Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определить разложение вектора р = а + + Ь+с по базису а, Ь. 790. Принимая в качестве базиса векторы АВ=Ь н АС = с, совпадающие со сторонами треугольника АВС, определить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающих с его медианами. 791. На плоскости даны четыре точки А (1; — 2), В(2; 1), С(3; 2) и ~)( — 2; 3), Определить разложение векторов АО, ВВ, СО и Ат) + ВВ+ С1Э, принимая в качестве базиса векторы АВ и АС, 792. Доказать, что если р, д и г — какие угодно некомпланарные векторы '), то всякий вектор а пространства может быть представлен в виде: а=ар+ +~д+ ук. Доказать, что числа а, р, у векторами а, р, д и г определяются однозначно. (Представление вектора а в виде а=ар+~у+ук называется разложением его по базису р, д, г.
Числа а, р и у называются коэффициентами этого разложения.) 793, Даны три вектора р=(3; — 2; Ц, д=( — 1; 1; — 2), г=(2; 1; — 3). Найти разложение вектора с=(11; — 6; 5) по базису р, д, г. ~) Трн вектора называются некомпланарными, если после приведения к общему началу они не лежат в одной плоскости. 794. Даны четыре вектора а=12; »; О), Ь=11; — 1; 2), с=(2; 2; — Ц и д=(3; 7; — 7).
Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных. 5 31. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а, Ь обозначается символом аЬ (порядок записи сомножителей безразличен, т, е. аЬ Ьа).
Если угол между векторами д, Ь обозначить через ~р, то их скалярное произведение можно выразить формулой аЬ = ! а ! ° ! Ь! ° соз 1р. (!) Скалярное произведение векторов а, Ь можно выразить также формулой аЬ = ~ а ! ° пр„Ь, или аЬ = ~ Ь ~ ° пра а. Из формулы (1) следует, что аЬ>0, если д-острый угол, аЬ<0, если угол ф — тупой; аЬ 0 в том и только в том случае, когда векторы д и Ь перпендикулярны (в частности, аЬ=О, если а=О нли Ь =0).
Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом а'. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: д2 )д)2 Если векторы д и Ь заданы своими координатами: д (Х,; 1',; Х1», Ь=(Х2; у2; 22), то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле аЬ = Х,Х, + у1'22+2122. Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендику. лярности векторов: Х1Х2 + У1У2 + 2122 = О, Угол 1р между векторами д=(Х„У1,' Я1» и Ь=(Х2; 22; 22» дЬ дается формулой соз ф = Ь, или в координатах »а ~ ° 1Ь! ' Х1Х2 + У1Г2+ г!Х2 СОЗ 1Р =* У Х', + у'! + Х2 М Х, '+ у', + г' Проекция произвольного вектора 8=(Х; У; Х» на какую.
нибудь ось и определяется формулой пр„8=8е, 124 где е — единичный вектор, направленный по оси и. Если даны углы а, р, т, которые ось и составляет с координатными осями, то е=(сова; совр; сову) и для вычисления проекции вектора 8 может служить формула пр„8 = Х сов а + у сов р + я сов у. 796. Векторы а и Ь образуют угол у = — и; зная, что 2 1а1=3, 1Ь1=4, вычислить: 1) аЬ; 2) а', 3) Ь', 4) (а+Ь)', 5) (За — 2Ь)(а+ 2Ь); 6) (а — Ь)' 7) (За+ 2Ь)' 796. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны; вектор с образует с ними углы, равные — "; зная, что 1а1= 3' =3, 1Ь1=5, 1с1=8, -вычислить: 1) (За — 2Ь)(Ь+Зс); 2) (а + Ь + с)в' 3) (а + 2Ь вЂ” Зс)'.
797. Доказать справедливость тождества (а+ Ь)'+ +(а — Ь)'=2(а'+Ь) и выяснить его геометрический смысл. 798. Доказать, что — «Ь ~~«Ь -=.«Ь; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства? 799. Считая, что каждый из векторов а, Ь, с отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство: (аЬ) с = «(Ьс). 800. Даны единичные векторы а, Ь и с, удовлетворяющие условию а+ Ь+с О. Вычислить аЬ+Ьс+с«.
801. Даны три вектора а, Ь и с, удовлетворяющие условию а+Ь+с=О. Зная, что 1а1=3, 1Ь1=1 и 1с1=4, вычислить аЬ+ Ьс+ са. 802. Векторы а, Ь, с попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60'. Зная, что 1а1=4, 1Ь!=2 и 1с1=6, определить модуль вектора р=а+Ь+с. 803. Дано, что 1«1= 3, 1Ь1=5. Определить, при каком значении а векторы а+ аЬ, а — аЬ будут взаимно перпендикулярны.
804. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы вектор а+ Ь был перпендикулярен к вектору а — Ь. 805. Доказать, что вектор р=Ь(ас) — с(аЬ) перпендикулярен к вектору а. 806. Доказать, что вектор р = Ь вЂ вЂ , перпендиа (аЬ) кулярен к вектору а. 807. Даны векторы ЛВ= Ь и АС=с, совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение по 125 817. Даны вершины четырехугольника А(1; — 2; 2), В(1; 4; О), С( — 4; 1; 1) и 0( — 5; — 5; 3), Доказать, что его диагонали АС и В0 взаимно перпендикулярны. 818. Определить, при каком значении а векторы а=а1 — 31+ 2й и Ь =1+ 2/ — ай взаимно перпендикулярны. 819. Вычислить косинус угла, образованного вскторами а=(2; — 4; 4) и Ь=( — 3; 2; 6). 820.
Даны вершины треугольника А ( — 1; — 2; 4), В( — 4; — 2; О) и С(3; — 2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В. 821. Даны вершины треугольника А (3; 2; — 3), В(5; 1; — 1) и С(1; — 2; 1). Определить его внешний угол при вершине А. 822. Вычислив внутренние углы треугольника А(1; 2; 1), В (3; — 1; 7), С(7; 4; — 2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный. 823. Вектор х, коллннеарный вектору а=(6; — 8; — 7,5), образует острый угол с осью Ог, Зная, что ~ х ~ = 50, найти его координаты.
824. Нанти вектор х, коллинеарный вектору а = =(2; 1; — 1) и удовлетворяющий условию ха=3. 82Г. Вектор х, перпендикулярный к векторам а= =31+21+2Й и Ь=181 — 221 — 5Ь, образует с осью Од тупой угол. Найти его координаты, зная, что ~ х ~=14. 826. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам а=(2; 3; — 1) и Ь=(1; — 2; 3) и удовлетворяет условию х(21 — у+ й) = — 6.
827. Даны два вектора: а=(3; — 1;5) и Ь=(1; 2; — 3). Найти вектор х анри условии, что он перпендикулярен к осн Ог и удовлетворяет условиям: ха = 9, хЬ = — 4. 828. Даны три вектора: а=21 — у+ Зй, Ь=1— — 31 + 2Ь и с = 31+ 27' — 4а. Найти вектор х, удовлетворяющий условиям. 'ха = — 5, хЬ =- — 11, хс = 20. 829. Найти проекцию вектора 8=(4; — 3; 2) на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. 830.
Найти проекцию вектора 8= ~$~2; — 3; — 51 на ось, составляющую с координатными осями Ох, Ог углы а=45', у=60', а с осью Оу — острый угол р. 831. Даны две точки А(3; -4; — 2), В(2; 5; — 2). Найти проекцию вектора АВ на ось, составляющую с координатными осями Ох, Оу углы а=60', ф=120', а с осью Ог-тупой угол у. 127 832. Вычислить проекцию вектора а=(5; 2; 5) на ось вектора Ь=(2; — 1; 2). 833. Даны три вектора: а = 3« — бу — Ь, Ь = «+ -)-41 — 5Й и с=3« — 47+ 121. Вычислить пр,(а+ Ь). 834.
Даны три вектора: а=(1; — 3; 4), Ь=(3; — 4; 2) и с=( — 1; 1; 4). Вычислить прь+,а. 835. Даны три вектора: а = — 21 + 7+ й, Ь = «+ 5~ и с = 4«+ 4~ — 2Й. Вычислить пр, (За — 2Ь). 836. Сила, определяемая вектором Р=(1; — 8; — 7), разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором а=21+ 2у+ й.
Найти составляющую силы Р в направлении вектора а. 837. Даны две точки М( — 5; 7; — б) и Ж(7; — 9; 9). Вычислить проекцию вектора а=(1; — 3; 1) на ось вектора ММ. 838. Даны точки А( — 2; 3; — 4), В(З; 2; 5), С(1; — 1; 2), .0(З; 2; — 4). Вычислить прс — АВ, ф 32.
Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется вектор, обозначаемый символом [аЬ) и определяемый следующими тремя условиями: 1) модуль вектора [аЬ) равен [а [ ° [ Ь ) з)п ф, где ~р — угол между векторами а и Ь; 2) вектор [аЬ) перпендикулярен к каждому из векторов а и Ь; 3) направление вектора [аЬ) соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы а, Ь и [аЬ] приведены к общему началу, то вектор [аЬ] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой на- правлен по первому сомножителю [т, е, по вектору а), а указатель- ный — по второму [т.
е. по вектору Ь), Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: [аЬ) = — [Ьа), Модуль векторного произведения [аЬ) равен площади о параллелограмма, построенного на векторах а н Ь: ) [аЬ) ] = 8. Само векторное произведение может быть выражено формулой [аЬ) =ое, где е — орт векторного произведения. Векторное произведение [аЬ) обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы а и Ь коллииеарны. В частности 1аа) =О, 128 .
', Если система коордйнзтных осей правая и векторы а и Ь за* даны в этой системе своими координатами: а-(Х,; У,| г,), Ь-(Х,; У,; гд, то векторное произведение вектора а на вектор Ь определяется формулой ~аЫ [) ''(1 — ! ''~1 ) ' () или Ь [аЬ) Х, Г| Х, Хт Уе Хе $39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
