Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Может оказаться, что предел отношения пронзаодных не сушестаует, и то время кяк предел отношения функ цнй сушестаует. Рассмотрим, нзпрнмер, функции ((х) = х' яп —, н р(х) = х, Их отношенне а точке х = О нмеет г . предел ((х), х' Б!и - 1 1пп — =!Пп — ж = йш х яп — = О. «ааг(х) «а х «е х Втожеаремяотношеннепронзяодных 'т ! = 2хил - -соз- аточкех = О предела ненмеет. Тпкнм Рыл е»!«)» ° образом, нз сушестаоаання!!ш -(Уб не следует сушестаоаання йп «Ф.
,-о »1*» Заме'еше 3. Прн вычислении Ьш 4») ннотла прнходнтся применять правило Лопнталя последоаа- «С»г«г тельно несколько ряз. Тнс, если условиям теоремы Лопнталя улозлетаоряют не только функции Пх) н р(х), но н нх пронзаолные ('(х) н р'(х), то для вычисления йп (»)тб опять мшкно поспользоппться Я правилам Лопнтяля н т.д. Пр р. х-япх (х-япх)' 1 — созх, япх 1 !1ш =!1пг = 1пп = йш — = — ° м »а х) *о (х!)' -о Зх' *а бх б' Теорема 6 (второе правило Лопнтэлп), Пусть функции ((х) и (р(х) имеют производные ( г(х) и гр'(х) в некоторой окрестности (и — б, а + б) точки о, кроме, быть может, самой точки о, причем гр(х) и»р'(х) не равны нулю в указанной окрестности Если !нп у(х) = со и !!лт гр(х) = со » а » а и при х - о отношение Я имеет конечный или бесконечный предел, то существует и предел !пп тт(,), причем !'(М «-О У(х) .
У'(х) !Ип — = !нп —, * а (гг(х) * а рг(х) Злесь также можно рассматривать пределы лри х - о — О или х о+ О (см. замечание !), Пример. 1пяпах . Оп«глох) — „и О !со«Ох Б»пбх ! 1пп — = 1пп,, = Пш Т»«««; = — Вш ~ —. — (! =1 (а>О,Ь)О). М *-с о1пзгпЬх * а«о Опт)пбх)' »-с«с Б" Ь«а»с~сотах Б!пах( «!«Б« ПравилаЛолиталямогутбытьислользованылривычисленииследуюцгихпределов: 1. !нп '(((х) (о(х) ~, когда Вю ((х) = О, !пл (р(х) = оо, м В этом случае достаточно записать выражение У(х)(р(х) в виде ,((х)(о(х) = или ((х)уг(х) = ((х) гр(х) ! (»р(х) 1/У(х) и применить к правой части правило Лонитвля.
> гтг Глава Х. ДнФФеренцналмгме теорема о ораянем. Формула Тейлора Пример. 1 1пх Ипт (х !па) = Игп —, = Ипт -~; — =О, ь »-а 0 * а»а ' *-ыа » Ф» 2 11и1 [,т (х) — Ит(х)1, когда 1! ит У(х) = оо и 1нп Тт(х) = со. Ч В ЭТОМ СЛуЧаЕ ВЫражЕНПЕ Г'(Х) — гр(Х) НадО ОлятЬ ПредетаантЬ В ВИДЕ ЧаетНОГО у(х) — от(х) = — , 7(»! й(») '%7 ' й(»Т и затем воспользоваться правилом Лопиталя. ь Пример. 1 ) х1пх-хе! 1пх — 1 !пп ( — — — 1 =!пп = Игп , = 1!пг -~! —; = -.
ь 1пх1 * ' (х О!пх * '!ох+1-- * ! -+ )т и а Э. Вт [г (х)), /(х) > О, котла имеем один из трех случаев: а а а) !нп У(х) = О, !Ип гр(х) = О (Оо); б) !1и! У(х) = 1, !ни тг(х) = со(1 ); в) Иш у(х) = +ос, 1нп рг(х) = О (соо), а Положим у= [у( )1 1! !ну = !о(х) !п г(х). логарифмируя, получим Вычислим !оп у = е, а а !!т[у(х)) =е .~ т.е. Пример. Найти Игп х*. о»о а попалим р = х*: тогда 1п р = х1п х.
Отоода ! Игп -Е„-=С, »Ф 1л х Ипт 1пр= !Лп *-оы *-о»о » таа что Глп у=а =!. ь О о»о 1нп! и у =! (гл [р(х) 1и /(х)1, Нетрулноэаметнть, чтодляэтогов каждом изуказанныхтрех случаев а),б), в) придется вычислять предел такого вида, который рассмотрен в случае 1. Пусть мы нашли, что!!и! 1и у = А. Тогла $3. формула Тейлора 373 Тогда /(х) / (х) Игп — = 11пт —, Уо(Х) - и Ут'(Х) Чтобы убедиться в справедливости теоремы б, достаточно преобразовать пере менную х по формуле * = -,' и воспользоваться результатами теорем 4 и 5.
Пример. ,2 йщ — = пщ »- хе»»»хо* п-кратным применением правила лопиталя вычисляется Ящ — = 1нп »»хе* * «О* так что функция е* при э ч.оо растет быстрое любой 2 вп *-+х к» цмдел п1 11тп — = б, »»хе* степени к. ч»2»»2 Следующий пример покаэыеаот, что правило Лолиталя котя и применимо к аычислонию Птп но фактически бессильно. В самом дело. применяя это лраеило, будем иметь ч»Т ч эт ~»»»т э, 1, ч»1+ ау Ягп — = вщ ч» = Пт =- ~: = Птп — о — = Пщ — и т.д. »»х к»»х 1»»х 21ьа»»»х».
х ч» ы* Злементарнытм приемами этот предел вычис»матея» беэ труда: 1ип * = Вщ 2)-7+1=1. ° .,х х -*--»,'а 93. формула Тейлора Эта формула является одной из основных формул математического анализа и имеет многочисленные приложения. 1. Начнем с того, что выведем формулу Тейлора лля многочлена степени и. Рассмотрим многочлен и-ой степени Р(х) = Ьо+ Ь,х+ Ьтх +... + Ьнх", Ьн»л сопз1 ~ О.
(1) Каково бы ни было число а, многочлен (1) можно представить в виде суммы степеней разности х — а„взятых с некоторыми коэффициентами. Действительно, положим х = а+1. 10 Зпк. 750 Теорема 6. Пусть 1) функции /(х) и ут(х) определены для всех х, достаточно бсиыиих по абсолютной величине; 2) !1пт /(х) = 11пт Х(х) = О или йтп /(х) = оо и 1пп 1о(х) = со; я 0» »»О » ао » о» 3) существуют производные /'(х) и»р'(х) ~ О для всех х, достаточно больших по абсолютной величине, 4) существует (конечный или бесконечный) предел отношения /'(х) — п»уи х -» со.
Ут»(х) гяааа Х. Дифбаренцнальиме теоремы о среднем. формула тейлора 274 Тогда Р(х) = Р(а + 1) = Ьо+ Ь,(а+1) +... + Ь„(а+1)ч. Раскрывая в правой части скобки и сгруппировав подобные члены, получим Р(а + 1) = Ао + А11+ Аг( + АЗ( + ° ° + А»1", или, выразив обратно( через х, Р(х) = Ао + А~(х — а) + Аг(х — а) + Ар(х — а) +... + А„(х — а)", (2) где Ао, А и, А„— некоторые постоянные. Взяв многочлен Р(х) в форме (2) н продифференцировав его п раз по х, найдем Р'(х) = А1+ 2Аг(х — а) + ЗАЗ(х — а) +...
+ А„(х — а)" ' Р (х) = 2 ° 1А2+ Э 2АЗ(х — а)+... +п(п — 1)А„(х — а)" Р"(х) =п(п — 1) . 2 1А» Полагая в равенствах (2) и (3) х = а, получим Р~"~(а) = п(А» Р(а) = Ао, Р'(а) = 1.Ап Рн(а) = 2!Аг, Откуда Р( )(а) А» = —. в) Р'(а) Р" (а) Ао=Р(а), Ат=, Аг= Следовательно, равенство (2) может быть записано в виде (4) Это и есть фтрмула Тейлора по степеням х — а для многочлена Р(х) степени п. Отсюда в частном случае прн а = 0 получим О)ормулу Маклорена (5) пример. многочлен Р(х) = хт — зх+ 2 разложит» а) по степеням х; б) постеле»ям х-!. м а) Имеем — Зх+ 2 2 2х — 3 Р(х) = Р (х) = )и (х) = Р(о)= г, Р'(о) = -3, Р»(0) = 2.
По формуле (б) 2 2 — х = 2 — Зх+х, г. 3 Р(х) = 2 — — х+ н т.е. получаем исходный многочлен. б) Имеем х — За+2 2 2х-3 Р(х) = Рт(х) = Р (х)= Р()) = о, Р'(~) = — П Р" (3) = 2. 276 $3. Формула Тейлора По формуле (4) Р(х) = с — 1(х — 1) + — (х — Ц = -(х — !) + (х — В . м 2 г г 2! Заметим, что по формуле (4) мы можем вычислить значения многочлена Р(х) влюбойточке х, если известны значения многочлена и всех его производныкв одной какой-нибудь точке а. 2.
Пусть теперь в окрестности точки х = а задана функция У(х), не являющаяся многочленом степени и — 1, но имеющая в атой окрестности производные до и-го порядка включительно. Вычислим величины 7(а), 7 (а),..., Г(" ')(а) и построим функцию (6) Очевидно, (;)„~(х) есть м ногочлен степени и — 1. Он называется миогочлеиом Тейлора по степеням х — а для функции 7(х). Если бы исходная функция 7(х) сама бы была многочленом степени и — 1, то выполнялось бы тожлество Дх):— О„1(х) для всех значений х из рассматриваемой окрестности.
В данном случае зтотождество не имеет места, поскольку мы предположили, что /(х) не есть многочлен степени и — 1. Положим (7) где („)„1(х) есть многочлен тейлора степени и — 1 для функции 2(х) по степеням х — а. Равенство (7) называется формулой Тешюра для функции 7(х) в окрестности точки х = а, а В„(х) называется ослгалгочиым членом рассматриваемой формулы Тейлора. Для остаточного члена В„можно дать выражение через и-ю производную от 7 (х). Займемсяэтим. Пусть функция 2(х), не являющаяся многочленом степени и — 1, на отрезке [а, Ь[ имеет непрерывные производные до (и — 1)-го порядка включительно, а в интервале (а, Ь) существует и производная и-го порядка.
Запишем формально равенство г (6) = 7(а) + — (Ь вЂ” а) + — (Ь вЂ” а) + ... + (6 — а)" + В„, (3) 7 (а) /"(а) г /(" ')(а) 1! 2! ' ' (и — 1)! Будем искать В„в виде В„= М(6 — а)", (9) гдевеличинаМподлежитопределению. Сэтойцельювведемвспомогательнуюфункцию р(х), определив ее на отрезке [а, Ь[ равенством )г(х) = 2 (6) — [У(х) + — (6- х) + (Ь вЂ” х) 4.... ЧУ (х) У (х) 2 1! 2! 1О у(п-3)( ( ) + (6 — х)" + М(Ь вЂ” х)"].
(и — 1)1 Эта функция получается, если из 7(6) вычесть правую часть (8), в которой точка а заменена на х. Функция х(х) на отрезке [а, Ь) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. дей- ствительно, Глана Х. ДнФФереннналонме таореаы о орванам Формула теллера 1) функция уо(х) непрерывна на отрезке [а, Ь), потому что на этом отрезке непрерывна исходная функция /(х) вместе со своими производными до (и — 1)-го порядка включительно; 2) функция оо(х) имеет на интервале (а, Ь) производную,потому что на нем имеет производную и-го порядка исходная функция /(х); 3) функция 1о(х) на концах отрезка (а, Ь] имеет равные значения: 1о(а) = О, что следует из равенства (8), и х(Ь) = О, что видно из формулы (10). Поэтому, согласно теореме Рояля, существует такая точка С б (а, Ь), что 1о'(9 = О.
Найдем производную х'(х): /~(х) / (х) /н(х) /1н "(х) Ю (х) = [/ (х) — — + — (Ь-х) — 2 (Ь вЂ” х)+ ... + (Ь вЂ” х)" 1! 2! (и — 2)1 — (и — 1) (Ь вЂ” х)"- + (Ь вЂ” х)"- — Мп(Ь вЂ” х)"- ], /1" '1(х) „, /1"1(х) н-П (и — 1)! (и — 1)! т.е ф (х) = — (Ь вЂ” х)" + Ми(Ь вЂ”,т)" /1"1(*) и — ! (и — 1)1 поскольку все члены сокращаются, кроме последних двух. Таким образом, ~р'(~) = -(Ь вЂ” С)" ~ — Мп = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
