Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Символ М(х; у; г) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, г. Плоскость Оуг разделяет все пространство на два полупространства; то из них, которое расположено ь положительном направлении оси Ох, называется ближним, другое — дальним. Пло. скость Охг также разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оу, называется правым, другое — левым.
Наконец, и плоскость Оху разделяет пространство на два полупространства; то из них„ которое расположено в положительном направлении оси Ог, называется верхним, другое — нижним. 112 Трн плоскости Оку, Охх н Оуз вместе разделяют пространство на восемь частей; нх называют координатными октантами н нумеруют так, как показано на рис. 39. 719. Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам; А (3;4;6), В( — 5; 3; 1), С(1; -3; — 5), Р(0; -3; 5), Е( — 3; — 5; 0) и Р( — 1 — 5 — 3). ' Ш ?20. Найти координаты Д7 7 1 проекций точек А(4; 3; 5), 1г В( — 3; 2; 1), С(2; — 3; 0) и Р (О; 0; — 3): 1) на плоскость Оху; 2) на плоскость У/ Охг; 3) на плоскость Оуг; 4) на ось абсцисс; 5) на ось ординат; 6) на ось апликат. 721.
Найти координаты точек, симметричных точкам А (2; 3; 1), В(5; — 3; 2), Рис. 39. С( — 3;2; — 1) иР(а;Ь;с) относительно: 1) плоскости Оху; 2) плоскости Охг; 3) плоскости Оуг; 4) оси абсцисс; 5) оси ординат; 6) оси апликат; 7) начала координат. 722. Даны четыре вершины куба: А( — а; — а; — а), В(а; — а; — а); С( — а; а; — а) и Р(а; а; а). Определить его остальные вершины.
723. В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий'. 1) х — у = 0; 2) х+ у = О; 3) х — г = =- 0; 4) х + г = 0; 5) у — г = 0; 6) у + г = О. 724. В каких октантах могут быть расположены точки, если: 1) ху ) О; 2) хг с 0; 3) уг ) О; 4) хуг ) О; 5) хуг: О. 725. Найти центр шара радиуса Й = 3, который касается всех трех координатных плоскостей н расположен: 1) во втором октанте; 2) в пятом октанте; 3) в шестом октанте; 4) в седьмом октанте; 5) в восьмом октанте. ф 28.
Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении Расстояние д между двумя точками М1(хп уп х~) н Мг(хя уг, .зз)) в пространстве определяется формулой с1 )/'(х х,)2+ (у у,)2 + 1~ х )2 113 Координаты х, у, г точки М, которая делит отрезок М!Ма, ограниченный точками М!(х!, у!, г!) и М~(х21 убога), в отношении 7!„ определяются по формулам: х! + 7.х2 у! + 7!,уа г! + 7.гз 1+7! ' !+Л ' !+7 В частности, при Х = 1 имеем координаты середины данного от- резка: х! + Ха у! + у2 х! + аа х=, ! у= 2 э г 2 726.
Даны точки: А (1; — 2; — 3), В(2; — 3; О), С(3, 1; — 9), О( — 1; 1; 12). Вычислить расстояние меж- ду1) АиС;2) Ви0;3) Си0. 727. Вычислить расстояния от начала координат О до точек: А(4; — 2; — 4), В( — 41 121 6), С(12; — 4; 3), 0(12; 16; — 15). 728. Доказать, что треугольник с вершинами А(3; — 1; 2), В(0; — 4; 2) и С( — 3; 2; 1) равнобедрен- ный. 729, Доказать, что треугольник с вершинами А,(3; — 1; 6), Аа( — ); 7; — 2) и Аз(1; — 3; 2) прямо- угольный. ~ 730, Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов треугольника М!(4; — 11 4), Ма(0; 7; — 4), Иэ(3; 1; — 2).
731. Доказать, что внутренние углы треугольника М(3; — 2; 5), Ж( — 2; 1; — 3), Р(5; 1, — !) острые, 732. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от точки А( — 3; 4; 8) равно !2, 733. На оси ординат найти точку, равноудаленнукз от точек А(1; — 3; 7) и В(5; 7; — 5). 734. Найти центр С и радиус тт шаровой поверхности, которая проходит через точку Р(4; — 1; — 1) и касается всех трех координатных плоскостей. 735.
Даны вершины М!(3; 2; — 5), Ма(1; — 4; 3) и Мз( — 3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон. 736. Даны вершины А (2; — 1', 4), В(3; 2; — 6), С( — 5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его меди- аны, проведенной из вершины А. 737. Центр тяжести однородного стержня находится в точке С(1; .— 1; 5), один из его концов есть точка А( — 2; — 1; 7). Определить координаты другого конца стержня. 738. Даны две вершины А(2; — 3; — 5), В( — 1; 3; 2) параллелограмма АВС0 и точка пересечения его диаго- 114 налей Е(41 -1; 7).
Определить две другие вершины этого параллелограмма. 739. Даны три вершины А(3; — 41 7), В(-5; 3; — 2) и С(1; 2; — 3) параллелограмма АВСЕ). Найти его четвертую вершину Й, противоположную В, 740. Даны три вершины А(3;. — 1, 2), В(1; 2„— 4) и С( — 1; 1, 2) параллелограмма АВСП. Найти его четвертую вершину Й. 741. Отрезок прямой, ограниченный точками АА(-1; 8; 3) и В(91 -71 -2), разделен точками С, О, Е, Р на пять равных частей.
Найти координаты этих точек. 742. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2~ 01 2) и 0(5; — 2; О) разделен на три равные части. 743. Даны вершины треугольника А (1; 2; — 1), В(2; — 1; 3) и С( — 4; 71 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В. 744. Даны вершины треугольника А (1;1 — 11 — 3), В(2; 1; — 2) и С( — 5; 2; — 6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А. 745.
В вершинах тетраэдра А(х„у,; г,), В(х~, у,; .а,), С(хз,' дз', гз), Р(х»; у»; г») сосредоточены равные массы. Найти координаты центра тяжести системы этих масс. 746. Б вершинах тетраэдра А»(х~, у», г»), Аг(х~, уз, гз), 'Аз(хз, дз', га), А»(х», у», г») сосредоточены массы т», е~, гп~ и*т». Найти координаты центра тяжести системы этих масс, 747. Прямая проходит через две точки М~(-1; 6; 6) и М~(31 — 6; — 2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями. ГЛАВА 7 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА $ 29. Понятие вектора. Проекции вектора Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторамн илн просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, с которая на чертежах ставится у конца 8 стрелки, изображающей вектор (см.
рис. 40, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто А будет называться также его точкой прилоРнс. 40. жения. Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой н направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом 1а! или а. Если ~а~ 1, то вектор а называется единичным.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом а'. Проекцией вектора АВ на ось и называется число, равное величине отрезка А1В~ оси и, где точка А~ является проекцией на ось и точки А, а В| — проекцией на эту ось точки В. Проекция вектора АВ на ось и обозначается символом. 'пр„АВ. Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозначать: пр а.
Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол ~р наклона к оси и формулой пр„а = ~ а ~ ° соз <р. (1) Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданнои системы координат в дальнейшем обозначаются буквзми Х, У, Е. Равенство а =(Х; 1'1 4 означает, что числа Х, У, Я являются проекциями вектора на координатные оси. Проекции вектора на координатные осн называют также его (декартовыми] координатами. Если даны две точки М1(хну~',з~) и Мг(хг, уг, хг), являющиеся соответственно началом н концом вектора а, то его координаты Х, У, Х определяются по формулам Х=хг — х,, У у,— у„Я хг-хг, Формула (2) позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Если а, р, у — углы, которые составляет вектор а с координатными осями (рис. 41), то сова, соз 1г, сову называются направляющими косинусами вектора а. Вследствие формулы (1) г Х 1а1соз а, У 1а1соз р, Х 1а~соз у. Отсюда и из формулы (2) следует, что гх созг а+ созг 5 + созг у = 1. Последнее равенство позволяет определить у один из углов а, р, у, если известны два других. а' 748. Вычислить модуль вектора а = (6; 3; — 2). 749.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
