Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Под ред. Н.В.Ефимова (13-е изд., 1980) (1095447), страница 24
Текст из файла (страница 24)
887. Установить, какие геометрические образы опре- деляются следующими уравнениями в декартовых прямо- угольных координатах пространства: 1) х=О; 2) у= 0; 3) г= 0; 4) х — 2=0; 5) у+2=0; 6) а+5=0; 7) ха+ух+а2=25; 8) (х — 2)2+ (у + 3)'+ (г — 5)'- = 49; 9) х'+2у'+ Зг'=0; 10) х'+ 2у'+ Зг'+5=0; 11) х-у=О; 12) х+г=О; 13) у — я=О; 14) ху=О; 15) ха=0; 16) ух=О; 17) хух=О; 18) х'-4х=О; 19) ху — у2 = 0; 20) уг + ва = О.
138 888. Даны две точки Р,(-с; О; 0) и Р,(с; О; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а > О, с > О; а) с. Р еше н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, х — ее координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у н з являются переменными величинами; их называют текущими координатами.
Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда МР, + МР, = 2а. Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим МР~ и МР, через текущие координаты точки М; МР~ = )~(х+ с)'+ у'+ зг, МРг — — 3~ (х — с)г + у'+ хг. Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдем уравнение 3~(х+ с)г+ у'+ хг + ~(х — с)г+ уг+ хг 2а (2) которое связывает текущие координаты х, у, з. Это и есть уравнение данной поверхности.
Действительно, для каждои точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждои точки, не лежащей иа поверхности, условие (!) не будет выполняться и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде Уединим в уравнении (2) первый радикат. возведем обе части этого равенства в квадрат н раскроем скобки мы получим: или а ) * (х — с)г+ у' + зг = а' — сх.
Снова, освобождаясь от радикала, найдем: а',хг — 2агсх + агсг + агуг + агав = а4 — 2агсх + сгхг, (а' — с') х'+ а'у'+ агхг = а' (а' — с'). или 136 х'+ 2сх + сг+ уг+ хг = 4а' — 4а 1~ (х — с)'+ у'+ хг + х' — 2сх + с' + у'+ хгг Так как а > с, то а' — с' ) 0; положительное чйело аз-сз обозначим через Ь'. Тогда уравнение (3) примет вид Ь'х'+ а2у'+ а'з' = аабз или рз зз — + + — =1 ° (4) Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения, Уравнение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсо ида.
889. Вывести уравнение сферы, центр которой находится в начале координат и радиус которой равен ю. 890. Вывести уравнение сферы, центр которой С(к; р; т) и радиус которой равен г. 891, Из точки Р(2; 6; — 5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Охг. Составить уравнение геометрического места их середин. 892. Из точки А (3; — 5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Оху. Составить уравнение геометрического места их середин, 893. Из точки С( — 3; — 5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Орг. Составить уравнение геометрического места их середин.
894. Вывести уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до точек Р, (2; 3; — 5) и Р, (2; — 7; — 5) есть величина постоянная, равная 13. 895. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух точек Р, ( — а; 0; 0) и Р, (а; О; 0) равна постоянной величине 4а'-'. 896. Вершины куба суть точки А( — а; — а; — а), В (а; — а; — а), С ( — а; а; — а) и 0 (а; а; а).
Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная 8а'. 897. Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек М, (1; 2; — 3) и М, (3; 2; 1). 898. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек Р,(0; 0; — 4) и Р,(0; О; 4) есть величина постоянная, равная 10. 899. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек Р,(О; — 5; 0) и Р,,(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6. )37 5 36. Уравнения линии.
Задача о пересечении трех поверхностей Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений Р (х, у, х) = О, Ф (х, у, х) в~: О ак пересечение двух поверхностей Р(х, у, а) = О и Ф(х, у, х) О. сди Р(х, у, х) О, Ф(х, у, х) =О, 'Р(х, у, а) =О суть уравнения трех поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно совместно решить систему: Р(х,у, х) О, Ф (х~ у~ х) Ов 'Р (х, у, х) = О. Каждое решение х, у, х этой системы представляет собой коор. динаты одной из точек пересечения данных поверхностей.
900. Даны точки М, (3; 4; -4), Мз( — 3; 2; 4), Мз( — 1' — 4; 4) и М4(2; 3; — 3). Определить, какие из них лежат на линии (х — 1)'+ у'+ г'= 36, у+г=О и какие не лежат на ней. 901. Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат: х +у~+г~ — 2г=О, 1) у=о; 2) (х — 3)2+ (у+ 1)з+ (г — 2)2=25, х+у=О; 3) (х — 1)з + (у + 2)з + (г + 2)з = 9, х — г=О. ( ха+ уз+ г2 =49, 902. На линии ~ '+ '+ '-4 -25=0 точку: 1) абсцисса которой равна 3; 2) ордината которой равна 2; 3) апликата которой равна 8. 138 903. Установить, какие линии определяются сле-.
дующими уравнениями: 5) 6) ~ 7) ~ < х+2=0, ( х — 5=0, ( д+2=0, д — 3=0; ~ г+2=0; ( г — 5=0; < х'+ дв+гв=9, ( хв+ д'+г'=49, 8) 9) ~ г=О; 1 д=О; х'+ д2+ г~ = 25, ( ха + д'+ гв = 20, 10) ' 11) 1 х=О; — 2=0. 904, Составить уравнения линии пересечения плоскости Охг и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3. 905. Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и радиус равен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Охг и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее. 906.
Составить уравнения линии пересечения плоскости Одг и сферы, центр которой находится в точке С(5; — 2; 1) и радиус равен 13. 907. Составить уравнения линии пересечения двух сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр в начале координат, другая имеет радиус, равный 5, и центр С(1; — 2; 2). 908. Найти точки пересечения трех поверхностей.' хв + д' + гв = 49, д — 3 = О, г + 6 = О.
909. Найти точки пересечения трех поверхностей: ха + д~ + гв = 9, хв + дв + (г — 2)в = 5, д — 2 = О. $37, Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей Уравнение с двумя переменными вида Р(х, у) =О в пространственной системе координат определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ог.
На плоскости в системе координат с осями Ох и Оу уравнение Р (х, у) = О ж о пределяет линию, именно, направляющую линию рассматривае мого цилиндра. Но эта же линия в пространственной системе коор. динат должна быть задана двумя уравнениямщ Р(«, у) О, я. О. Аналогичной уравнение Р («, «) = О (в пространстве) определяет цилиндрическую поверкяость с образующими, параллельными оси Оу; уравнение Р (у, «) О определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси О«.
919. Установить, какие геометрические образы опре- деляются в пространственной системе координат сле- дующими уравнениями: 1) ха+ хй 25; 2) — + — =1; 3) — — — =1; уй «й «й уй 25 !6 4) х' =6г; 5) хй — ху=0; 6) ха — ге=0; 7) У'+ я'=0; 8) х'+4у'+4=0; 9) х'+а'=2г; 10) уй+ге = — г, 911. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность х'+ (у+ 2)й+ (г — 1)й = 25, х'+ у'+ а' 16 на плоскость: 1) Оху; 2) Охи; 3) Оуг.
912. Найти уравнение проекции окружности (х+ 1)'+ (у+ 2)й+ (г — 2)й =36, ха+ (и+ 2)й+ (г — 1)'=25 на плоскости 1) Оху; 2) Охг; 3) Оуг. ГЛАВА 9 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данну1о точку н нме1ощей данный нормальный вектор В декартовыя координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой Степени определяет плоскость. Всякий (не равный нучю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.
Уравнение А(х — хо)+ В(у — уа)+О(» — »о) =О (1) определяет плоскость, проходящую через точку Мо (хо', Уо1»о) и имеющую нормальный вектор п (А; В; С). Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число — Ахо— Вуо — С»о буквой З, представим его в виде: Ах + Ву + С» + 0 = О. Это уравнение называется общим уравнением плоскости. 913. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М,(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор п=(1; — 2; 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
