Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр р= 3; 2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, и ее параметр р = 0,5; 3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, и ее параметр р=-; 1 вб 4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, и ее параметр Р = 3. 584. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: 1) р'=6х' 2) х~ =5у; 3) у~= — 4х; 4) х~= — у 585. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: 1) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6); 2) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку й( — 1; 3); 3) па рабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1), 4) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку 0(4; — 8).
586. Стальной трос подвешен за два конца„точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 я от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболыы. 587. Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е (О; — 3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу. 588. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у = + 2 ~/х; 2) у = + ~/ — х; 3) д = — 3 ~/ — 2х; 4) у = — 2 )/х; 5) х = + ~ 5; 6) х = — 5 7 — (/; 7) х= — ~/Зу; 8) х=+ 4 ~/ — у.
Изобразить зти линии на чертеже. 589. Найти фокус Г и уравнение директрисы параболы у~ = 24х. 599. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у' = 20х, если абсцисса точки М равна 7. 591. Вычислить фокальный радиус точки М пара. болы у'= 12х, если ордината точки М равна 6. В7 592. На параболе уг = 1бх найти точки, фокальный радиус которых равен 13. 593. Составить уравнение параболы, если дан фокус Р(-?; О) и уравнение директрисы х — 7 = О. 594.
Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (я; р), параметр равен р, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность: 1) в положительном направлении оси Ох; 2) в отрицательном направлении оси Ох. 595. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой (я; р), параметр равен р, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность: 1) в положительном направлении оси Оу (т. е.
парабола является восходящей); 2) в отрицательном направлении оси Оу (т. е. парабола является нисходящей). 596. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы: 1) уг=4х — 8; 2) уг=4 — 6х; 3) хг=бу+2; 4) хг = 2 — 9. 59?. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее верг шины А и величину параметра р: 1) у= — хг+ х+ 2; 4 2) у = 4хг — 8х + 7; 3) у = — — хг + 2х — 7.
1 598. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершина А и величину параметра р:1) х = 2уг — 12у+ 14; 2) х = 4 уг + у' 3) х = — уг + 2у — 1. 1 ! 599. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у = 3 — 4 ~х — 1; 2) х = — 4+ 3 ~/у -~- 5; 3) х=2 — ~/6 — 2у; 4) у= — б+ ~l — Зх — 21. Изобразить зти линии на чертеже. 600. Составить уравнение параболы, если дэны ее фокус Р(7;2) и директриса х — 5 0 601. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус Г(4;3) и директриса у+ 1 = О.
88 602. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус Е(2; — 1) и директриса х — у — 1 = О. 603. Даны вершина параболы А (6; -3) и уравнение ее директрисы Зх — 5у+ 1 = О, Найти фокус Р этой параболы. 604. Ланы вершина параболы А ( — 2; — 1) и уравнение ее директрисы х+ 2у — 1 = О. Составить уравнение этой параболы. 606. Определить точки пересечения прямой х + д— — 3 = 0 и параболы х' = 4у. 606. Определить точки пересечения прямой Зх+, (+ 4у — 12 = 0 и параболы у'- = — 9х.
607. Определить точки пересечения прямой Зх— — 2д+ 6 = О и параболы д' = 6х. 608. В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы — пересекает ли, касается пли проходит вне ее: 1) х — у+2=0, у'=8х; 2) 8х+Зу — 15=0, Ф= = — Зу; 3) 5х — д — 15= 0, у'= — 5х. 609. Определить, при каких значениях углового коэффициента А прямая у = Ах+2 1) пересекает параболу д'= 4х; 2) касается ее; 3) проходит впе этой параболы.
610. Вывести условие, при котором прямая у = = Фх+ Ь касается параболы у' =- 2рх. 611. Локазать, что к параболе у'= 2рх можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом А Ф О. 612. Составить уравнение касательной к параболе у'.= 2рх в ее точке М~ (х1, у,).
613. Составить уравнение прямой, которая касается параболы .у~ = 8х и параллельна прямой 2х+ 2у— — 3 = О. 614. Составить уравнение прямой, которая касается параболы х'= 16у и перпендикулярна к прямой 2х+ +4у+7 = О. 615. Провести касательную к параболе у'= 12х параллельно прямой Зх — 2у+30 = 0 и вычислить расстояние д между этой касательной и данной прямой.
616. На параболе у~ =- 64х найти точку Мь ближайшую к прямой 4х+ Зу — 14 = О, и вычислить расстояние И от точки М1 до этой прямой. 617. Составить уравнения касательных к параболе у' 36х, проведенных ив точки А (2; 9). 618. К параболе р' = 2рх проведена касательная, 'Доказать, что вершина этой параболы лежит посредине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
619. Из точки А(5;9) проведены касательные к параболе уг = 5х. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания. 620, Из точки Р ( — 3; 12) проведены касательные к параболе у'= 10х. Вычислить расстояние д от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания. хг 621. Определить точки пересечения эллипса -гкл-+ у2 + 22, —— 1 и параболы ф = 24х. Х 622. Определить точки пересечения гиперболы —— 20 р1 — — = — 1 и параболы цг = Зх 5 623. Определить точки пересечения двух парабол: у = хг — 2х+ 1, х = уг — 6у+.
7. 624. Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается. 625. Из фокуса параболы уг=12х под острым углом я к оси Ох направлен луч света. Известно, что з 1Яс= 4.
Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. 626. Доказать, что две параболы, имеющие общую ось и общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются под прямым углом. 627. Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности, ь' 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы Полярное уравнение, общее по форме для аллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид р Р ~ — е ао' 2) 1 — созе 1) р= — е 2 3) р= 1 — — соз Е 2 5 3 — 4созе ' 4) р= 12 2 — соз8 ' 6) з-3 е' 633.
Установить, что уравнение р . 5 ,, е опре- 1Ц деляет эллипс, и найти его полуоси. 18 634. Установить, что уравнение р= 4 5„,8 определяет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси~ 91 где р, Š— полярные координаты произвольной точки линии, р — фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси), е — эксцентриситет (в случае параболы а = 1), Полярная сиСтема координат при этом выбрана так, что полк1с находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы. х' уз 628.
Дано уравнение эллипса — + †, = 1, Соста- 25 16 вить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси. совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится; 1) в левом фокусе эллипса; 2) в п~авом фокусе, 629. Дано уравнение гиперболы — — — = 1. Со.ф уф 16 9 ставить полярное уравнение ее правой ветви, считая, что направлейие полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в правом фокусе гиперболы; 2) в левом фокусе. х' уз 630.' Дано уравнение гиперболы — — — = 1.
Со- 25 144 ставить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе. 631. Дано уравнение параболы у'=бх, Составить ее полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы. 632. Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах: 635. Установить, что уравнение р = 5 о В опре- 21 деляет эллипс, и составить полярные уравнения его директрис.
636. Установить, что уравнение р = 3 5 6 опре- 16 3 — 5соз О деляет правую ветвь гиперболы, и составить полярные уравнения директрис и асимптот этой гиперболы. 637. На эллипсе р = найти точки, по- 12 3 — г'2 соз О лярный радиус которых равен 6. 638. На гиперболе р = 3 4 в найти точки, по- 15 3 — 4созО лярный радиус которых равен 3.
639. На параболе р= ~ найти точки: 1 — сов 9 1) с наименьшим полярным радиусом; 2) с полярным радиусом, равным параметру параболы, к' р 640. Дано уравнение эллипса —, + —, = 1. Состаа2 Ь2 вить его полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса. 641. Дано уравнение гиперболы †, — †, = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
