Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Векторы а и Ь образуют угол |р= —. Зная> что ! а ! = 6, 1Ь ] = 5, вычислить ~ [аЬ] ). 840. Даньп ) а 1 = 10, ') Ь ] 2 и аЬ = 12. Вычислить ! [аЬ] !. 841. Даньп !а1=.3, )Ь] 26 и ][аЬ]1 72, Вычислить аЬ. 842. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны. Зная, что 1а]=3, ! Ь!=4, вычислить'. 1) ) [(а + Ь) (а — Ь)] 1; 2) ! [(За — Ь) (а — 2Ь)] ].
843. Векторы а и Ь образуют угол |р= — л. Зная, 2 что ~ а ~ =1> ~ Ь [=2, вычислить: 1) [аЬ]', 2) [(2а+ Ь)(а+2Ь)]', 3) [(а+ЗЬ)(3а — Ь)]'. 844. Какому условию должны удовлетворять векторы а, Ь, чтобы векторы а+ Ь и а — Ь были коллинеарны? 845. Доказать тождество [аЬ]'+ (аЬ)'=а'Ь'. 846. Доказать, что [аЬ]' » ~а'Ь', в каком случае здесь будет знак равенства? 847.
Даны произвольные векторы' р, а, т, и. Доказать, что векторы а=[ра], Ь=[да], с=[га] компланарны (т. е., будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости). 848. Векторы а, Ь и с удовлетворяют условию а+ Ь+ с =О. Доказать, что [аЬ] = [Ьс] = [са]. 849. Векторы а, Ь, с и д связаны соотношениями [аЬ] = [с4, [ас] =[Ь4. Доказать коллинеарность векторова — а| и Ь вЂ” с. 850. Даны векторы а =(3; -1; — 2) и Ь = [1; 2; — 1). Найти координаты векторных произведений: 1) [аЬ]; 2) [(2а+ Ь) Ь]; 3) [(2а — Ь)(2а+ ЬЯ. 5 д в.
Клетении 129 851. Даны точки А(2; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(3; 2; 1)* Найти координаты векторных произведений 1) 1АВВС11 2) ((ВС вЂ” 2СА) СВ]. 852, Сила ~ = (3; 2; — 4) приложена к точке А (2; — 1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат *). 853. Сила Р = (2; — 4; 5) приложена к точке Мв(4; — 2; 3).
Определить момент этой силы относительно точки А(3; 2; -1). 854. Сила 9 =(3; 4; — 2) приложена к точке С(2; — 1; -2), Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат. 855. Сила Р=(2;2;9) приложена к точке А(4; 2; — 3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; О). 856. Даны три силы М =(2; — 1; — 3), И =(3; 2; — 1) и Р=(-4; 1; 3), приложенные к точке С( — 1; 4; — 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки Л(2; 3; — 1).
857, Даны точки А (1; 2; О), В (3; 0; — 3) и С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС. 858. Даны вершины треугольника А(1; — 1; 2), В(б; — 6; 2) и С(1; 3; — 1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. 859. Вычислить синус угла, образованного векторами а= (2; — 2; Ц и Ь =(2; 3; 6). 860. Вектор х, перпендикулярный к векторам а = =(4; — 2; — 3) и Ь=(0; 1; 3), образует с осью Од тупой угол.
Зная, что ~ м ~ = 26„найти его координаты. 861. Вектор т, перпендикулярный к оси Ог и к вектору а=(8; — 15; 3), образует острый угол с осью Ох. Зная, что от~=51, найти его координаты. 862. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам а=(2; — 3; Ц и Ь=(1; — 2; 3) и удовлетворяет условию: х(1+ 2у — 7й) =10. *) Если вектор Г изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то вектор (аД представляет собой момент силы г относительно точки О.
863. Доказать тождество я+ т~+ п1) ~(з+ ~4+ пз) — ((А+ т1т, + п1п = (т,п, — т,п~)'+ ((,п1 — ], п,)'+ (1,т, — ],т,)' У к а з а н и е. Воспользоваться тождеством задачи 84б. 864. Даны векторы а=(2; — 3; Ц, Ь=( — 3; 1; 2) и с=(1; 2; 3). Вычислить 1[аЬ|с] и (а(ЬсЦ.
$33. Смешанное произведение трех векторов Тройкой векторов называются трн вектора, если указано, какой нз них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись Ь, Ь, с означает, что вектор а считается первым, Ь вЂ” вторым, с — третьим. Тройка некомпланарных векторов а, Ь, с называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы а, Ь, с расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой. Смешанным произведением трех векторов а, Ь, с называется число, равное векторному произведению [аЬ], умноженному скалярно на вектор с, т.
е. [аЬ] с, Имеет место тождество: [аЬ]с=а [Ьс], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [аЬ] с употребляется более простой символ: аЬс. Таким образом, аЬс = [аЬ] с, аЬс = а [Ьс], Смешанное произведение аЬс равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, взятому со знаком плюс, если тройка аЬс правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, Ь, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение аЬс равно нулю; иначе говоря, равенство аЬс= О есть необходимое и достаточное условие компланарпости векторов а, Ь, с. Если векторы а, Ь, с заданы своими координатами: а-(Х,; У,; гД, Ь=(Х,; Гз; гз), с=(Хз1 Уз; гд то смешанное произведение аЬс определяется формулой х,у,г, аЬс Хз Уз Хз Хз гз Хз Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой н тройка векторов з, 1, Ь).
5» 131 865. Определить, какой (правой или левой), если 1) а=А, Ь=~, с=у; 3) а=лЯ, Ь=Г, е=й; 5) а == 1 + 7', Ь = г — ~, 6) а=1+1, Ь 1 — у, является тройка а, Ь, е 2) а=1, Ь=Й, с=у; 4) а=1+~, Ь=~, с=А; с=~; с=-й. 866. Векторы а, Ь, с, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная„что ~а~=4, ! Ь!=2, ! с ! = 3, вычислить аЬе. 867. Вектор с перпендикулярен к векторам а и Ь, угол между а и Ь равен 30'.
Зная, что ! а!=6, 1Ь! =3, 1с 1=3, вычислить аЬе. 868. Доказать, что ) аЬс 1:=:~ а ! ~ Ь! ~ с ~; в каком случае здесь 'может иметь место знак равенствами 869. Доказать тождество (а+Ь)(Ь+с)(с+а) =2аЬс. 870. Доказать тождество аЬ (с + Ха+ рЬ) = аЬе, где Х и р — какие угодно числа. 871. Доказать, что векторы а, Ь, с, удовлетворяющие условию [аЬ) + (Ье1 + Яса) = О, компланарны. 872. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, Ь, с является зависимость аа+ рЬ+ ус=-О, где по крайней мере одно из чисел и, р, у не равно нулю. 873, Даны три вектора: а=(1; — 1; 3), Ь=( — 2; 2; Ц, с=(3„— 2; 5).
Вычислить аЬс. 874. Установить, компланарны ли векторы а, Ь, с, если: 1) а=(2; 3; — 1), Ь=(1; — 1; 3), с=(1; 9; — 11); 2) а=(31 — 2; Я), Ь=(2; 1; 2), е=(3; — 1; — 2); 3) а=(2'„— 1; 2), Ь=(1, "2; -3), с=(3; — 4; 7). 875. Доказать, что четыре точки А (1; 2; — 1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), П(2; 1; 3) лежат в одной плоскости. 876. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2; — 1; 1), В(5; 5; 4), С (3; 2; — 1) и Е)(4; 1; 3).
877. Даны вершины тетраэдра: А(2; 3; 1), Н(4; 1; — 2), С (6; 3; 7), 0 ( — 5; — 4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Х). 132 878. Объем тетраэдра о=5, три его вер(пйны находятся в точках А(2; 1; — 1), В(3; О; 1), С(2; — 1; 3). Найти координаты четвертой вершины ).'), если известно, что она лежит на оси Оу.
5 34. Двойное векторное произведение ИаЬ) с1 Ь (ас) — а (Ьс). Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем (декартову прямоугольную) систему координат, Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ол направим по вектору а, ось Оу поместим в плоскости векторов а и Ь (считая, что векторы а, Ь приведены к общему началу). В таком случае будем иметь: а=(ХП 01 0), Ь (Хз; Уз; О), с= (Хз; Кз1 Хз) Теперь находим: [аЬ) (О; 0; Х~Уз), [[аЬ) с) = (- ХЛУз> ХГзХз: О). С другой стороны, ас =Х,Х,; Ь (ас) ~ (ХуХзХз~ Х>узХзъ 0)э Ьс = Х,Хз+ УзКз, а(Ьс) = (Х~ХзХз+ Х,узуз', 0; 0).
Следовательно, Ь (ас) — а (Ьс) (- Х~узуз' Х~узХз' О). Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем: [[аЬ) с) Ь (ас) — а (Ьс), (2) что и требовалось, 879. Доказать тождество (а(ЬсЦ =Ь(ас) — с(аЬ). 880, Решить задачу 864, используя тождества, данные в начале этого параграфа, и тождество задачи 879. 881.
Даны вершины треугольника А (2; — 1; — 3), В (1; 2; — 4) и С (3; — 1; — 2). Вычислить координаты вектора й, коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины Л на противоположную сторону, при 133 Пусть вектор а умножается векторно иа вектор Ь, после чего полученный вектор [аЬ) умножается снова векторно на вектор с. В результате получается так называемое двойное векторное произведение ЦаЬ) с) (ясно, что ЦаЬ) с) — вектор). Умножая вектор а векторно иа [Ьс), получим двойное векторное произведение [а [Ьс)1.
Вообще говоря, ИаЬ1 с) чь [а [Ьс)1. Докажем, что имеет место тождество условии, что ве1Ггор а образует с осью Оу туйой угол й что его модуль равен 2]/Ъ4. 882. Считая, что каждый из векторов а, Ь, с отличен от нуля, установить, при каком их взаимном располо- жении справедливо равенство [а [ЬсЦ = ИаЬ] с], 883. Доказать тождества: 1) [а [ЬсЦ + [Ь [саЦ + [с [аЬЦ 0; 2) [аб] [сЯ (ас) (Ы) — (ад) (Ьс); 3) [аЬ] [с4 + [ас] [~КЬ] + [аЯ [Ьс] = 0; 4) [[а Ь] [скЩ = с (аЬЯ вЂ” д (аЬс); 5) [аЬ] [Ьс] [са] = (аЬс)', б) [а [а[а [аЬЦЦ=а'Ь при условии, что векторы а и Ь взаимно перпендикулярны; 7) [а [Ь [сИЦ] = [ас](ЬИ) — [аИ](бс); 8) [а [Ь [сНЦ] = (асН) Ь вЂ” (аЬ) [ссЦ; 9) [або [ас]' -— ( [аЬ] [ас] )' = а'(абс);.; 10) ИаЬ] [ЬсЦ [[Ьс] [саЦ [[са] [аЬЦ = (абс)4; 11) (аб)[сф+ (ас) [~КЬ]+ (а4[Ьс] =а(бсср); 12) ~аЬс)(аде)=( ). 884.
Три некомпланарных вектора а, Ь и с приве- дены к общему началу. Доказать, что плоскость, про- ходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору [аЬ]+ [Ьс]+ [са]. ГЛАВА 8 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ 5 35. Уравнение поверхности Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коорди- нат) называется такое уравнение с тремя переменными Р(х, у, г)= О, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на ней.
885. Даны точки М1 (2; — 3; 6), М2(0;7; 0), Ма(3;2; — 4), М4(2 1/2; 4; — 5), М,(1; — 4; -5), М,(2; 6; — ~5). Уста- новить, какие из них лежат на поверхности, определен- ной уравнением ха+ у'+ха=49, и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением? 886. На поверхности х'+у'+а~=9 найти точку, для которой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2; 2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4) ордината равна 2, апли- ката равна 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
