Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Соф ставить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре гиперболы. 642. Дано уравнение параболы уз = 2рх. Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы. ф 22. Диаметры линий второго порядка В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат иа одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным'атой хорде (и всем хордам, ко.
торые ей параллельны), Все диаметры эллипса и „гиперболы прохо. 92 дят чеРез центр. Если эллипс задан уравнением Х2 у' — + — =1, д2 Ь2 то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициеьтом й, определяется уравнением Ь2 у = — х. а'й Есчи гипербола задана уравнением — 1 2,у2 д2 Ь2 то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом й определяется уравнением Ь2 у= Х. д2й Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением у2 = 2рх, то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом й, опредечяется уравнением у=— Р й Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит попочам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит по« полам хорды, параллельные первому.
Такие два диаметра пазы. ваются взаимно сопряженными. Если й и й' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то Ь2 йй' д2 (3) Если й и й' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то Ь' йй' а' (4) Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы. Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным. Х2 643. Составить уравнение диаметра эллипса — + 25 уг + —, =1, проходящего через середину его хорды, отсекаемой на прямой 2х — у — 3 = О. х' у' 644.
Составить уравнение хорды эллипса — + — =* !6 9 =!, проходящей через точку А(1;-2) н делящейся ею пополам. 645. Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса х' + 4у~ = 1, из которых один образует с осью Ох угол в 45'. 646.
Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса 4х'+9у'=1, из которых один параллелен прямой х+ 2у — 5 = О. 647. Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса х~+Зу' 1, из которых один перпендикулярен к прямой Зх+ 2у — 7 = О. 648. На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр. 649. Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров. 650. Пользуясь свойствами сопряженных диаметров, доказать, что каждый диаметр окружности является главным.
65!. а) В эллипс вписан равнобедренный треугольник так, что его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса. б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, параллельны осям этого эллипса. в) На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его главные диаметры 652. Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, параллельны паре его сопряженных диаметров. 653. а) Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме квадратов его полуосей). б) Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях).
х' 654. Составить уравнение диаметра гиперболы —— 5 у2 — 4 — — 1, проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой 2х — у+3 =О. 94 х' у' 655. Дана гипербола — — — =1. Составить урав- 3 7 пение, ее хорды, которая проходит через точку А (3; — 1) и делится точкой А пополам. 656.
Составить уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы х' — 4у'= 4, из которых один прохолит через точку А (8; 1). 657. Составить уравнения сопряженных диаметров х' гиперболы — — = = 1, угол между которыми равен 45о 658. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее центр. 659.
Доказать, что оси гиперболы являются единственной парой ее главных диаметров. 660. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главные диаметры. 661. Составить уравнение диаметра параболы у' = = 12х, проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой Зх+ у — 5 = О. 662. Дана парабола у~ = 20х. Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(2;5) и лелится точкой А пополам. 663.
Доказать, что ось параболы является единственным ее главным диаметром. 664. На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр. ГЛАВА б УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ 5 23, Центр линии второго порядка Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией вто« рого порядка, Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде: Ах' + 2Вху + Су' + 2.0х + 2Еу + Р = О.
(1) 0 А Е В В 0 С Е уо =— А В В С А В В С Неравенство б В1'. -О служит признаком центральной линии второго порядка 96 11ентром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными. Точка Е(хм у0) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям: Ахо+ Вуо+0=0 Вхо + Суо + Е = О.
Обозначим через б определитель этой системы. Величина 6 составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения. Если б Ф О, то система (2) является совместной и определенной, т. е. имеет решение н притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам: Если 8(хю, 'ую) — центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам х=х+хм у=у+ею (что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид Ахю+ 2ВхК+ Сую+ Р О, где А, В, С вЂ” те же, что в данном уравнении (1), а Р определяется формулой Р Вхю+ Еую+Р В случае б ~ О имеет место также следующая формула: Л Р=— 1 где АВО ВСЕ ПЕР Определитель Ь называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.
665. Установить, какие изследующихлиний являются центральными (т. е. имеют единственный центр), какие ие имеют центра, какие имеют бесконечно много центров: 1) Зх2 — 4ху — 2у'+ Зх — 12у — 7 =0; 2) 4хз + 5ху + Зу' — х + 9у — 12 = 0; 3) 4х' — 4ху+ у~ — 6х-г-8у+ 13=0; 4) 4хз — 4ху + уа — 12х + бу — 11 = 0; 5) х' — 2ху+ 4у'+ 5х — 7у+ 12 =0; 6) х' — 2ху + у2 — бх + бу — 3 = 0; 7) 4х' — 20хд .+ 25уз — 14х+ 2д — 15 = О; 8) 4х' — бху — 9у' + Зх — 7д + 12 = О, 666.
Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из ннх найти координаты центра: 1) Зх'+ 5ху + у' — 8х — 11у — 7 = О; 2) 5х'+ 4ху + 2уа -(- 20х + 20у — 18 = 0,' 3) 9х2 — 4ху — 7уг — 12=0 4) 2хз — бху+ 5уз + 22х — 36д + 11 = О, 667.
Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой их них 4 д. В, Клетеа»» 87 составить уравнение геометрического места центров'. 1) х2 — 6ху + 9у' — 12х+ 36у+ 20 = 0; 2) 4ха+ 4ху + уа — Зх — 4у — 21 = 0; 3) 25х2 — 10ху+ у'+ 40х — Зу+ 7=0. 668. Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр; 1) Зх2 — 6ху+2уа — 4х+ 2у+ 1 =0; 2) 6хт+ 4ху+у2+4х — 2у+ 2=0; 3) 4ха+ 6ху+ у2 — 10х — 10 = 0; 4) 4ха+ 2ху + 6у2+ 6х — 10у + 9 = О. 669.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
