Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1232. 1231. х д я х2 Р2 х2 „з з з 1233. Доказать справедливость равенств: = (з(п а — з!п Р) (з(п р — з!п у) (в!и у — з!и а); 2) мп (я — (3) мп,(~ — у) в(л (у — а1 сов' а соз' р сов' т 1234.. Решить уравнения: 2) 1235. Решить неравенства: 3 — 2 1 х 2) <1; -1 2 — 1 7 д, в, Клетеник 193 0 а Ь а 0 а Ь а О 1 з!и а з1п'а 1 з1п р з!п' р 1 з!п ~ з1п' у 1 1 1 1да Фд~ 1ду 1д2 а 1д'Д 1д' у 1 3 х 4 5-1 2 — 1 5 1230. О з!п а с!а а з!па 0 з(па с1ца з!па О а Ь с с а Ь Ь с а' 3 х — 4 2 — 1 3 х+10 1 1 2, х+2 — ! 1 ! — 2 )О. 5 — 3 х $5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными а, Ь| сз а, Ь, с, аз Ьз сз Ь, Ьз сз Ьз Ь2 с2 Ьз Ьз сз аз аз сз аз 62 сз аз Ьз сз > Лх= Лэ— а, Ь, аз Ь2 Лз аз Ьз "з Определитель Л, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1), называется определителем данной системы.
Полезно заметить, что определители Л„, Л„, Л, получаются из определителя Л при помощи замены соответственно его первого, второго н, наконец, третьего столбца — столбцом свободных членов данной системы. Если Л ~ О, то система (1) имеет единственное решение; оно определяется формулами х= —, у= —, г=— Л'Л'Л Предположим теперь, что определитель системы равен нулю; Л=О. Если в случае Л=О хотя бы один из определителей Л„, Л„, Л, отличен от нуля, то система (1) совсем не имеет решений.
В случае, когда Л=О и одновременно Л =О, Лу--О, Л,=О, система (1) также может совсем не иметь решенйй; но если система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя неиэвестнымн называется система вила. азх+ Ьзу+ с,г = О, азх+Ьу+сг=О, а,х+Ь,у+с,г=О, (2) т.
е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю. Очевидно, что такая система всегда имеет решение: х=О, у=О, г= О; оно называется нулевым, Если Л Ф О, то это решение является единственным. Если же Л=О, то однородная система (2) имеет бесконечно много ненулевых решений, Рассмотрим систему уравнений а,х+Ь,у+с,г=Ам а,х+ Ьзу+ сзг = аз, (г) азх+ Ьзу+ сзг = Й з с неизвестными х, у, г (коэффициенты а1, Ьт, ..., сз и свободные члены Ьз, Йз, Ьз предположнМ данными). Введем обозначения; В задачах 1236 †12 требуется установить, что системы уравнений имеют единственное решение, и найти его.
х + у — г = 36, х + г — у = 13, у + г — х = 7. 1236. 1237. х+2у+ г=-4, Зх — 5у+ Зг = 1, 2х+ 7у — г =8. 2х — 4у+ 9г = 28, 1239. 7х+ Зу — 6г = — 1, 7х + 9у — 9г = 5. х + у + г = 36, 1241. 2х — Зг = — !7, 6х — 5г = 7. 2х+ у= х+ Зг= 5у — г =- 1238. 5, 16, 10, 7х+ 2у+Зг 5х — Зу+2г 10х — 11у+5г х — у+г=а, х+у — г=Ь, у+г — х=с. =!5, =!5, = 36. 1240. 1243 х + у + г = а, х — у + г = Ь> х + у — г= с. 1242, 1244. Найти все решения системы х+2у — 4г = 1, 2х+ у — 5г= — 1, х — у — г= — 2. 1245.
Найти все решения системы 2х — у+ г= — 2, х+ 2у+ Зг = — 1, х — Зу — 2г =3. 1246. Найти все решения системы Зх — у+ 2г =5, 2х — у — г=2, 4х — 2у — 2г = -3 1247.определить, при каких значениях а н Ь система уравнений Зх — 2у+ г =Ь, 5х — 8у+9г=З, 2х + у + аг = -1 195 1) имеет единственное решение; 2) ие имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений. 1248. Доказать, что если система уравнений а,х+ Ь,у=с~, азх+ Ь,у = сз, азх+ Ьзд = сз совместна, то а, Ь! с1 а, Ьз сз аз Ьз сз 1249.
Найти все решения системы 2х+ д — ~=О, х+2у+ а=О, 2х — у+ Зг =О. 12%0. Найти все решения системы х — у — я=О, х+4у+2х=О, Зх + 7д + Зг = О. 1251. Определить, при каком значении а система однородных уравнений Зх — 2д+ х= О, ах — 14у+ 15н = О, х+ 2у — Зг=О имеет ненулевое решение. $ 6, Определители четвертого порядка Все свойства определителей, перечисленные в й 4, относятся к определителям любого порядка, В настояшем параграфе следует применить эти свойства для вычисления определителей четвертого порядка, В зад делители 1252, 1253. -3 0 2 2 1 3 — 1 5 2 -1 0 1 3 — 1 3 1 0 0 0 0 -1 0 3 5 1 0 2 — 1 2 3 6 1 2 — 1 3 0 -1 5 0 0 5 0 0 0 2 3 — 3 2 1 — 1 6 2 1 2 3 0 0 Ь с И Ь 0 д с сто ь асЬО а Ь с д а Ь с с д а Ь с д а 1254.
1255. 8 7 2 0 — 8 2 7 10 4 4 4 5 0 4 — 3 2 1256 1257. 1258. а Ь с Ь а д с.д а 1с Ь 0 -а а 0 Ь с е 1259. 1260. — Ь вЂ” с -е 1261. Доказать, что если система уравнений А1х+ В,у+ С,в+.О, =О, Азх+ Взд+ С,г+ О, = О, Азх+ Взд + Сзв + Рз = 0 А4х+ В~У+ С4в+ 04 0 совместна, то ачах 1252 — 1260 требуется вычислить опречетвертого порядка. =О. 19? А, В, С, О, Аз Вз Сз Оз Аз Вз Сз ~з А4 В4 С4 4 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ 1. С я.
рис. 54. 2. Указ ание. Уравнение ! х~ =2 эквивалентно двум уравнениям.' х= — 2 и х=2; соответственно имеем пе точки: ~1, ( — 2) и А~ (2) (рис. 55), Уравнение ~ х — 1 ! =3 экви- 1 Н С Е 0 Р Г Д Ю Рис. 54. взлеитпо двум уравнениям: х — 1= -3 и х — 1=3, откуда находим х -2 и х='4 и соответствующие им точки В~ и В, (рис, 55). В остальных случаях решения аналогичны. 3. Точки расположены: 1) справа от точки М1(2); 2) слева от точки М, (3); включая точку М2, 1 Ч 3) справа от точки Мз (12); 4) сле- Д, О Д, В, 131 ва от точки М4И, вкчючая 4 2 г точку М,! 5) справа от точки Рис.
55. /5'1 Мьр~) 6) внутри отрезка, огра. ничениого точками Мв (1) и Мз (3); ?) внутри отрезка„ограниченного точками М, ( — 2) и М2 (3), включая точки М, и М,; 8) внутри отрезка, ограниченного точками А (1) и В (2); 9) вне о1резка, ограниченного точками Р(-1) и Я (2); 10) вне отрезка, ограниченного точками Л(1) и В (2); !1) внутри отрезка, ограниченного точками Р(-1) н Я(2); 12) внутри отрезка, ограниченного 198 точками М(З) и У(5), включая точки М н Ю; !3) вне отрезка, ограниченного точками М (3) и М (5); !4) вне отрезка, ограниченного точками Р, (-4) и Яб (3); 15) внутри отрезка, ограничЕнного точками Р,(-4) и Я1(3), включая точки Р, и Я,, 4, 1) АВ=8, ! АВ1=8; 2) АВ=-3 !АВ!=3; 3) АВ=4, ~АВ!=4; 4)АВ=2, АВ~ 2; 5) АВ=-2,1АВ~=2; 6) АВ 2, )АВ~=2. 5. 1) -2; 2) 5; 3) 1; 4) -8; 5) -2 и 2; 6) — ! и 5; 7) -6 н 4; 8) -7 и -3, 6, !) Внутри отрезка, ограниченного точками А(-1) и В(1); 2) вне отрезка, ограниченного точками А(-2) и В(2); 3) внутри отрезка, ограниченного точками А ( — 2) и В (2), включая точки А и В; 4) вне отрезка, ограниченного точками А ( — 3) и В (3), включая точки А и В; 5) внутри отрезка, ограниченного точками А ( — 1) В (5); 6) внутри отрезка, ограниченного точками А (4) и В (6), включая точки А и В; 7) вне отрезка, ограниченного точками А( — !) н В (3), включаи точки А и В; 8) вне отРезка, огРаниченного точками А(2) и В(4), включая точки А и В; 9) внутри отрезка, ограниченного точками А( — 4) и В (2); 10) вне отрезка.
ограниченного точками А( — 3) и В(-!); !1) внутри отрезка, ограниченного точками А ( — 6) и В ( — 4), включая точки А н В; 12) вне отрезка, ограниченного точками А( — 3) и В(1), включая 5, ! !О точки А н В. 7. 1) 1; 2) — —; 3) 2; 4) —; 5) 3' ' 2' 3' АВ СВ 1, АС ВС ! 8, Х = — 3! ?~б= — = —.! ?бб= — = — 4; ?,б —— = = — —, ВС ' ВА 3' СВ ' СА 4' ВА 3, СА 4 х — х~ Х ?~б 9. ?.= — ', АС 4' АВ 3' хб — х «~+~~' 11 = х'+х' 12. 1) 4; 2) 2; 1 17 13 3) — 2; 4) — 2; 5) — 2' 13. 1) 3, 2) 4 ' 3) 3, 41 7; 5) 3; 6) О. 14. 1) М( — 11); 2) )у(!3), 15.
(5) и (12). 16. А(7) и У В(-41). 17. См. рис. 56. 18. А„(2; 0), В А Вх(3; О) Сх( — 5: О), ' Вх( — 3; 0), Ех( — 5' 0) 19 Ау(0; 2), В„(0; 1), В Са (О; — 2), 0я (О; 1), Ея (О, -2) 20. !) ' (2; -3); 2) ( — 3; -2); 3) (-1; 1); 4) (-3; 5); 5) (-4; -6); Е 0 6) (а -Ь). 21. 1) (1; 2); 2) (-3; — 1); 3) (2; — 2); 4) (2; 5); 5) (-3; -5); 6) ( — а; Ь). 22.
1) ( — 3; — 3); 2 ( — 2; 4); 3) (2; -1); 4) (-5; 3); С 5 (5; 4); 6) (-а; — Ь). 23. 1) (3;2); 2 (-2;5); 3) (4; -3). 24. 1)( — 5; — 3); 2 (-3; 4); 3) (2; -7). 26. 1) В первой и третьей, 2) во второй н четвертой; 3) в первой и третьей; 4) во второй и четвертой; 5) в первой, второй и четвертой; 6) во второй, третьей н четвертой; 7) в первой, третьей и четвертой; 8) в первой, второй н третьей. 26. См. рис. 57. 27. 3; — 4 2; 2 б 3' 3 э (1; -2), (5; 1). 28. 1, — 4 бб б 5; — 2 э 199 3 з > 4; — 6 з > (3; зт — 2). 29. С 3; — з и 0 5; — — л 30. 1; — —.
31.А 3; — —, В 2; — зз> С(1;0),0 5;— Е(3; 2 — гз), Р(2, зт — !). 32. М~ (3! О), Мз !; —, Мз 2; —— зс 1 (, 7 12 9 34. Н= ~р! + р~-2р!раисов(0з — О!). 35. 0=7. 36. 9 (17 — 4 г'3 ) кв. ед. 37. 2(13+6 г'2) кв. ед. 38.28У3 кв. ед. 1 39.8= — р~рз[з1п(8~ — 8,)1. 40. 5 кв. ед. 2 Л 41. 3(4 г'3 — 1) кв. ед. 42. М, (О; 6), М з (5' О), Мз ()~2; У 2 ), М> (5; -5 У 3) > М (-4; 4УЗ), М (6 УЗ; — 6). Р В 43 М> 5' — ) Мз(3'зт) Мз ~2' — ~> зг~ / зз'> М, 2; — — зз, Мз 2; — —. 44 1)З; Г 2) 3; 3)0; 4)5; 5)-5; 6)2. С 47. 1)' Х = 1, У = 3; 2) Х = — 4, У вЂ” 2; Рис 57. 3) Х=1, г = — 7; 4) Х=5, К 3.
48 (3' — !) 49. ( — 3; 2). 52 !) Х= — 6, К =6'г'3: 2) Х ° 3)'3, г' — 3; 3) Х У 2 ° У вЂ” )~2. 53. 1) 5; 2) !3; 3) 10, 54 1) 0=2, 0 2) д=6, 0= — — "; 3) И=4, О = — я:. 55. !) И ) 2, 0= — — и ,г — 3 5 ° ° 1 4 > 4 12 2) с1=5, О= агс10 — — зг; 3) з1= !3, 0 и — агс!д — „; 4) з1=) 234 > 0 = — агс1о 5. 56, !) 3; 2) — 3. 57. 1) ( — 9; 3); 2) ( — 9; — 7). 58. 1) ( — 15; — 12); 2) (1; — 12). 59. — 2. 60., 61, 4.
3 УЗ вЂ” 4 62. 1) — 5; 2) 5, 63. 1) 5; 2) 10; 3) 5; 4) г'5! 5) 2 г'2; 6) 13. 64 137 кв. ед. 65. 34 кв. ед. 66. 8 )~3 кв. ед. 67. 13,15. 68. 150 кв. ед. 69. 4)~2. 73 ~: МзМ~Мз — тУпой. 75. КВАС=45', .): АВС =45; ~ АСВ = 90'. 76. 60', У к а з а н и е. Вычислить длины сторон треугольника, а затем применить теорему косинусов. 77. М~ (6;0) и М, (-2;0). 78. М> (О; 28) и Мз(0; — 2). 79. Р, (1; 0) и Рз(6; О).
80. С, (2; 2), Р! —— 2, 'Сз(10;10), Яз= 10. 81. С1( — 3; — 5), Сз(5; — 5). 82. М,(3; 0). 83. В (О; 4) и Р(-1; -3). 84. Условию задачи удовлетворяют два квадрата, симметрично расположенных относительно стороны АВ. Вершины одного квадрата суть точки Сз (-5; 0),,0, ( — 2; — 4), вершины другого — Сз(3; 6), Юз(6; 2).
85. С (3; — 2), Р= !О. 86. (1! -2). 87. Я(4; 5). 88. Середины сторон АВ, ВС, АС соответственно суть (2; -4), (-1; 1), ( — 2; 2), 89. 1) М (1; 3); 2) М (4; — 3). 90. (1', — '3), (3; 1) и ( — 5; 7). 91. 0( — 3; 1). 92. (5; — 3), (1; — 5). 93. 0,(2; 1), 0з( — 2;9), 0з(6; — 3). Указание. Четвертая вершина параллелограмма может быть противоположной любой из дан- 200 ных. Таким образом, условию задачи удовлетворяют три параллело- /5 '> !4 грамма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
