на плоскостях 2х — 2у+ + г — 1 = О, 2х — 2д + г + 5 = О.
Вычислить объем этого куба. 966. На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости х+ 2у — 2г — 2=0 на расстоянии 0=4. 967. На оси Ог найти точку, равноудаленную от точки М(1; — 2; 0) и от плоскости Зх — 2у+ бг — 9=0. 968. На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 12х — 1бу+ 15г+ 1=0, 2х+2д — г — 1=0. 969. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 4х — 4у — 2г+3=0 равно 2. 970.
Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости бх + Зу + 2г — 10 = 0 равно —,3. 1) х — 2у — 2г — 12=0, х — 2у — 2г — б =О; 3) 2х — у+ 2г+9=0, 4х — 2д + 4г — 21 = 0; 5) ЗОх — 32у+24г — 75 =О, 15х — 1бу+12г — 25 = 0; 2) 2х — Зу+бг — 14=0 4х — бд+ 12г+21 = 0'* 4) 1бх+12у — 15г+50=0„ 1бк+ 12у — 15г+25=0; 6) бх — 18у — Яг — 28=0, 4х — 12у — бг — 7 = О. 971. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х — 2у — г — 3=0 и отстоящих от нее на расстоянии д =5. 972. В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей: 1) 4х — у — 2г — 3 = О, 2) Зх + 2д — г + 3 = О, 4х — у — 2г — 5=0; Зх+ 2д — г — 1 =0; 3) 5х — Зд+ + 3=0, 10х — 6у + 2г + 7 =- О. 973.
В каждом из следующих случаев составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугран- ные углы, образованные двумя пересекающимися пло- скостями: 1) х — Зу+2г — 5=0, 2) 5х — 5д — 2г — 3=0, Зх — 2д — г+ 3=0; х+ 7у — 2г+ 1=0; 3) 2х — у + 5г + 3 = О, 2х — 10д + 4г — 2 = О. 974, В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точка М (2; — 1; 3) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, обра- зованных при пересечении двух плоскостей: 1) 2х — у+Зг — 5=0, 2) 2х+Зу — 5г — 15=0, Зх + 2д — г + 3 = 0; 5х — д — Зг — 7 =- О; 3) х+ 5д — г+1=0, 2х+ 17у+ г+ 2 = О. 975.
В каждом из следующих случаев определить, лежат ли точки М.(2; — 1; 1) и У(1; 2; — 3) в одном, в смежных или вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении двух плоскостей: 1) Зх — у+2г — 3=0, 2) 2х — у+5г — 1=0, х — 2у — г+ 4 = 0; Зх — 2у+ 6г — 1 = О. 976. Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостямии: х — 2у+ Зг — 5 = О, 2х — д — г + 3 = О. 977. Определить, лежит ли точка М(3; 2; — 1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями: 5х — у+ г+ 3=0, 4х — Зу+2г+5=0.
по 978. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х — 14у+бх — 1=0, Зх+5у — 5г+3=0, в котором лежит начало координат. 979. Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями 2х — у+ 2г — 3 = О, Зх+ 2у — бг — 1 = О, в котором лежит точка М(1; 2; — 3).
980. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 2х — Зу — 4г — 3=0, 4х — Зу — 2х — 3=0. 981. Составить уравнение плоскости, которая делят пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями: Зх — 4у — я+5=0, 4х — Зу+г+5=0 5 41. Уравнения прямой Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместным заданием двух уравнений первой степени: А~х+ В~у+ С1г+ Р, О, А,х+ В,у+ С,г+ Р, = О при условии, что коэффициенты А„В,, С1 первого нз них не про. порциональны коэффициентам А„В„Сз второго (в противном случае этн уравнения будут определять параллельные илн слившиеся плоскости).
Пусть некоторая прямая а определена уравнениями (1) и а н р — какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение а (А1х+ В,у+ С,г+ Р,)+ р(Азх+ В,у+ Сзг+ Р~) О (2) определяет плоскость, проходящую через прямую а. Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел а, р) можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.
Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей. Бели а ,-й О, то, полагая — Х, уравнение (2) можно привести к виду А~х+ В~у+ С1г+ Р, + Я, (А,х+ В~у+ Сзг+ Рз) О. (3) В таком виде уравнение пучка плоскостей более употреби тельно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует а=О, т. е.
за исключением плоскости Азх+ В~у+ С,г+ +Р =О. 151 982. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 5х — 7у+ 2г — 3 = 0 с коорди- натными плоскостями. 983, Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости Зх — у — 7г+ Я =0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точки Е(3; 2; — 5). 984.
Найти точки пересечения прямой < 2х+у †г †, х+у+г †1 с координатными плоскостями. 985. Доказать, что прямая 2х — Зд+5г — 6=0, х+ 5у — 7г+ 10=0 пересекает ось Од. 986. Определить, прн каком значении Р прямая 2х+ Зу — г+ Р=О, Зх — 2у+ 2г — 6 =0 пересекает: 1) ось Ох; 2) ось Оу; 3) ось Ог. 987. Найти соотношения, которым должны удовле- творять коэффициенты уравнений прямой < А~х+ В~у+ С~г+ Р~ =О, А х+В,д+С,г+Р,=0 для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) осн Ох; 2) оси Оу; 3) оси Ог. 988. Найти соотношения, которым должны удовле- творять коэффициенты уравнений прямой А,х+ В,д+ С,г+ Р~ — — О, Ар+ Вру+ С~г+ Р~=О для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс; 2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью апликат.
989. В пучке плоскостей 2х — Зу+ г — 3+ Х(х+Зу+ + 2г+ 1) =0 найти плоскость, которая: 1) проходит через точку М,(1; — 2; 3); 2) параллельнаоси Ох; 3) парал- лельна оси Оу; 4) параллельна оси Ог. 152 990. Составить уравнение плоскости, которая про. ходит через прямую пересечения плоскостей Зх — у+ + 2г+9 = О, х+г — 3=0: 1) и через точку М~ (4; — 2„— 3); 2) параллельно оси Ох; 3) параллельно оси Оу; 4) параллельно оси Ог.
991. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 2х — у+ Зг — 5=0, х+ 2д — г+ 2 = 0 параллельно вектору 1=(2; — 1; — 2). 992. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 5х — 2д — г — 3 = О, х+Зу — 2г+5=0 параллельно вектору 1=(7; 9; 17). 993. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей Зх — 2д + г — 3 = О, х — 2г = 0 перпендикулярно плоскости х — 2у+г+ 5 =- О.
994. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х 5х — у — 2г — 3=0, Зх — 2у — 5г+ 2=0 перпендикулярно плоскости х+ 19у — 7г — 11 = О. 995. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 2х+ д — г+ + 1=0, х+у+ 2г+ 1=0 параллельно отрезку, ограниченному точками М,(2; 5; — 3) и М,(3; — 2", 2). 996. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей а (Зх — 4у + г+6) + р (2х — Зд+г+2) = 0 и равноудаленной от точек М,(3; — 4; — 6), М~(1; 2; 2).
997. Определить, принадлежит ли плоскость 4х — 8у+ +17г — 8=0 пучку плоскостей а(5х — у+ 4г — 1)+ + 6(2х+ 2д — Зг+ 2) =О. 998. Определить, принадлежит ли плоскость 5х— — 9у — 2г+ 12=0 пучку плоскостей а(2х — Зу+ г — 5)+ +Д(х — 2у — г — 7) =О, 999, Определить, при каких значениях 1 и ги плоскость 5х+ 1у+ 4г+ и =0 принадлежит пучку плоскостей а (Зх — 7у + г — 3) + р (х — 9у — 2г + 5) = О. 1000.
Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей а(х — Зд+ 7г+ 36) + + 0 (2х+ у — г — 15) = 0 и отстоит от начала координат на расстоянии р=З. 1001. Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей а(10х — 8у — 15г+ 56) + + 0(4х+ у+ Зг — 1) Ои отстоит от точки С(З; — 2; — 3) на расстоянии д = 7. 153 1002.
Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей а(4х+ 13у — 2г — 60) + Р(4х+ + Зу+ Зг-30) = 0 и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6 кв. ед. 1003. Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую 2х — у+ 2г — 3= О, х+ 2у — г — 1 =0 на координатные плоскости. 1004. Составить уравнения проекций прямой < х+ 2д — Зг — о =О, 2х — у+ г+ 2=0 на координатные плоскости.
1000. Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую < Зк+ 2у — г — 1 =О, 2х — Зу+ 2г — 2 =0 на плоскость х+ 2у+ Зг — 5=0. 1006. Составить уравнения проекции прямой Бх — 4у — 2г — 5 = О, х+ 2г — 2=0 на плоскость 2х — у+ г — 1=О. 5 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
