Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой а, его координаты — буквами 1, тл, лп а=(1; т; л). Если известна одна точка Мо(хм уо, яо) прямой и направляющий вектор а =(1; лт; и), то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида: х — ха у — уо 2 2е й~й ° В таком виде уравнения прямой называются каноническими. 1о4 Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки М~ («~1 у~, гл) и М, (хо, уо, го), имеют вид: х †~ у-у~ г — г~ (2) хо — «) Уо — Ул го гл Обозначим буквой 1 каждое из равных отнощений в канонических уравнениях (1); мы получим'. х — ха У вЂ” Уо г га аюй =ва =в~ 1 1, ил Отсюда х= хо+ 11, у=уа+уи1> го + и1 (3) Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Мо(хо', уа', га) в направлении вектора а = (1; т; и), В уравнениях (3) Е рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, х, у, г — как функции от 1; при изменении 1 величины х, у, г меняются так, что точка М (х', у; г) движется по данной прямой, Если параметр 1 рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М.
При 1 = 0 точка М совпадает с точкон Мо. Скорость о точки М постоянна и определяется формулой ~/"12+ пл2+ пл 1007. Составить канонические уравнения прямой. проходящей через точку М, (2; О; — 3) параллельно: 1) вектоРУ а=(2; — 3; 5); 2) пРЯмой " — У вЂ” г- 3) оси О«; 4) оси Оу; 5) оси Оя. 1008. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (1; — 2; 1), (3; 1; — 1); 2) (3; — 1; О), (1; О, — 3); 3) (О; — 2; 3), (3; — 2; 1); 4) (1; 2; — 4), ( — 1; 2; — 4).
1009. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М,(1; — 1; — 3) параллельно: 1) вектору а = (2; — 3; 4); 2) прямой — ", о 3) прямой х=31 — 1, 11= — 21+3, я=51+2. 1010. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) (3; — 1; 2), (2; 1; 1); 2) (1; 1; — 2), (3; — 1; О); 3) (О; О; 1), (О; 1, '— 2), 1011. Через точки М1( — 6; 6; — 5) и М~(12; — 6; 1) проведена прямая.
Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями. 15$ 1012. Даны вершины треугольника А (3; 6; -7), В( — 5; 2; 3) и С(4; — 7; — 2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С, 1013. Даны вершины треугольника А(3; — 1; — !), В(1; 2; — 7) и С(-5; 14; — 3).
Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине С. 1014. Даны вершины треугольника А(2; — 1; — 3), В (5; 2; -7) и С(-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А. 1015. Даны вершины треугольника А(1; — 2; — 4), В(З; 1; — 3) и С(5; 1; — 7). Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
1016. Дана прямая 2х — 5у+ я — 3=0ю х + 2у — г + 2 = О. Вычислить проекции на оси координат какого-нибудь ее направляющего вектора а. Найти общее выражение проекций на оси координат произвольного направляю- щего вектора этой прямой. 1017. Дана прямая 2х — у + Зг + 1 = О, Зх+у — г †2. Найти разложение по базису 1, у, й какого-нибудь ее направляющего вектора а. Выразить в общем виде раз- ложение по базису 1, /, й произвольного направляющего вектора этой прямой, 1018. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М, (2; 3; — 5) параллельно прямой Зх — у+ 2г — 7=0, х+ Зу — 2г+ 3=0. 1019. Составить канонические уравнения следующих прямых: !) х — 2у+ Зг — 4=0, 2) < 5х+ у+ г=О, Зх+2у — 5х — 4=0; !2х+ Зу — 2г+5=0; 3) ~ х — 2у+ Зг+ ! =О, ( 2х+ у — 4г — 8 =0.
1020. Составить параметрические уравнения следу!оших прямых: 1) ~ 2х+Зу — г — 4=0, 2) ~ х+2у — г — 6=0, '1 Зх — 5у+2г+ 1=0; 1 2х — у+г+ 1=0. 1021. Доказать параллельность прямых: х+у — г=О, 1) — — = — и 3 -2 ! ~ х — у — 5г — 8=0; 2) х=21+5, у= — 1+2, г=1 — 7 и х+Зу+ г+2=0, х — у — Зг — 2=0; 3) ~ х+ д — Зг+ 1 = О, ~ х+ 2у — 5г — 1 = О, 1 х — д+ г+ 3=0 < х-2х+Зг-9=0.
и 1022. Доказать перпендикулярность прямых: х д ! г < Зх+ д — 5г+ 1=0, — 2 3 ~ 2х+Зд — 8г+ 3=0; 2) х =2~+ 1, у =3~ — 2, г = — 61+ 1 2х+ у — 4г+ 2=0, и 4х — у — 5г+ 4=0; х+д — Зг — 1=0, 2х+ у+2г+5=0, 3) и 2х — у — 9г — 2 =0 2х — 2д — г+ 2=0. 1023. Найти острый угол между прямыми: х-3 у+2 г х+2 у — 3 г+5 1 — ! !2 ! ! 12 г- ~ ,/ 1024. Найти тупой угол между прямыми х=З~ — 2„ у=-О, г= — 1+3 и х=й — 1, ц=О, г=1 — 3.
1025. Определить косинус угла между прямыми: х — у — 4г — 5=0, ~ х — бу — 6г+2=0, 2х+ у — 2г — 4 =0; ! 2х+ 2у+ 9г — 1 = О. 1026. Доказать, что прямые, заданные параметрическими уравнениями х =21 — 3, у 31 — 2, г= — 41+6 и х = 1+ 5, у = — 41 — 1, г = 1 — 4, пересекаются. 157 1027. Даны прямые х+2 у г — 1 х — 3 у — 1 х-7, 2 — 3 4 * 1 4 2 тгри каком значении 1 они пересекаютсяг 1028. Доказать, что условие, при котором две прямые х — а~ у — Ь~ г — с, х — а~ у — Ь~ г — с~ и Ш~ В~ !р Иу П~ лежат в одной плоскости, может быть представлено в следующем виде: 6~ — Ь! с~ — с! а,— а! 1р =О. И! п2 1029.
Составить уравнения прямой, которая проходиг через точку М,( — 1; 2; — 3) перпендикулярно к вектору а=(6; — 2; — 3) и пересекает прямую х †! у+! х — 3 3 2 — 5 1030. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку М,( — 4; — 5; 3) и пересекает две прямые х+! у+3 г — 2 х — 2 у+! г — 1 3 2 — 1 ' 2 3 Э 1031. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями х=31 — 7, у= — 21+4, а=31+4 х=1+1, у=21 — 8, г= — 1 — 12. 1032. Даны уравнения движения точки М(х; у; г) х=3 — 41, у=5+ 31, г = — 2+ 121. Определить ее скорость о. 1033, Даны уравнения движения точки М(х; у; г) х=5 — 21, у= — 3+21, а=5 — 1, Определить расстояние 4 которое пройдет эта точка за промежуток времени от 1, =0 до 1,=7.
1034. Составить уравнения движения точки М(х; у; г), которая, имея начальное положение М,(З; -1; — 5), 153 5 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1 038. Доказать, что прямая х= 31 — 2, д= — 41'+ 1, г=4~ — 5 параллельна плоскости 4х — Зд — 6г — 5=0. 1039. Доказать, что прямая 5х — Зу+ 2г — 5=0, 2х — д — г †1 лежит в плоскости 4х — Зд+7г — 7=0.
1040. Найти точку пересечения прямой и плоскости: 1) — =— «-1 у+1 1 — 2 2) «+3 У вЂ” 2 з 3) «+2 у — 1 2х+ Зу+г — 1=0; х — 2у+ г — 15=0; «+1 2 е х + 2д — 2г + 6 = О. вижется прямолинейно и равномерно в направлении векгора з =( — 2', 6; 3) со скоростью о = 21. 1035. Составить уравнения движения точки М(х; у; г), которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла расстояние от точки М1 (-7; 12; 5) до точки М~ (9; -4; — 3) за промежуток времени от 11 — — 0 до 1~=4. 1036.
Точка М (х; у; г) движется прямолинейно и равномерно из начального положения Мо(20; -18; — 32) в направлении, противоположном вектору з=(3; — 4; -12); со скоростью о = 26. Составить уравнения движения точки М и определить точку, с которой она совпадает в момент времени 1=3. 1037. Точки М(х; у; г) и У(х; у; г) движутся прямо линейно и равномерно: первая из начального положения М ( — 5; 4; -5) со скоростью од — — 14 в направлении вектора з=(3; — 6; 2), вторая из начального положения Ю,( — 5; 16; — 6) со скоростью ор, — — 13 в направлении, противоположном вектору г = ( — 4; 12; — 3). Составить уравнения движения каждой из точек и, убедившись, что их траектории пересекаются, найти: 1) точку Р пересечения их траекторий; 2) время, затраченное на движение точки М от Модо Р; 3) время, затраченное на движение точки У от Мо до Р; 4) длины отрезков МоР и И,Р.
1041. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М,(2; — 4; -1) и середину отрезка прямой Зх+ 4у+ 5г — 26=0, Зм-Зу — Яа- 6=0~ заключенного между плоскоотями вм+ Зу — 4я'+ 11 = О, 5х+ Зу — 4г — 41 = О. 1042. Составить уравнения прямой, проходящей через точку Мо(2; — 3; — 5) перпендикулярно и йлоскости бх — Зу — 5г + 2 = О. 1043. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(1; — 1; — 1) перпендикулярно к прямой х+3 у — 1 х+2 2 1044. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М~(1; — 2; 1) перпендикулярно к прямой х — 2у+г — З=О, х+ у — г+2~0. 1045.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
