Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При каких значениях т и а уравнение лтха + 12ху + 9у2+ 4х + пу — 13 = 0 определяет: 1) центральную линию; 2) линию без центра; 3) линию, имеющую бесконечно много центров. 670. алано уравнение линии 4х' — 4ху+ у'+ 6х+ ~+ 1 = О. Определить, при каких значениях углового коэффициента Й прямая у=Ах; 1) пересекает эту линию в одной точке; 2) касается этой линии; 3) пересекает эту линию в двух точках; 4) не имеет общих точек с этой линией. 671. Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку М(6; — 2) и касается прямой х — 2 = 0 в точке Л1(2; 0).
672, Точка Р(1; — 2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Я(0; — 3) и касается оси Ох в начале координат. Составить уран. нение этой линии. $ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка Пусть дано ураэнение ЛХ2+ йлхд+ СУ2+ 2ПХ+2Еу+ Г О, (1) определяющее центральн~ю линию второго порядка (8=ЛС вЂ” В'ФО), Перенося начало координат а центр 5'(хя уд) этой линии и 98 преобразуя уравнение (1) по формулам х=~ 2+ хо у =у+ уз> получим' Ахз+ 2Вху+ Суй+ У=О. (2) Для вычисления У можно пользоваться формулой Л Р=Вхз+ Еуз+ Р илн Р б' соответствующего повороту осей на угол а. Если угол а выбран так, что В 1д' а — (С вЂ” А) !д а — В = О, (4) то в новых координатах уравнение линии примет внд А'х' + С'у' + Р = О, где А'ФО, С'ФО. 3 а меч ан ие.
Уравнение (4) позволяет определить !ап, тогда как в формулах (3) участвуют з!па и сова. Зная 1д а, можно найти з!и и и соз а по формулам тригонометрии 51~а=, аОИа !да ~У1-~-!Г'п ~3~1+~д'а Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотношения: А'С' АС вЂ” В' А'+ С' ° А+ С, которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя преобрззования координат. Уравнение второй степени называется эллиптическим, если б ) О, гиперболическим, если б с О, и параболическим, если б = О. Уравнение центральной линни может быть~ только эллиптическим или гиперболическим.
Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. опреде. ляет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа), Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т, е. пару пересекающихся прямых). 673. Определить тип каждого из следующих уравнени!!"); каждое из них путем параллельного переноса ') То есть устзновить, какие из них являются эллиптическими, какие гиперболическими и какие параболическими.
4Ф 99 Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается прн помощи преобразования координат х х' соз а — у' з!и а, 1 (3) у х' з!и и + у' соз а, ~ осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат: 1) 4хг + 9уг — 40х -~- Збу+ 100 = О 2) 9х' — 16у'- 54х — 64у — 127 = 0; 3) 9хг+ 4уг + 18х — 8у + 49 = 0; 4) 4х — у'+8х — 2у+3 = 0; 5) 2хг+ Зу'+ 8х — бу+ 11 = О. 674. Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду, определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат; 1) 32х'+ 52ху — 7уг+ 180 = 0; 2) 5хг — бхд + 5уг — 32 = 0; 3) 17хг — 12ху+ ба = О 4) 5хг+24хд — 5уг = 0; 5) 5х' — бху + 5у'+ 8 = О.
675. Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов: 1) 2х'+10ху+12цг — 7х+18у — 15 = 0; 2) Зхг — 8ху + 7дг + 8х — 15у + 20 = 0; 3) 25хг — 20ху + 4у' — 12х + 20у — 17 = 0; 4) 5х'+ 14ху+ 11у'+ 12х — 7у + 19 = 0; 5) х' — 4ху + 4д'+ 7х — 12 = 0; 6) Зх' — 2ху — Зу'+ 12у — 15 = О. 676.
Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной .системы, оси других ко. ординатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным |оо уравнением; 1) Зх'+ 10ху + Зу' — 2х — 14у — 13 = 0; 2) 25х~ — 14ху + 25у'+ 64х — 64у — 224 = 0; 3) 4ху+ Зу~ + 16х + 12у — 36 = 0; 4) 7х~ -)- 6ху — у~ + 28х + 12у -~- 28 = 0; 5) 19х~+ бху+ 11у~+38х+ 6у+ 29 = О; '6) 5х' — 2ху+ 5у~ — 4х+20у+ 20 = О, 677. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений: 1) 14х'+ 24ху+21у~ — 4х+ 18у — 139 = 0; 2) 11х' — 20ху — 4д~ — 20х — 8у+ 1 = 0; 3) 7х'+60ху+32у' — 14х — 60у+7 = 0; 4) 50х' — 8ху+35у'+ 100х — 8у+67 = 0; 5) 41х'+ 24ху + 34у' + 34х — 112у+ 129 = 0; 6) 29х~ — 24ху + 36у'+ 82х — 96д — 91 = 0; 7) 4х'+ 24ху + 11у'+ 64х + 42у + 51 = 0; 8) 41х~+ 24ху+ 9у~+ 24х+ 18у — 36 = О, 678.
Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей: 1) 41х~ + 24ху + 9у~ + 24х + 18у — 36 = 0; 2) 8х~+4хд+5у'+16х+4у — 28= 0; 3) 13х~+ 18ху+37д' — 26х — 18у+ 3 = 0; 4) 13х~ + 10ху + 13д'+ 46х + 62у + 13 = О. 679. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты: 1) 5х~ — 6хд+ 2у~ — 2х+ 2 = 0; 2) х'+2ху+2у~+6у+9 =0; 3) 5х~+4ху+у~ — 6х — 2у+2 = 0; 4) х~ — 6ху + 10у'+ 10х — 32у+ 26 = О. 680.
Не проводя преобразования координат, устано- вить, что каждое из следующих уравнений определяет 101 гиперболу, и найти величины ее полуосей: 1) 4х'+ 24ху+ 11у2+ 64х+ 42у+ 51 = 0; 2) 12х'+ 26ху + 12у2 — 52х — 48у + 73 = 0; 3) Зх'+ 4ху — 12х+ 16 = 0; 4) х' — бху — 7у'+ 10х — ЗОу+23 = О. 681. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гипер-. болу), и найти их уравнения: 1) Зх2+4ху+у'- — 2х — 1 = 0 2) х2 — бху -~-8уг — 4у 3) х2 — 4ху + Зу~ = 0; 4) х'+ 4ху + Зу- '— бх — 12у + 9 = О. 682. Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями: 1) 8х' — 12ху + 17у' + 16х — 12у -)- 3 = О; 2) 17х" — 18ху — 7у"'+ 34~ — 18у+ 7 = 0;.
3) 2х~ + Зху — 2у2 + 5х + 10у = 0; 4) бх2 — бху + 9у'- — 4х + 18у + 14 = 0; .5) 5х' — 2ху+ 5у' — 4х+20у+20 = О, 683. Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака. 684. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (б:» 0) определяет эллипс в том и только в том случае, когда А н Л суть числа разных знаков. 686. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (б .» 0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда ,'1 и Л суть числа одинаковых знаков. 686.
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (б О) определяет вырожденный эллипс (точку) в том н только в том случае, когда Л = О. 687. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (6 0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда Л уь О. юа 688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (б ~ 0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда Л = О. $25.
Приведение к простейшему виду параболического уравнения Пусть уравнение Ах2+ 2Вху+ Су~+ 20х+ 2Еу+ Р = О является параболическим, т. е. удовлетворяет условию б = АС вЂ” В' = О. х = х' сов а — у' в)п а, у = х' в1п а + у' сов а. (2) Угол а следует найти из уравнения В 1К'а — (С вЂ” А) 1да — В =О; тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду А'х' + 2В'х' + 2Е'у' + Р = О, (4) где А' Ф О, либо к виду С'у' + Ю'х' + 2Е'у' + Р = О, где С' йь О. Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путем параллельного перенесения (повернутых) осей. 689. Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим', каждое из них привести кпростейшему виду'„установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением: 1) 9х' — 24ху + 16у' — 20х + 110у — 50 = 0; 2) 9х'+ 12ху + 4у' — 24х — 16у '+ 3 = 0; 3) 16хв — 24ху+ 9уа — 160х+ 120у+ 425 = б„ В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.
Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение (!) при помощи формул 690. То же задание, что и в предыдущей задаче, вы- полнить для уравнений: 1) 9хг+ 24ху + 16дг — 18х+ 226у + 209 = 0; 2) хг — 2ху+дг — 12х+ 12у — 14 = 01 3) 4хг+ 12хд+ 9уг 4х — 6у+ 1 =*О. 691. Для любого параболического уравнения дока- зать, что коэффициенты А и С не могут быть числами разных знаков и что они одновременно не могут обра- щаться в нуль. 692.
Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде: (пх+ ~у)г+ 20х+ 2Еу'+ Р = О. Доказать также, что эллиптические и гиперболиче- ские уравнения в таком виде не могут быть написаны. 693. Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, ука- занном в задаче 692: 1) х'+4хд+4у'+4х+'у — 15 = 0; 2) 9х' — 6ху+уг — х+2д — !4 = 0; 3) 25х' — 20ху+4уг+ Зх — у+11 = О, 4) 16хг + 16хд+ 4дг — 5х + 7у = О; 5) 9хг — 42хд+ 49уг+ Зх — 2у — 24 О. 694. Доказать, что если уравнение второй степени является параболическим и написано в виде (пх'+ ~у)г+ 20х+ 2Еу+ Р = О, то дискриминант его левой части определяется фор- м лой у Л = — (٠— Еп)г 695.
Доказать, что параболическое уравнение (пх+ рд) г'+ 20х'+ 2Еу+ Р = 0 при помощи преобразования х = х' сов Π— у' з1п О, 1дО= — — ' у=х'з1п О+ у'созО, Р приводится к виду С'у' + 20'х' + 2Е'у'+ Р' = О, где С'=а~+ ~~ 0'= ~ (~2+ 2 ~ а Л вЂ” дискриминант левой части данного уравнения. 696. Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда Л Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
