Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Установить, что каждое из следующих уравне- ний определяет гиперболу, н найти координаты ев центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимп- тот н уравнения директрис: 1) 16х~ — 9у2- 64х — 54у — 161 = О; 2) 9х2 — 16у'+ 90х + 32у — 367 = О; 3) 16х2 — 9у2 — 64х — 18у+ 199 = О. 542. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: 1) у= — 1+ — ~/х~ — 4х — 5; 2 2) 9=7 — — )/х' — 6х+ 13; з 2 3) х=9 — 2~~у~+4у+8,' 4) х=5 — — ~/у~+ 4у — 12. з 4 Изобразить эти линии на чертеже, 543. Составить уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фо- кусы суть Р~( — 10;2), Гэ(!6;2); 2) фокусы суть Е~ (3; 4), Рр( — 3; — 4) и расстояние между директрисами равно 3,6; 3) угол между асимптотами равен 90' и фокусы суть Р,(4; — 4), Р~( — 2;2).
544. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет в= —, фокус Р(5;0) и уравнение 5 4' соответствующей директрисы 5х — 16 = О. 545. Составить уравнение гиперболы, если известны ~з ее эксцентриситет з = —,, фокус Е(0; 13) и уравне- ние соответствующей директрисы 13у — 144 = О. 546. Точка А( — 3; — 5) лежит на гиперболе, фокус которой Е( — 2; — 3), а соответствующая директриса дана уравнением х+1 =О.
Составить уравнение этой гиперболы. 547. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = 1/5, фокус Р(2; — 3) и уравне- ние соответствующей директрисы Зх — у+3= О, 548. Точка М~ (1; — 2) лежит на гиперболе, фокус которой Е( — 2;2), а соответствующая директриса дана уравнением 2х — у — 1 = О. Составить уравнение чтой гиперболы. 549. Дано уравнение равносторонней гиперболы х' — у- '= а'.
Найти ее уравнение в новой системе, при- няв за оси координат ее асимптоты. 550. Установив, что каждое из следующих уравне- ний определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1) ху = 18; 2) 2ху — 9 = 0; 3) 2ху+25 = О. 8! 551. Найти точки пересечения прямой 2х — у— — 10 = 0 и гиперболы —" — — = 1. 'у~ 20 6 552. Найти точки пересечения прямой 4х — Зу — 16 = 0 и гиперболы —" — — ' = 1.
у 26 16 553. Найти точки пересечения прямой 2х — у -Я г х' у~ +1 = 0 и гиперболы — — — =1. 9 4 554. В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит впе ее: х2 уй 1с 12 3 1)х †у †, 2) х — 2у+ 1=0, 3) 7х — 5у=О, х2 у2 [ ° 16 9 х2 у2 — — — =1.
"26 16 555. Определить, при каких значениях п1 прямая г у= — х+ж 2 х2 уй 1) пересекает гиперболу 9 36 1; 2) касается ее; 3) проходит вне этой гиперболы. 556. Вывести условие, при котором прямая у = Йх+т х' у~ касается гиперболы — — — 1. а' 557. Составить уравнение касательной к гиперболе х2 у2 — — — 1 в ее точке М, (х,; у,). 558. Доказать, что касательные к гиперболе, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны. 559. Составить уравнения касательных к гиперболе х' у' — — — = 1, перпендикулярных к прямой 4х+ Зу— — 7= 0. 560.
Составить уравнения касательных к гиперболе 4 1, параллельных прямой 10х — Зу+9 = О, у~ х' у' 56!. Провести касательные к гиперболе — — — = 16 8 =- — 1 параллельно прямой 2х+4у — 5=0 и вычис-. лить расстояние Й между ними. 82 х' у' 562. На гиперболе — — — = 1 найти точку М1 24 18 У ближайшую к прямой Зх+ 2у+ 1 = О, и вычислить расстояние Н от точки М1 до этой прямой. 563. Составить уравнение касательных к гиперболе х' — у'= 16, проведенных из точки А( — 1;-7). 564. Из точки С(1„— 10) проведены касательные к гиперболе — — — = 1.
Составить уравнение хорды, у 8 32 соединяющей точки касания. 565. Из точки Р (1; — 5) проведены касательные «2 у2 к гиперболе — — — = 1. Вычислить расстояние д 3 5 от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания, 566. Гипербола проходит через точку А(у'6; 3) и касается прямой 9х + 2у — 15 = О. Составить уравне- ние этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с ос я ми ко о рдин ат. 567.
Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5х — 6у — 16 О, 13х — 10у — 48 = О, прн условии, что ее оси совпадают с осями ко- ординат. 568. Убедившись, что точки пересечения эллипса х' у' х- 'у' — + — = 1 и гиперболы — — — = 1 являются вер- 20 8 12 3 шинами прямоугольника, составить уравнения его сторон, «2 у2 569.
Даны гиперболы —,— — „, = 1 и какая-нибудь И ее касательная: Р— точка пересечения касательной с осью Ох, Я вЂ” проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что ОР ° ОЯ = а'. 570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной. 571. Доказать, что произведение расстояний от фох' у' кусов до любой касательной к гиперболе †, — ф = 1 а' есть величина постоянная, равная Ь'. 572.
Прямая 2х- у — 4 = 0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках Р~ ( — 3; О) и Рр(З;0), Составить уравнение этой гиперболы. 573. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото- рой расположены на оси абсцисс симметрично относи- тельно начала координат, если известны уравнение 83 касательной к гиперболе 15х + 16у — 36 = О и расстояние между ее вершинами 2а = 8. 574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами Е~М, РрМ и проходит внутри угла Р1МРр.
х2 уа 575. Из правого фокуса гиперболы — — — = 1 4 под углом а л < а < — л к оси Ох направлен луч 3 2" света. Известно, что !9 а = 2. Дойдя до гиперболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. 567. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577. Коэффициент равномерного сжатия плоскости 4 к оси Ох равен —. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола х' уа — — — =1 !6 У к а з а и и е. См. задачу 609. 578. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен —. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гппербола х' у' — — — =1 26 9 579. Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола х' — у' = 9 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плос- 2 6 кости к осям Ох и Оу соответственно равны — и —.
3 3 580. Определить коэффициент д равномерного сжах' тия плоскости к оси Ох, при котором гипербола —— а2 х2 у' — — = 1 преобразуется в гиперболу — — — = !. 36 26 !6 581. Определить коэффициент д равномерного сжах~ тия плоскости к оси Оу, при котором гипербола 4— а2 хз у' — = 1 преобразуется в гиперболу †, — — = 1. 9 !6 9 582. Определить коэффициенты д1 и дэ двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Ор, при которых гипербола —" — — =1 преобраауу 49 16 х' у' ется в гиперболу — — — — = 1. 25 64 5 20.
Парабола Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой г", расстояние от фокуса до директрисы — бук.
вой р. Число р называется параметром параболы. Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через Рис. 20. Рис. 19. фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис.
19). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением ут = 2рх. (1) Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение Р х 2' Фокальныи радиус произвольной точки М(х; у) параболы (т.
е. длина отрезка РМ) может быть вычислен по формуле г х+ —. Р 2' Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью пара. болы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной, При указанном выше выборе координатной системы ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит, в правой полуглоскости. Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс сов. мешена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но пара.
бола лежит в левой полуплоскости (рис. 20), то ее уравнение будет иметь вид у2 = 2р.~. (2) В случае, когда начало координат находится в вершине, а а осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение х' =2ру, (3) если она лежит в верхней полуплоскости (рис, 21), и хз — 2рд (4) — если в нижней полуплоскостн (рнс. 22), Рис, 2!. Рис. 22, Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравне ние (1), называется каноническим. 583.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
