Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ь Теорема!устанавливает,чтодля функции/(х) дифференцируемостьвданнойточке х и существование конечной производной в этой точке — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной функции называют также дифференцированием этой функции. В дальнейшем, когда мы говорим, что функция ~(х) имеет производную в данной точке, мы подразумеваем наличие конечной производной, если не оговорено противное. Галле 3Х. Лронлеодние н днааеренцнлли Еуннцнн одной переменной 2.2. Понятие дифференциала функции Пусть функция у = у(х) дифференцируема в точке х, т,е.
приращение сьу этой функции, отвечающее приращению гзх аргумента, представимо в виде (4) гдеа(лзх)- сириях- О, Определение. Если функция у = У(х) дифференцируема в точке х, то часть приращения функции Агах при А ф О назылается дифференциалом фунд ции у = .Г(х) и обозначается символом Иу или И1(х): ду = Альх. (5) В случае А уа О дифференциал функции называют главной линейной часаьюприращения гзу функции„поскольку при глх - О величина о(гзх)гзх в равенстве (4) есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Агах. В случае, когда А = О, считают, что дифференциал ду равен нулю.
Всилутеоремы! имеем А = /'(х),такчтоформула (5)для ду принимаетвид (6) ду = У (х)~х. Наряду с понятием дифференциала функции вводят понятие дифференциала Их независимой переменной х, полагая по определению Тогда формулу для дифференциала функции у = /(х) можно записать в более симме- тричной форме Иу = у (х) Их. Отсюда в свою очередь имеем: у'(х) = Я.
Это еше одно обозначение производной (обозначение Лейбница), которую можйо рассматривать как дробь — отношение дифференциала функции ду к дифференциалу аргумента Их. Введем еше одно понятие. Будем говорить, что функция у = у(х) диффвренцируема на интервале (а, Ь), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. 2.3. Геометрический смысл дифференциала Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = У(х), где Г (х) — дифференцируемая в точке х Е (а,6). Проведем касательную к этой кривой в точке М(х,у) и отметим на кривой ешс точку М~ с абсциссой х+ дх. Как известно, Г'(х) есть угловой коэффициент касательной, т.
е. у (х) = га р. $3. Аиееереичироевние суммы, ероиеведеем и честного 241 Рис. 3 Рассмотрим треугольник МРЦ (рис. 8). Из рисунка видно, что Ро = МР ° 18 1о = У'(х) дх = ду. Таким образом, дифференциал ду = 7'(х) дх функции у = У(х) есть приращение орлинаты касательной, проведенной к кривой у = г(х) в точке с абсцнссой х, при перехоле от точки касания к точке с абсциссой х + дх. 9 3. Дифференцирование суммы, произведения и частного Если функции а(х) и е(х) имеют производную в точке х, то в этой точке имеют производную их сумма а(х) + е(х), разность а(х) — е(х), произведение и(х) ° е(х) и частное ЯЯ (последнее при дополнительном условии е(х) ~ О), причем <и(х) +е(х)) = а'(х) хе'(х), <а(х) е(х)) = а~(х)е(х) + и(х)еи(х), < а(х) 1 и'(х)е(х) — а(х)е (х) е(х) ~ О. е( ') / ез(х) м Докажем, например, правило дифференцирования частного. Из дифференцируемости функции е(х) в точке х следует непрерывность е(х) в этой точке, а из условия е(х) ~ 0 в силу устойчивости знака непрерывной функции вытекает, что е(к+ сьх) ~ 0 для всех достаточно малых ~Ьх~.
Поэтому отношение а(х+ гзх) а+ гза е(х+ сьх) е+ сье определено для всех Ьх, достаточно малых по абсолютной величине. Дадим х приращение Ьх. Тогда функция у = —,"(,*-1г получит приращение и+Ьа а еЬа-асье Ьу- е+Ье е из+асье 9 Зак. 750 242 Глава !Х. Йронэаодныенднффервнцналыфункцнн однойлврвменной откула Дч Ь» ЬУ од, — иъТ (1) дгх ог+ оЬо По условию существуют и (х) кк !1Пг ~~-", и о (х) к» !пп ~~;, такчто Ьс - О при Узх О. Ьэ 0 Д*-О Что касается величин и и о, то о нидляданной точки х являются постоянными, причем о(х) ~ О.
Таким образом, правая часть равенства (1) имеет предел при 2>х — О, равный -"'л=р'-"-. Следовательно, существует и предел левой части (1), т. е. существует » ! пп ф = у'(х). Переходя в равенстве (1) к пределу при гэх -» О, получаем Ьк О и (х) 1' и'(х) ° о(х) — и(х) ° с'(х) у'(х) = о(х)! юг(х) Пример. Найти проиэаодную Функции р = р+~ ( * — 1>' ( г+5) — (э* — П(*э+5)' ыр— '(')' ' '' эг+5) ( э+5)г э»(эг+ 5) — (е* — !) ° 2к (эг - 2э+ 5)к*+ 2э ( +~)' Следствие 1. Ууасталнный множитель можно выносить за знак производной <Си(х)) = Си'(х). Следствие 2. Если функции и~(х), аг(х), ..., и„(х) (и — конечное) имеют нраизвадную в точке х, то в этой тачке имеют производную их сумма и нроизведение, нричем <и (х)+иг(х)+".
+и.(х)) = (х)+иг(х)+" +й(х), <и,(х) иг(х)... и„(х)) = и',(х)и,(х)... и„(х) + + и~(х)иг(х)из(х)... и„(х) +... + и|(х)иг(х)... ия ~(х) и„(х). задача 1. что можно сказать о дифференцируемости суммы У(э) ч- Р(э) в то ие э, если в этой то ке фу»жция У(э) дифферемирувмв, в функция Р(э) ие диффцгемцируемвт Задача 2. Пусть функция У(э) дифференцируемв в танка эе и У(эс) Р' о, а функция Р(э) ив диффереицируемв в этой точке. доканпь, что произведение у(к) Р(э) является иедифференцирувмым в точке ко. Задача 3. Пусть функции У(э) и Р(э) ив имеют прсиэводиой в точке ээ. Следует пи отсюда, что в эгей точке не имиот проиэводиой функции: и у(*) + Р(*>: 2> у(*) р(с); з> ЯЯ т (Рассмотреть примеры: 1> У(э) =)э(, Р(э) = -(э(, эе = 0; 2) У(э) = Р(э) = !э!. эс = 0' З> У(*)=Р(*) =1*1+>,*с=О.> Глава 1Х. Йроиаводнме и днооеренчвалм о!нации одной переменной Отсюда Ду а(1+ и ) — =х Дх Дх Учитывая, что (1+ —,*) — 1 аф при Дх — О, получим ду „(1+ ф)" — ! !Пп — = х 1пп о 1, н н 1 дг ОДХ ьн о Дх лн ОДх Итак (х) =ах ~Л 4.4.
Производные тригонометрических функций рассмотрим функпию у = 5!п х, -оо ( х ( +оо. Во всякой точке х и для любого Дх Дх г' Дх ! ДГГ =гйп(х+ Дх) — 51пх = 251П вЂ” соа ~х+ — ~ . г,Г' ' Отсюда Учитывая, что 1пп -~ = 1 и что 1пп соа(х+ а*) = соах в силу непрерывности дн о ь о функпии у = соа х во всякой точке х, получаем Ду, / 51П ду'- / Дх'т х! 1!Гп — = Вгп — со5 ~х+ — ~ = со5 х, дн-оДХ ьн-о1, Рун ' (, 2,/ ~ Итак (51пх) =соах. Аналогично получаем (сов х) = — 5!их. (2) Пользуясь формулами (1) и (2) и правилом дифференпирования частного, найдем производную от функции тГ = !к х: /5!пхх~ (5!их) сов х — 51пх(со5х) ! (!кх)'= ( — !в — — — 5ЕС Х.
'ХСО5 Х( СО55 Х СО55 Х Итак, Аналогично находим (СГКХ) = — —,= — СО5ЕС Х, Х-,а пи, П=О,х1,х2, ! 51п х у 5. Анф4юренцнрованне олотюй функции 24В 95. Дифференцирование сложной функции Теорема 3 (о дифференцировании слоиной фуни(ии), Если функция и = ~р(х) диффервнцируемв в точке хо, в функция у = з (и) диффвренцируемо в соответствуюи(ед точке ив — — р(хо), то сложная функция у = з [ут(х)] дифференцируема в точке хо, причем [У[р(х)] ), )*=*.= У'( о) р'(хо). ()) (5) Пример 2.
Найти производную функции у ю1п)х), ю эта функция определена на всей числовой оси, исключая тачку х = О; четная. если х > О, то )х) = х и 1п)х~ = 1пх. так что у = (1пх) = —, 1 Если х ц О, то )х) = -х и 1и )х) = 1п(-х). х > О. и Дадим значению х = хо приращение вакх. Тогда функция и = ут(х) получит приращение дки, а это в свою очередь при 13и ,-~ 0 вызовет приращение ту у функции у = У(и). По условию функция у = 7(и) дифференцируема в точке ио, поэтому прирашение тзу этой функции может быть представлено в виде Еку = У'(ио)т) и + а(Ьи)кки, (2) где а(тзи) — 0 при тзи- О, Функция а(гзи) вообше не определена при кзи = О. Лоопределим ее, положив а(О) = О.
Тогда а(Ьи) будет непрерывной при Ьи = О. Разделив обе части равенства (2) на Ьх ф О, получим гзу, тки з."ки — = з'(ио) — + а(Ьи) —. Ьх зух Ьх (3) По условию функция и = уз(х) дифференцируема в точке хо и, значит, непрерывна вэтойточке. Поэтому при ткх ч 0 прирашение с)и - О, чтовызываетстремление к нулю а(Ьи). Кроме того, из этого условия следует, что ~ — (з'(хо) при кзх — О. Следовательно, правая часть (3) имеет предел при кзх — О, равный у (ио)ут(хо). Поэтому существует и предел левой части равенства (3) при тай - О, т.
е. сушествует йш — 2, который есть производная по х сложной функции у = 1 [р(х)] в точке хо. ах од*' Переходя в равенстве (3) к пределу при Ьх — О, получим (У[р(х)]). ).-*.= У'(о)р'(хо). (4) Здесь символ У'(ао) означает производную функции У(и) по ее аргументу и (а не х), вычисленную при значении ио = у(хо) этого аргумента. В Равенство (4) можно записать в виде ду ду — — — или у, = у„а,. дх ди дх' Пример 1. Найти производную функции у = ечи *. ч Здесь у есть сложная функция аргумента х: у = е'1*1, где н(х) = мп х.
Поэтому ук = (е ), ° н~ = е сок х = епк к сок х. м Глава В. Произаодные и дифференциалы функции одной лаременноя Представим функцию у =!и(-к) как сложную функцию, положил у=(ли, и= — к. По правилу диффаренцированил сложиоа функции в, 1 ! 1 у* =у«' ' = — (-!) = — (-!) =— и и так что и дле а с 0 в ! у =- ж Таким образом, (М (е() = —,, д О. Ь Замечание. Теорема может быть обсбиюна на случая любоя коисчноЯ цепочки функции.
Твк, если у = З (и), и ю р(в), с ю у(к), так что у = у (у [у(к)) ), причем суикствуют производные З„', и',, К, ус =у» ит тв. Инаариантность формы дифференциала Если у = 7 (и) — дифференцируемая функция независимой переменной и, то в(у = у~(и) !(и, (б) где дифференциал независимой переменной равен ее произвольному приращению: в(и = (зи. Пусть теперь аргумент и дифференцируемой функции у = Г(и) сам является дифференцируемой функцией и = р(х) независимой переменной х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
