Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой — Л (А+ С)' ' 697. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы: 1) 9х'4- 24ху+ 16д~ — 120х+ 90д = О; 2) 9х~ — 24ху+ 16д~ — 54х — 178д+ 181 = О; 3) х~ — 2ху+ у-+6х — 14у+ 29=0; 4) 9х~ — 6ху+ д~ — 50х+ 50д — 275 =О.
698. Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда Л = О. 699. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения: 1) 4х~ + 4ху + у' — 12х — 6у + 5 = 0; 2) 4х' — 12ху + 9у'+ 20х — 30у — 11 = 0; 3) 25х' — 10ху+ у' + 10х — 2у — 15 = О. 700. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой: 1) х~ — 6ху + 9у'+ 4х — 12у+ 4 = О, 2) 9х'+ 30ху + 25у'+ 42х + 70у + 49 = 0; 3) 16х' — 16хд'+ 4у' — 72х+ 36у+ 81 = О.
9 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях 701. Составить уравнение геометрического места то- чек, произведение расстояний которых до двух данных точек Е~( — с; 0) и Р~(с; 0) есть постоянная величина а'. 105 Такое геометрическое место точек называется о в алом К а с с и н и (рис. 23) . 702. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек Р~( — а; О) и Ра(а; О) есть постоянная величина аа.
Такое геометрическое место точек называется ле ми ис к а т ой (рис. 24). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно„потом — рассматривая ее как частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение Рис. 24. Рис. 23. лемпискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с положительной полуосью Ох и полюс с началом координат. 703.
Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опушенных из начала координат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной площади Я. У к а з а н и е. Составить уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох. 704. Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702), Указан не.
Повернуть координаты оси на угол в 45'. 705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоянной угловой скоростью а. Составить в данной системе полярных координат уравнение траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью о (спираль Архимеда, рис. 25). 706. Даны прямая х = 2г и окружность радиуса г, которая проходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий 106 данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, на котором отложен отрезок ОМ = ВС (рис.
26). При вращении' луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую ц и с с о и д о й. Составить уравнение циссоиды. 707. Даны прямая х= а (а ~ О) и окружность диаметра а, проходящая через начало координат О и касающаяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий окружность в точке А и данную прямую в точке В. Из точек А и В проведены прямые, параллельные соответственно осям Оу и Ох (рис. 27). Точка М Рис. 27. Рис. 26.
Рис. 25. пересечения этих прямых при вращении луча описывает кривую, называемую в е р з ь е р о й. Составить ее уравнение. 708. Из точки А( — а; 0), где а > О, проведен луч АВ (рис. 28), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки ВМ и ВУ одинаковой длины 6 (Ь=сопМ). При вращении луча точки М и М описывают кривую, называемую конхоидой.
Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точку А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. 709. Из точки А (- а; О), где а :» О, проведен луч АВ (рис. 29), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки ВМ и ВМ, равные ОВ.
При вращении луча ~07 точки М и Ж описывают кривую, называемую строфои д о й, Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
Рис. 30. Рис, 29. Рис, 28, 710. Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность х'+ у'- = 2ах (а > 0) в точке В (рис. 30); на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и ВЖ постоянной длины О. Прн вращении луча точки Ч и У описывают кривую, называемую улиткой Паскаля (рис. 30). Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. 711.
Отрезок длины 2а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок (рис. 31), сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
Точка М описывает кривую, называемую четы рехлеп ест ко в ой ро з ой. 712, Отрезок длины а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях (рис. 32). Через концы отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения в точ- 108 ке Р.
Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из точки Р на отрезок Эта траектория называется астроидой. Рис. 32. Рис. 31. У к а з а н и е. Составить сначала параметрические уравнения астроиды, выбирая параметр 1, как указано на рис. 32 (затем исключить параметр 1). 713. Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью ха+у'= ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох. Из точки С на луч ОВ опущен перпендикуляр СМ.
Вывести уравнение траектории точки М сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с Рис, ЗЗ. Рис. 34. положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат, 714. Нить, намотанная иа окружность х'+ у' = уа, разматывается так, что в точке В, где нить отделяется от окружноси, она остается касательной к ней 1рис.
33). 109 Ф Найти параметрические уравнения линии, описываемой концом нити, если начальным положением конца является точка А(а1 О), где а.: О. Линия, о которой идет речь, называется эвольвентой круга. 715. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого круга называется циклоидой (рис. 34). Вывести па- Ю У раметрические уравнения циклои- ды, принимая в качестве параметра г угол, на который поворачивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный момент (1= 0) точка М находится в начале координат. Исключить параметр 1 из полученных уравнений.
716. Круг радиуса а катится Рис. 35. без скольжения по окружности х'+ у' = а', оставаясь вне ее. .Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется кардиоидо й (рис. 35). Вывести параметрические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве параметра 1 угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной. Считать при этом, что в начальный момент ,'(1 = О) точка М находится справа на оси Ох.
Перейти к полярным координатам при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в точке А. Доказать, что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля (см. задачу 710). 717. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х'+у' = Ь', оставаясь вне ее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется э п и ц и к л о и д о й (рис. 36) .
Вывести параметрические уравнения зпициклоиды, выбирая в качестве параметра 1 угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (1= О) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида (см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды. 718. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х~+д'= Ь', оставаясь внутри нее, Траектория 110 некоторой точки М окружности катящегося круга называется г и п о ц и к л о и д о й (рис.
37) . Вывести пара метрические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве Рис. 36. Рис. 37, параметра 1 угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной; считать прн этом, что в начальный момент (1 = 0) .точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что астроида (см задачу 712) есть частный вид гнпоциклоиды, ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАВА8 НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ф 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — осями координат, Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая — осью ординат, трег тья — осью апликат.
Начало координат обозначается буквой О, осн координат обозначаются соответственно символами Ох, Оу, Ог. Пусть М вЂ” произвольная точка пространства, М„, М„и М, — ее проекции на коордйнатные оси (рис. 38). Координатамн точки М в заданной системе называются числа.' х= ОМ, у ОМ„, г ОМ, (рис. 38), где ОМ„есть величина отрез- Х ка ОМ„оси абсцисс, О̄— величина отРис. 38. резка ОМ„оси ординат, ОМ,— величи- на отрезка ОМ, оси апликат, Число х называется абсцнссой, у — ординатой, г — апликатой точки М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
