Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 44
Текст из файла (страница 44)
сух — к.'ух Переходя в этих неравенствах к пределу при Ьх — О, получим два неравенства /'(О<О и /(с) >О, которые должны быть верны одновременно. Следовательно, /'(С) = О, т. е. теорема верна и лля этого случая, ь Теореме Ролля можно дать следующее геометрическое истолкование. Пусть имеем кривую АВ, заданную уравнением )) = /(х), где функция /(х) на отрезке (а, Ь) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролла. Это означает, что 1) кривая АВ непрерывна на (а, 6); 2) в любой точке кривой, находяшейся междуточками А(а, /(а)) и В(Ь, /(6)), можно провести касательную к этой кривой; 3) концы дуги АВ кривой находятся на одном уровне по отношению к оси Ох (рис.
2). Утверждение теоремы Ролля состоит в том, что на дуге ° АВ кривой, обладающей указанными свойствами, найдется по крайней мере одна точка С(С, /(С)), в которой касательная к данной кривой параллельна оси Ох (или хорде АВ). Условия теоремы Ролла являются сушественными и при их нарушении утверждение теоремы может оказаться несправедливым. пример. Так, например, для функции /(х) = (х), -1 < х < 1, (рис.
31 выполнены всв условия теоремы Ролла, кроме существования производной /(х) в интервале (-1,1). Нв сущвствувт /'(х) в одной только то же х = О, и утверждение теореьщ Ролла к данной функции уже непримениью, так как я интервале (-1, !) нет такой точки, где производная /'(х) равна нулю: /'(х) = - 1, если -1 < х < О, /'(х) = 1, если 0 < х < 1, а при х =0 производная /'(х) не существует. и Рис.
3 Пример. Ещв пример. Функция /(х) = з — [х) (рис. 4) нв отрезке (О, 1) удовлатворяет всем условиям теоремы Ролля за исключением непрерывности: она имеет разрыв при х = 1, а производная /'(х) = 1 всюду в интервале (О,О. м Задача 1. Лана функция /(х) = 1 + хм(1 — х)", гдв ги, и — целые положительные числа, Нв вычисляя производной, показать, что уравнение /'(х) = 0 имеет по крайней марв один корень в интервале (0,1). Задача 2. Показать, что уравнение хт е Зх — б = 0 иыеет то~ъко один дей- ствительный корее Рис. 4 21. теоремы о среднем енеченнн 267 теорема 2 (Лагранж) о конечных приращениях.
Если функчил 1(х) 1) непрерывна но отрезке [а, Ь[; 2) имеет ораизводную 1'(х) но интервале (а, Ь), то в интервале (а, Ь) существует по крайней мере одна точка С токой что справедливо формула 1(ь) — 1(а) Ь вЂ” а т Введем вспомогательную функцию Р(х), опрелелив ее на отрезке [а, Ь) равенством Р(х) = 1(х) — 1(а)— 1(Ь) — 1(а) (х — а). (1) Ь вЂ” а Эта функция на отрезке [а, Ь) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролла. Действительно, она непрерывна на [а, Ь), поскольку на [а, Ь) непрерывно каждое слагаемое в правой части (1). На интервале (а, Ь) функция Р(х) имеет производную, так как каждое слагаемое в выражении Р(х) имеет производную на этом интервале.
Наконец, непосредственной проверкой убеждаемся в том, что Р(а) = Р(Ь) = О, т. е. Р(х) принимает равные значения на концах отрезка [а, Ь) . В силу теоремы Ролля, сушествует хотя б ы одна точка с к (а, Ь), в которой Р'(х) равна нулю, Р'(с) = О. Но ,(( ) .,( ) 1() — 1( ) Ь вЂ” а так что в точке с имеем 1(ь) — 1(а) Ь вЂ” а откуда 1(') — 1(') ~, („ь).
м Ь вЂ” а Рнс. 5 Теорема Ролла является частным случаем теоремы Лагранжа, когда 1(а) = 1(Ь). Обрашаясь к геометрическому истолкованию теоремы Лагранжа, заметим, что отношение Д-):-~('2 есть угловой коэффициент хорды АВ, а 1'(с) есть угловой коэффициент касательной к кривой р = 1(х) в точке сабсциссой х = с (рис.5).
Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа сводится к следуюшему: на дуге - АВ непрерывной кривой, к которой можно провести касательную в любой точке, лежашей на кривой между точками А и В, всегда найдется по крайней мере одна точка С[с, 1(с)), в которой касательная параллельна хорде АВ. доказанная формула ٠— ' = 1'(с), или (2) носит название формулы зогронжо или формулы конечных орирощений. Она, очевидно, сохраняетсилудля случая а ) Ь.
Глав Х. Диффараманалыыа теоремы о сродном. Формула Таалора Число 4 (вообше говоря, неизвестное, промежуточное по отношению к числам а и Ь) иногда удобно бывает представить в виде е = а+В (ь — а), где  — некоторое действительное число, удовлетворяющее условию О < В < 1. Тогда формула Лагранжа (2) примет вид (3) З(Ь) — 1(а) = З'(а+В(Ь вЂ” а))(Ь вЂ” а), О < В < 1, Взяв вместо а и Ь соответственно х и х + гхх, формулу Лагранжа запишем таю ЬУ(х) = Г(х+ Лх) - Г(х) = Г'(х+Вй,х)ах, О < В < 1, (4) Это равенство дает точное выражение для прирашения функнии у(х) при любом ко- нечном прирашении гхх аргумента, в противоположность приближенному равенству гз у (х) = у'(х) гхх, относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при (зх — О.
Отсюда и название формулы (4) — формула конечных прирашени й. Отметим, что в (4) число В, вообше говоря, неизвестно. Пример. Используя теорему Лагранжа, доказать спрааадлиаость нарааонстаа 1агста хг - агаах г( < 1 ° т - х!) ухп хг, ю Рассыотрим функции з (х) = агав х. Зта функция удоалотаоряот асам услоаиям тасрамы лагранжа на любом отрозка [а,з). Поэтому для любык х, и х! 1(хг) — У(хд = У (4)(хт — х!), или ! агюст — атеях! = — (хт — хг), 1+(т гда точка С находится между точками хг и хт. Отсюда ! ! агсшхт -агстахй = — у(хт — х!1 !+( и )агсгах! — ассах>1 < )хт — х>), поскольку — т < 1 уе. Р ! Задача.
Показать, пользуясь теоремой Лагранжа, что — <гор+к)<х, х>0. г+х Теорема 3 (Кошм). Если функции У(х) и (с(х) 1) непрерывны на отрезке (а, Ь); 2) имеют производные у'(х) и р'(х) хотя бы на интервале (в, Ь); 3) производная уг'(х) ~ О на интервале (а, Ь), то в интервале (в, Ь) сугцеетвует по крайней мере одна точка С такая, что У(Ь) — У(о) У'(О с ут(Ь) — (о(а) ут'(О Формула (1) называется формулой Кгшги.
269 9 2. Раскрытие наопределеемстей (правило Лсш»тала) ~ Из условия теоремы следует, что разность уэ(Ь) — ут(а) не может равняться нулю. Лействительно, если бы уг(Ь) — уг(а) = О, то функция (о(х) удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и в таком случае уг'(х) была бы равна нулю по крайней мере в одной точке с интервала (а, Ь), что противоречит условию 3) теоремы Коши. Таким образом, равенство (1) имеет смысл.
Покажем, что оно верно при некотором значении с из интервала (а, Ь). Рассмотрим вспомогательную функцию Р(х) = у(х) — у(а)— у(Ь) — у(а) уг(Ь) — ут(а) ( р(х) — уг(а)). (2) Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле: 1) Е(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], т.к. непрерывны на [а, Ь] функции г(х) и уг(х); 2) функция Р(х) имеет производную лч«(х) всюду в интервале (а, Ь), поскольку каждое слагаемое в правой части (2) имеет производную на этом интервале; 3) Е(а) = Г(Ь) = О, вчемубеждаемсянепосредственной проверкой.
Применяя теорему Ролля, делаем вывод о сушествовании между а и Ь такой точки (, что Р'(Ь) = О. В силу (2) Ь'(х) = у (х)— у(Ь) — у(а) уг (х), р(Ь) — уг(а) так что У(Ь) — ~(а) ,г (О уг (с) О Леля все части последнего равенства на р'(с) ~ О, получаем требуемое равенство ~'(~) г(Ь) — у(а) у~'(~) (о(Ь) — у(а) ТеоремаЛагранжа является частным случаем теоремы Коши; достаточно в теореме Коши взятыр(х) Рд х. задала. можно ли получить формулу коши, приманив х раэиостям г'(ь) — г(в) и Р(ь) — Р(в) теорему Лагранжат Замечание, В теоремах Роллк, Лагранжа н Коши речь идет о сушсствов анин некоторой «срслнсй точки» С Е (а,Ь),длякоторойвыповнястсатоилииносравснство.
Поэтомувсаэтагруппатсорсмобъсдиняатся назввнисм теоремы о среднем диффсрснниального исчислсник 52. Раскрытие неопределенностей (правило Попиталя) Пусть функции у(х) и уг(х) определены в некоторой окрестности точки х = а и пусть Да) и ут(а) = О. Тогла отношение ~Я теряет смысл при х = а. Однако предел этого отношения в точке х = а может сушествовать. Задача отыскания предела 1!гп кц( л ерсг в этом случае называется раскрытием неопределенности вида л. Раскрыть неопределенность вида 'о значит найти предел!нп Я при условии, что в е реп Вт у(х) = со и !1гп уг(х) = оо. Главе Х. АиФФеренциалыее хеерыаи е среднем, Фериткетеаларе Теорема 4 (правила Лопиталя].
Пусть функции у(х) и у(х) имеют производные у '(х) и (о'(х) в некоторой окрестности (а — б, а + б) точки а, кроме, быть моисею, самой точки а, причем (о(х) и (о'(х) неравны нулю в указанной окрестности. Если )ап з(х) = О, 1яп (о(х) = О х а х-а и отношение Я~~ при х - а имеет конечный или бесконечный предел, то существует в (х) и предел 1нп —, У(х) х-а ф(х)' причем У(х) . У'(х) 1цп — = Ига —, х а (О(Х) х а ф'(Х) м В теореме ничего не сказано о значениях у(х) и уг(х) в точке х = а. Положим у(а) = О, у(а) = О. Так как теперь Иш у(х) = Да) и )пп фх) = (о(а), то функции а а х а У(х) и у(х) будут непрерывны в точке а.
Поэтому на отрезке [а, х[ (или [х, а[), где х— какая угодно точка интервала (а — б, а+ б), функции У(х) и (о(х) удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно, между а и х найдется по крайней мере одна точка 4 = С(х) такая, что Лх) Лх) — Ла) Г(б) у(х) (о(х) — (о(а) (о'(Д Если при некотором значении х таких точек с будет больше одной, то фиксируем какую-нибудь одну из них. Величина 4 зависитотх, причем 4 -+ а, когда х а. По условию при х — а отношение .„т(,) имеет конечный или бесконечный предел. Этот предел не зависит г'(Н от способа стремления х к точке а. Поэтому при х — а, когда и с — а, отношение Й) ' (2 имеет предел, совпадающий с пределом отношения хг(-,>.
у'(с), у'(х) (2) (о'(4) х-а (о'(х) Из соотношений (1) и (2) следует, что У(х) . У'(х) Иш — = Игл —, (е(х) *- у'(х) (3) Равенство (3) выражает правило Попитоля, в силу которого вычисление предела отношения функций может быть заменено (при известных условиях) вычислением предела отношения производных этих функций, что иногда бывает проще. Раскрытие неопределенности вида оо — оо состоит в отыскании предела )нп [у (х)— х а )ь(х)] приусловии,что 11п| з (х) = Оо и Игл У(х) — с х а х а Аналогично трактуются эти понятия для случая, когда х'- оо. $2. Распрьпне пеопределяяостей !прияло Попнтаяя! 271 Пример.
1 — созе (1 — созх)', згпх ! »г «а х» «а (хг)' о 2х 2 Замечппне 1. Если условия теоремы аыполнены только и интервале (л — б, а) нлн (а, а ь б), то формулой 13) можно пользозатьсяляя аычяслення преаела соотзетстпенно прн х а — О нлн х а-»о. (нн м»! Замечание 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
