Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 31
Текст из файла (страница 31)
1168. Коэффициент равномерного сжатия простран- 3 ства к плоскости Оуг равен —. Составить уравнение по- 5" верхности, в которую при таком сжатии преобразуется сфера х2+ у'+ г2 25. 1169. Составить уравнение поверхности, в которую х' у' з' преобразуется эллипсоид — + — + — = 1 при трех по- 64 25 16 следовзтельных равномерных сжатиях пространства к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия 3 4 к плоскости Оху равен 4, к плоскости Охг равен— 3 и к плоскости Оуг равен —. 4 ° 1170.
Определить коэффициенты д, и д~ двух последовательных равномерных сжатий пространства к коор. динатным плоскостям Оху, Охг, которые преобразуют ХТ уТ сферу х'+ у'+ г' = 25 в 'эллипсоид — + —" + — = 1. 25 16 4 1171. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса †,, + †, = 1, х = О вокруг Д оси Оу. Р е ш е н не '). Пусть М (х; у; з) — произвольная точка пространства, С вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из точки М Рис.
53. на ось Оу (рнс, 53), Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу точка М может быть. переведена в плоскость Оуз; в,этом располонее на оаоа а нн е (( (Н; Т', Л>. Та« ак Са( С(( н СМ У а' .(- н', «) Задача 1171 решена здесь как типовая. 180 Сй1 = ~2~, то 12 ~ ° (~х~+ х2. Кроме того, очевидно, что К=у. (2) 'уочка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том н только в том случае, когда У лежит на данном эллипсе, т.е. г а у2 уг ко д — + — ыа 1 (й) принимая во внимание равенства (1) и (2), отсюда получаем уравнение для координат точки М: ф х' + х' + аз 1, $2 ст Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том итолько в том случае, когда точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения. Следовательно, уравнение (4) и есть искомое уравнение этой поверхности.
1172. Составить уравнение поверхности, образовану'" ной вращением эллипса †, + †„, = 1, г= О вокруг оси Ох. 1173. Составить уравнение поверхности, образован- «2 ~2 ной вращением гиперболы †, ††, 1, у = О вокруг оси Ог. 1174. Доказать, что трехосный эллипсоид, опредех2 У2 «1 ляемый уравнением —, + —, + —:„= 1, может быть по- «2 ~2 лучен в результате вращения эллипса — „, + —,.
=1,г=О вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Оху. 1175. Доказать, что однополостный гиперболоид, х' у' х' определяемый уравнением —, + —, — —,, =* 1, может быть получен в результате вращения гиперболы х' х' — — — 1, у О вокруг оси Ог и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Охг. 1176. Доказать, что двухполостный гиперболоид, Х' ф 2' определяемый уравнением —,+ —,— —,= — 1, может быть получен в результате вращения гиперболы 22 «2 —., — —,=1, у =О вокруг оси Ог и последующего с' а' равномерного сжатия пространства к плоскости Охг.
181 х — 3 у — 4 х+2 и 3 — 6 4 уг + — + — =1 36 9 х2 1)— 81 х' 2)— 3) х2 5 х2 4)— 9 х у х+2 и 4 — 3 4 9 4 х+1 у — 2 х+3 и 2 — 2 1 уг + — =г 3 х у — 2 х+1 3 3 — 2 2 1181. Доказать, что плоскость 2х — 12д — г+ 16 =0 пересекает гиперболический параболоид х2 — 4дг= 2з по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих. 1182. Доказать, что плоскость 4х — 5д — 10г — 20 = 0 хг уг гг пересекает однополостный гиперболоид — + — — — = 1 25 16 4 по прямолинейным образующим.
Составить уравнения этих прямолинейных образующих. 1183. Убедившись, что точка М(1; 3; — 1) лежит на гиперболическом параболоиде 4хг —,з' = д, составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих ч.рез М. 1184. Составить уравнения прямолинейных образуюуг г щих однополостного гиперболоида — + — — — = 1, 16 параллельных плоскости 6х+ 4д+ Зг — 17=0, 182 1177. Доказать, что эллиптический параболоид, опрех2 уг деляемый уравнением — + — = 2г, может быть полую чен в результате вращения параболы х2=2рз, д=0 вокруг оси Ог и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Охз.
1178. Составить уравнение поверхности, образованной движением параболы, при условии, что эта парабола все время остается в плоскости, перпендикулярной к оси Од, причем ось параболы не меняет своего направления, а вершина скользит подругой параболе, заданной уравнениями д'= — 27г, к =О. Подвижная парабола в одном из своих положений дана уравнениями хе = 2рг, д=О. 1179. Доказать, что уравнение а = хд определяет гиперболический параболоид.
1180. Найти точки пересечения поверхности и прямой 1185, Убедившись, что точка А(-2; О; 1) лежит на у иперболическом параболоиде — — — = г, определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А. 1186. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая дана уравнениями: 2) х'+ ~' у=Ь; 1187. Доказать, что уравнение я'=ху определяет конус с вершиной в начале координат.
1188. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого дана уравнениями к2 — 2г+ 1 = О, у — г+ 1 = О. 1189. Составить уравнение конуса с вершиной в точке (О; О; с), направляющая которого дана уравнениями — + — =1, я=О. а2 Ь2 1190. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке (3; -1; -2), а направляющая дана уравнениями х'+у~ — я2=1, х — у+в =О.
-1191. Ось Ог является осью круглого конуса с вершиной в начале координат, точка М,(3; -4; 7) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса. 1192, Ось Оу является осью круглого конуса с вершиной в начале координат; его образующие наклонены под углом в 60' к оси Оу. Составить уравнение этого конуса. хю 2 я+1 2+1 1193. Прямая — является осью круглого конуса, вершина которого лежит на плоскости Оуг, Составить уравнение этого конуса, зная, что точка М1 1; 1; — — ~ лежит на его поверхности.
5~ 1194. Составить уравнение круглого конуса, для ко» торого оси координат являются образующими. 183 1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке Я (5; О; 0), образующие которого касаются сферы х' + у' + я2 = 9. 1196. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, образующие которого касаются сферы (х -$2)2 + (у — 1)~ + (г — 3)2 = 9.
1197. Составить уравнение конуса с вершиной в точке Я(3; 0; — 1), образующие которого касаются хг и~ г2 эллипсоида — + — "+ — = 1. 2 3 1198. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору 1=(2; -3; 4), а направляющая дана уравнениями х'+у'=9, г=1. 1199. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями х' — у'=г, х+у+ я =О, а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей.
1200. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскости х+у — 2~ — 5=0, описан около сферы х'+ у'+ г'= 1. Составить уравнение этого цилиндра. 1201. Цилиндр, образующие которого параллельны прямой х =2~ — 3, у= — ~+7, г= — 2~+5, ойисан около сферы х'+ у~+ г' — 2х + 4у+ 2я — 3 = О. Составить уравнение этого цилиндра, 1202. Составить уравнение круглого цилиндра„проходящего через точку 5(2; — 1; 1), если его осью служит прямая х =31+1, у= — 2~ — 2, я=~+2. 1203. Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер; (х — 2)~+ (у — 1)~+я'=25, х'+ у'+ +а' = 25.
ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ф 1. Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел а„аз, Ьь Ь,: (1) Числа ап а2, Ьь Ьэ называются элементами определителя. Говорят, что элементы а~, Ьэ лежат на главной диагонали определителя, аь Ь~ — на побочйой, Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.
Например, ! -3 2 -3 ° 4 — (-1) ° 2 = -10. — ! 4 Рассмотрим систему двух уравнений а~х + Ь~у Ь~, а,х + Ь,у = Ь, ('3) с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты а~, Ьо аз, Ь, и свобод. ные члены Ь,, Ьз предположим данными.) Введем обозначения М „, Ь~ „(4) Определитель а, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель а» получается путем замены элементов первого столбца 185 Число а1Ь~ — а,Ь~ называется определителем второго порядка, соответствующим таблице (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
