Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 43
Текст из файла (страница 43)
аг Пример. Найти -„-Я, вспи в = а(С вЂ” мп с), у = а(! — Сок(). ° Имввм ар аг аыпс кг ав а* а(! — сок!) и с =сга-; 2' ! 1 ! 1 г. ь ппг г 2 а(! — сокй аак!п4 г 7 2 ас ас ст аа ДС (, 2.) м 9 13. Вектор-функция скалярного аргумента Пусть материальная точка М движется по некоторой траектории Ь. Тогда каждому значению времени С соответствует определенная длина и направление радиус- вектора г этой точки, а также ее скорости т, ускорения кв и т.д. Следовательно, каждый из этих векторов можно рассматривать как некоторую векторную функцию скалярного аргумента С: г = г(С), т = т(С), ки = кт(с). двлва ,сг„ авг = ~п(с)р'(С) — р'(с)) а(с) ! ра(с)ю'(с) — Ф'(с)рп(с) [ (и-!)|г (и) па С х', Е)3.
Вектор.фуккиик сквяяриого вргумеитв Определение. Если каждому значению скалярного аргумента 1 из и нтервала (гг, )У) соответствует по некоторому закону определенный вектор а, то говорят, что на интервале (а, )т) задана вектор-функция скалярного аргумента 1 и пишут а = а(1). Пусть вектор а разложен по координатным ортам 1,1, )к некоторой фиксированной системы координат а = х1 + р) + х)г. (2) Если а = а(1) естькакая либовекторнаяфункцияаргумента1,тоее координаты х, р, я будуттакже некоторыми (скалярными) функциями этого аргумента: Обратно, если координаты х, у, х вектора а являются функциями аргумента 1, то функцией аргумента 1 будет и сам вектор а: а = б(1)1+ т)(1)д + <(1))с. (4) Таким образом, задание одной вектор-функции а = а(1) равносильно заданию трех скалярных функций (3) и обратно.
При изменении аргумента 8 векгор а(1), вообще говоря, меняет длину и направление (а в некоторых случаях и точку приложения, как, например, вектор скорости). Определение. Годографом вектор-функции а(1) называется множество точек, которое прочерчивает конец вектора а(Ф) при изменении аргумента 1, когда начало вектора а(1) помещено в фиксированную точку О пространства. Годограф а(1) есть вообше некоторая кривая Ь в пространстве (рис.
1б). Годографом радиуса-вектора г движушейся точки будет сама траектория Ь этой точки. Уравнение или к'(1) = С(1)1+ т)(1)3 + С(1))с называется векторным уравнением кривой Ь. Уравнения называются параметрическими уравнення.ми этой кривой. Пример. Например, урввивиия с е = Н ет Г, В Нт!п), 0 й Г ( 2л (Н,Л =сопя!) к=И, являютея пврвмвтриявскими урввивииями одного витка винтовой линии Грие. тт), ° гаооо ск. ПРояоооаомо и йаФФорончооом Фтмсасм оаосй пеРеменной Рис. С7 Рос. Сб 13.1.
Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Пусть вектор-функция а = н(С) определена в некоторой окрестности точки С = Со кроме, быть может, самой этой точки. Опродояоаио, Постоянный вектор Л называется лределом вектор-функции н(С) при г- Со, если для всякого е > О существует б > О такое, что для всех С ~ Со, удовлетворяющих условию !С вЂ” Со ( < б, верно неравенство !а(С) —.А) < е. В этом случае пишут Игп и(С) =А. с-со Геометрически это означает, что при ! — Со длина вектора п(С) — Л стремится к нулю, т. е.
что вектор и(С) при С вЂ” Со приближается по своей длине и направлению к вектору А (рис. 18). Таким образом, (!пп а(С) = Л) е=» (! пп !д(С) — Л! = 0). Рис. СЗ Пусть а(С) = б(С)1+ 71(С)) + ((С)!с, А = Х1+Гй+ с !с. Тогда 1а(С) — Л) = (й(Е) — Х) +(с!(С) — У) +(с,'(С) — Я) . Отсюда, если!пи а(С) = А,то с-сс Игл С(С) = Х, 1яп 77(С) = У, !!АЙ Ь(С) = Я с-со с со с со и наоборот. Пусть вектор-Функция а = а(!) опрелелена на интервале а < ! < б и со Е (сс,,б).
26! 2!3, Вектор Фуккапо аголериого аргумента Определение. Вектор-функция а(С) называется непрерывной при С = Со, если !1пт а(С) = а(Со) го 13.2. Производная вектор-функции по ее скалярному аргументу Пусть вектор-функция а = а(С) определена на интервале а < С < Су и пусть кривая Ь есть годограф а(С). Возьмем какое-нибудь фиксированное значение аргумента С б (а, !9). Ему отвечает точка М кривой Ь. Дадим С любое прирашение ЬС, но такое, что С + гзС б (а, Су) .
Тогда получим вектор «(С + гзС), который определит на кривой Ь некоторую точку Мг (рис. 19). Ров г9 Рассмотрим прирашение йта вектор-функции а(С), отвечаюшее приращению Ы аргумента: С) а = «(С + ЬС) — а(С). Составим отношение Ьа а(С+ Ы) — а(С) Ы Ф О. гзС Ы Это новый вектор, коллинеарны й вектору г),а. Определение. Если при Ы вЂ” О разностное отношение аг' имеет предел, то этот предел называется производной вектор-функции а(С) по ее аргументу С в данной точке С и обозначается -йг) или и'(С). Таким образом, В этом случае а(С) называется дифференцируемой в точке С.
Выясним направление вектора ф. При Ы вЂ” О точка Мг стремится по годографу к точке М, и потому секушая ММг стремится к касательной к кривой Ь в точке М. Следовательно, производная — „", представляет собой вектор, касательный к годографу функции а(С) в точке М. Направлен же вектор ~г в ту сторону, куда перемешается конец вектора а(С) по голографу при возрастании параметра С (рис.
19). 262 Гнеиа! Х. проиееодмие и дифференцнели функции одной переменной Найдем выражение для производной ф в координатах, Пусть а(С) = б(С)$+ т)(С)Я+ ('(С))с. Тогда Да(С) = а(С+ ДС) — а(С) = СДС(С) +3Дт)(С) + )сДЬ(С). Деля обе части на ДС ~ О, получим — =! — +3 — + Сс —.
Да(С) ДС(С) Дт)(С) ДЙ(С) ДС ДС ДС ДС (2) Если функции б(С), у)(С), с,(С) имеют производную при выбранном значении С, то при Д -с О каждое слагаемое в правой части равенства (2) имеет предел, так что существует и предел левой части, т. е существует -2)-. Переходя в равенстве (2) лпн] к пределу при ДС вЂ” О, получаем (3) Итак, если вектор а(С) отнесен к неподвижной системе координат, то его производная ф выражается формулой (3). Таким образом, вычисление производной вектор-функции а(С) сводится к вычислению производных ее координат.
Если г = г(С) есть радиус-вектор движущейся в пространстве точки, то ф— скорость этой точки в момент времени С: й (С) — = «(С). с(С дриккер. Найти проиэводптпо нестор-функпии п(С) =!Ксоы -~-)Яяп С Е ИИС (Я, И = сопя), м По формупе (3) лп — =-Саяну+)ясосс+Итс. М Ф 1З.З. Правила дифференцирования 1. Если е — постоянный вектор,то с = О. 2.
Если векторы а(С) и Ь(С) имеют производную в точке С,то с( с(сс(С) сСЬ(С) Н вЂ” (а(С) ж Ь(С)) = — ~ —. СС Ю 3. Постоянный числовой множитель можно выносить за знак производной сС(ста(С)) с(а(С) М й = а — (а — числовая постоянная). 4, Производная от скалярного произведения векторов выражается формулой — (а(С),Ь(С)) = —,Ь + а,— Снвдетеие. Если вектор с(С) единичный, лт.е. )е(С) ( = ), исо ф Л. е.
$13. Вваср фуакцвк скалярного ар|ухвата М В самом деле, если е — единичный вектор, то (с,с) = 1. Беря производную по! от обеих частей последнего равенства, получим —,е + е,— =О или 2 |ч2;, с/! = О, откУда 21 1 е. ° Ю» Ие $, Производная векторного произведения векторов определяется формулой — „| Г),ь|5! [ —,,») ь [» — „,1 (порядок сомножителей сушествен). Улракиеиив Найдите производные функиий: 1, у = хг — 5х -|- 1.
2, у = 2»/х — — + ь/3. 1 / 1 4. у = (ь/х+ 1) ( — — | ~, 6, у = —. 46 / -*+ Найдите у'(1): з 7, у»» )( —. 8, у = яп х - сок х. 9. у»» = )|(1+ хг 3 ! 1, у = - Га' х — Гй х + х. 12, у = ип 3 1б,у=к|и 2Х. 1б.у=яп(5|па). 19.у =агсяп -. 20.у =агс|бх . 21. у = |л х. 2 2 г |их 1 23. у = —, 24. у =!л гй х. 2$.
у = —. 1+ хг 1пх 5 | 2» 28. у = . 29. у = хз — Зх. 30. у = 1Оз*+'. 3. у = (х' — Зх + 3)(х — 1). 1 ь б,у =(хз+!) (5 — — /1, хг/ 5Ю Х 1-> соке 10 1/ = 5|п Х. | 5Х. 13. у = 2 агд(ЗХ вЂ” 1). 14. у = 5|п —. 17.у=лагоа|па. 1б.у»»хяпхагсгйх. 22. У = хз !оаз х. 2б.у = 9*. 27.у = ае*. 31. у = 5в"*. Найдитедиффсрснциал функпии: 4$ у =-„4 46 у=!а'х. 47.у = 5иа"*.
48. Вычислите приближенно агсгй |,02. Провсдитс повторное дифференцирование: 49. у = х — Зх + 5; у" =? $0. у = агс|й х; у»(1) =? 32. у = 5|п(3*) 33, у = за 5. 34, у = ь/сЬх. 3$. у»» г|з(!и х), 38. у = 3'" *. (х — 2)тд-. — , — , 37. у = (яп х)"'*. 38. у = х""*. 39. у = хи*. 40. у = (х — 5)з 1 х !со5Х 41. у = -ь/хг — ог — — 1и '(х+ ух' — аг) .
42. у = — |и га — — — —, 2 2 2 2 2япгх 48 у = Зх' агсз!и х+ (х' + 2) ь/1 — х'. 44. у = х(агсип х)' — 2х+ 2~/1 — хг агсяп х. Глава Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 5 1. Теоремы о среднем значении Теорема 1 (Ролла). Если функция Г (х) 1) непрерывна на отрезке [а, Ь]; 2) имеет производную хотя бы но интервале (а, Ь); 3) на концах отрезка [а, Ь] принииает ровные значения (г(а) = г (Ь)), то в интервале (а, Ь) суи1ествует и о кра йней мере одна точка С, в которой производная данной функции равна нулю: г"(с) =О, с б (а,Ь). значения. Обозначим их соответственно пг и М.
Могут представиться два случая; 1) М = т. В этом случае М < /(а) < М, т.е. ,г (х) есть постоянная на [а, Ь]. Поэтому у'(а) = О во всем интервале (а, Ь), так что в этом случае теорема верна. 2) М ~ гп. Тогдафункния у(х) покрайней мере одно из двух своих значений М или т принимает в точке с, содержащейся внутри интервала (а, Ь), так как г(а) = у(Ь) и потому не можетбытьодновременно М значением г (х) на олпом копне, а т— на другом копне отрезка [а, Ь].
Пусть для опреле- (с), а < с < Ь (рис. 1) пенности М = г Так как по условию г(х) имеет производную у'(х) в каждой точке а интервала (а, Ь),то существует и у~(4) и йгп У(б+ Ла) — 1(б), У(Š— Ьа) — У(Е) = 1пп = У'(4) ь*-о г.'1а а>-о — гзх Рнс. 1 ь»0 а»О Но ~(б) = М вЂ” наибольшемузначениюфункпии у(х) на отрезке [а, Ь] и поэтому з(с+ гха) — з(ч) < О и з(С вЂ” Гзх) — з(С) < О. м Так как по условию функния у(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то в силу второй теоремы Вейерштрасса она на этом отрезке принимает наименьшее и наибольшее Глава Х. дифференциальные теоремы о среднем, Формуле тейлора Отсюда /((+ ~х) — /(О /(( — " ) — /(О ~0, а > О (/) х > О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
