Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Даны две координаты вектора Х = 4, У = — 12. Определить его третью координату Я при усло- Рис. 41. вии, что ~а1 =!3. 750. Даны точки А(3; — 1; 2) и В( — 1; 2; 1). Найти координаты векторов АВ и ВА, 751, Определить точку Лг, с которой совпадает конец вектора а = (3; — 1; 4), если его начало совпадает с точкой М(1; 2; — 3). 752. Определить начало вектора а = (2; — 3; — 1), если его конец совпадает. с точкой (1; — 1; 2).
753. Дан модуль вектора 1а1 = 2 и углы а =45', р = 60', у = 120'. Вычислить проекции вектора а на координатные оси. 754. Вычислить направляющие косинусы вектора а = = (12; — 15; — 16), 755. Вычислить направляющие косинусы вектораа= 756. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) а = 45', р = 60', у = 120', 2) а = 45', р = 136', 'у = 60'; 3) а = 90', р = 150', у: 60'7 117 75?. Может ли вектор составлять с двумя координатными осямиследующиеуглы:1) а = 30', р = 45'; 2) р = =60', у = 60', 3) а = 150', у = 30'? 758. Вектор составпяет с осями Ох и Ог углы а=120' и у = 45'. Какой угол он составляет с осью Од? 759.
Вектор а составляет с координатными осями Ох н Од углы и = 60', р = 120'. Вычислить его координаты при условии, что ~ а ~ = 2. 760. Определить координаты точки М, если ее радиус- вектор составляет с координатными осями одинаковые углы н его модуль равен 3. ~ 30. Линейные операции над векторами Суммой а+ Ь двух векторов а и Ь называется вектор, кото. рыи идет нз начала вектора а в конец вектора Ь при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а (правило треугольника) Построение суммы а+ Ь изображено иа рис. 42. Рис. 43. Рис. 42. Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограмма: если векторы а и Ь приведены к общему началу и на ннх построен параллелограмм, то сумма а+ Ь есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идушей нз общего начала а н Ь (рис.
43). Отсюда сразу сле. дует, что а+ Ь = Ь+ а. в ~ Сложение многих векторов произвоь х дится при помощи последовательного х г» применения правила треугольника (см. ,~Ь рис. 44, где изображено построение сум* мы четырех векторов а, Ь, с, И). Разностью а — Ь двух векторов и Ь называется вектор, который в сум. а ме с вектором Ь составляет вектор а.
Если два вектора а и Ь приведены к Рис, 44. общему началу, то разность их а — Ь есть вектор, идущий нз конца Ь («вычн» таемого») к концу а («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимнообратными: если один из них обозначен символом а, то другой обозначается символом — а. Легко 1И видеть, что а — Ь = а+ (-Ь).
Таким образом, построение разно. сти равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемомук Произведенйем аа (или также аа) вектора а на число а казы. вается вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора а на модуль числа и; он параллелен вектору а или лежит с ннм на однои прямой и направлен так же, как вектор а, если а — число положительное, и противоположно вектору а, если а— число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов: 1. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме их проекций на зту же ось: пр„(а~ + аз + ... + пв) прин~ + приа, + ...
+ пр„а„. 2. При умножении вектора на число его проекция умножается яа то же число: пр„(аа) = а пр„а, В частности, если а = (Х~', У~, ЯД, Ь =(Хз, Уя', ЯаЦ а+ Ь =(Х~+ Ха, К~+ 1~, Е, + Я,) а — Ь (Х, — Ха, 1', — У,; Х, — ЯД, Если а (Х( К; Д, то для любого числа а аа =(аХ; аУ; аХ). Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных пря. мых, называются коллинеарными, Признаком коллннеарности двух векторов а =(Х; Г~', Хд, Ь (Хз1 1'з1 Ю является пропорциональность их координат; Тройка векторов 1, 1, й называется координатным базисом, если ати векторы удовлетворяют следующим условиям: 1) вектор 1 лежит на оси Ох, вектор 1 — на осн Ор, вектор Ь вЂ” на оси Ог; 2) каждый из векторов 1, 1, Ь направлен на своей оси в положительную сторону; 3) векторы 1, ~, Й-единичные, т.
е, (ь1 =1, ~!) = 1, ~й~ 1 1В Каким бы ни был вектор и, он всегда может быть разложен по базису 1, 1, й, т. е. может быть представлен в виде: а — Х1+Ц+ ЯЬ; коэффициенты этого разложения являются координатамн вектора а (т. е. Х, У, Я суть проекции вектора а на координатные оси). 761, По данным векторам а и Ь построить каждый из следующих векторов: 1) а+Ь; 2) а — Ь; 3) Ь вЂ” а; 4) — а — Ь. 762. Даны: |а |=13, ! Ь |=19 и |а+ Ь !=24. Вычислить ! а — Ь !.
763. Даны: |а |=11, | Ь |=23 и |а — Ь |=30. Определить ! а+ Ь !. 764, Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны, причем ! а | =5 и ! Ь ! =12. Определить ! а+ Ь | и ! а — Ь |. 765. Векторы а и Ь образуют угол 1р=60', причем ! а | = 5 и ! Ь | =8. Определить ! а+ Ь ! и ! а — Ь ! . 766. Векторы а и Ь образуют угол 1р = 120', причем |а! = 3 и |Ь! = 5.
Определить |а+ Ь! н |а — Ь!. 76?. Какому условию должны удовлетворять векторы а н Ь, чтобы имели место следующие соотношения: 1) | а+Ь ! = ! а — Ь !; 2) ! а+Ь ! > | а — Ь |; 3) | а+Ь ! <! а — Ь !. 768. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы вектор а+ Ь делил пополам угол между векторами а и Ь. 769. По данным векторам а и Ь построить каждый из следующих векторов: 1) За; 2) — — Ь; 3) 2а+ — Ь; 1 ! 4) — а — ЗЬ. 1 2 770. В треугольнике АВС вектор АВ =т и вектор АС = и.
Построить каждый из следующих векторов: 2 ', 2) 2 ' 3) 2 ', 4) — 2 . Принимая 1 в качестве масштабной единицы — ! п |, построить также векторы: 5) |а|т+| т|п; 6) |п|т-|т!а. 771. Точка О является центром тяжести треугольника АВС. Доказать, что ОА+ ОВ+ ОС=О, 772. В правильном пятиугольнике АВСВЕ заданы векторы, совпадающие с его сторонами: АВ=т, ВС=п, С,0 = р, 0Е = а и ЕА т'. Построить векторы: 1) т — п+ + р — у+г; 2) т+2р+ — г; 3) 2т+ — и — Зр — у+2г. 1 1 773. В параллелепипеде АВСРА'В'С'Р' (рис 45) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АВ= т, АР и и АА' = р. Построить ка- У С' ждый из следующих векторов: 1 А' р ( 1) т+и+ р; 2) т+и+ — р; ! 3) — т+ — и+ р; 4) т+ и — р; ! 1 5) — т — и+ —,Р !р 774.
Три силы М, Ж и Р, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные напра- Рис. 45. влення. Определить величину их равнодействующей Х, если известно, что ~М~=2 кГ, 1 л( 1= 10 кГ н ~ Р ~ = 11 кT. 775. Даны два вектора а =(3; — 2; 6) и Ь =( — 2; 1; О). Определить проекции на координатные оси следующих векторов: 1) а+ Ь; 2) а — Ь; 3) 2а; 4) — — Ь; 5) 2а+ЗЬ; 1 6) — а — Ь. 1 з 776, Проверить коллинеарность векторов а = =(2; — 1; 3) и Ь=( — 6; 3; — 9).
Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направ-' лены — в одну или в противоположные стороны. 777. Определить, при каких значениях а, р векторы а = — 2г + 31 + Рй и Ь = ай — 6у + 2Й коллинеарны. 778. Проверить, что четыре точки А (3; — 1; 2), В(1; 2; — 1), С( — 1; 1; — 3), Р(З; — 5; 3) служат вершинами трапеции, 779, Даны точки А ( — 1; 5; — 101 В (5; — 7; 8), С(2; 2; — 7) и Р(5; — 4; 2). Проверить, что векторы АВ и СР коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого н во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны. 780. Найти орт вектора а=(6; — 2; — 3). 781.
Найти орт вектора а=(3; 4; — 12). 782. Определить модули суммы и разности векторов а=(З; — 5; 8) и Ь ( — 1; 1; — 4). 783. Дано разложение вектора с по базису 1, ~, й: с = 16ю — 151+ 121. Определить разложение по этому же базису вектора д, параллельного вектору с и 121 противоположного с ним направления, при условии, что 1Ю 1=75. 784.
Два вектора а=(2; — 3; 6) и Ь=( — 1; 2; — 2) приложены к одной точке. Определить координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а и Ь, при условии, что ~с~=3 )/42. 785. Векторы АВ (2; 6; — 4) и АС=(4; 2; — 2) совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, ВУ, СР. 786"). Доказать, что если р и д — какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: а=ар+~~у.
Доказать, что числа а и р век- Р торами а, р и д определяются однозначно. (Представление вектора а в виде а = ор + рд назыа д вается разложением его по ба- зису р, д; числа а и р называютб ся коэффициентами этого разлоАд У жени я,) Доказательство. Приведем векторы а, р и д к общему началу, которое обозначим буквой О (рис. 46). Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведем прямую, параллельную вектору д. Точку пересечения этой прямой с линией действия вектора р обозначим через Ар. Аналогично, проводя через точку А прямую, параллельную вектору р, получим в пересечении с линией действия вектора д точку А~. По правилу параллелограмма получим: а ОА= ОА,+ОА.
(1) Так как векторы ОАл и р лежат на одной прямой, то вектор ОА может быть получен умножением вектора р на некоторое число а ОАр = ар. (2) Аналогично ОАд= ~~у, (3) Из Равенств (1). (2) и (3) получаем: а =ар+рай. Тем самым возможность требуемого разложения доказана. Остается доказать, что коэффициенты а и р этого разложения определяются однозначно. *) Задачи 766 и 792 существенны для правильного понимания остальных задач. Решение первой из них здесь приводится полнос' ью. 122 Предположим, что вектор а имеет два разложения'.
а = ар+ 1)д, а = а р+ р'а, и, например, а' Ф а. Вычитая почленно одно из другого, получаем: (а' — а) р+ (р' — р) д=о или р= —, Но зто равенство означает коллинеарность векторов р и д, которые, однако, по условию являются неколлинеарнымн. Следовательно, неравенство а' Ф а невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно неравенство р' Ф р. Таким образом, а',= а, т. е. двух различных разложений один и тот же вектор иметь не может. 787. На плоскости даны два вектора р=(2; — 3), д=(1; 2). Найти разложение вектора а=(9; 4) по базису р, д, 788. На плоскости даны три вектора а=(3; — 2), Ь=( — 2; 1) и с=(7; — 4). Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других, 789. Даны три вектора а=(3; — Ц, Ь=(1; — 2), с = ( — 1; 7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
