Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 36
Текст из файла (страница 36)
~ Таким образом, при выполнении условий теоремы 1)ш У[р(х)] = У(А) или, что тоже ~ )вп У[)а(х)] =1[1)ш р(х)] ~ Это соотношение выражает правило перехода к пределу под знаком непрерывной функ- ции. Ь < Возьмем любое е > О. Так как функция у(в) непрерывна в точке и = А, то для выбранного в > О существует такое число з) > О, что лля всех и, удовлетворяющих условию )и — А) < з), ()) верно неравенство 216 Главе уас Предел и непрврямность фуняаии одной переменной Г2гимер, Показать, что Вт !"(!Я«1 = 1.
я м заметим, что —, = 1и(! ч. х) ~«, Функиия у = 1л(1 ч- х) ь является сложной функиией, саста!яи««! 'ь !!« пленной из функций у ы 1л н, н = (1ы х) !«. Твк квк !!гп(1 + х) ы = е, и функция у =!ли непрерывна * я в точке и = е, то нв основании теоремы 16 получвем атн М(1+ х) = !!п)!п(! + х) ь = 1п ! 1!л)(1-'; х) ь] = 1пе !. и х *пгя [Л Теорема 1Т (непрерывность сложной фунщнн), Если функция а = (о(х) непрерывна в точке хо, а функция у = З (а) непрерывна в точке ао —— (о(хо), то сяозкная функция у = З' [ут(х)~ непрерывна в точке хо. м По условию функция а = гр(х) в точке хо имеет предел, равный (о(хо) = ао. Кроме того, функция у = ~(а) непрерывна в точке ао.
На основании теоремы 16 о переходе к пРеделУ под знаком непРеРывной фУнкции сложнаЯ фУнкциа У = У [Ут(х)1 в точке хо имеет предел, равный з(ао) = Г [ут(хо)), )ггп / [р(х)) =,Г [(о(хо)1 чтоОзначаетнепРеРывностьсложнОйфУнкции Г [гР(х)) в точке хо. !Ы 513. Точки разрыва функции, Их классификация Пусть функция У(х) определена в некоторой окрестности точки хо. Согласно определению, непРеРывность фУнкции Г(х) в точке хо выРажаетсЯ соотношением 1!Гп /(х) = У(хо). (1) Пользуясь односторонними пределами функции, равенство (1) можно заменить равносильным ему двойным равенством (2) Таким образом, функция Г(х) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда в атой точке сушествуют пределы слева и справа, они равны между собой и равны значению функции у(х) вточке хо. Определение.
Если в точке хо функция Г(х) не является непрерывной, то говорят, что Г(х) РазРывна в атой точке, и точкУ хо называют точкой РазРыва фУнкции Дх) ). Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено условие ее непрерывности (2). Определение. Если в точке хо функция У(х) имеет предел слева и предел справа и они равны между собой. но не равны значению функции в точке хо, з! Если функиия у(х) не определена я точке хя, то точку хя также нязыоавт точкой разрыва фтчгкпни, $! 3. Тоен разрыве фунщии.
Ик классификации 210 !цп ~(х) = 1ап У(х) Ф,У(хо), то точка хо называется точкой устранимага разрыва функции у(х) . Такое название оправдывается тем, что в этом случае достаточно изменить значение функции только в одной точке хо, чтобы получить новую функцию, уже непрерывную в точке хо. Именно, если У(х) имеет вточке хо устранимый разрыв, то функция непрерывна в точке хо. Мы «устранили» разрыв, изменив значение функции в одной точке хо.
Пример. Пусть и м О! 1, змо. Рис, 24 и имеем рыва. Определение. Если в точке хо функция ~(х) имеет конечные пределы слева и справа, но они разные, Йп 1(х) Ф 1!пт ~(х), *-*,-о л лото то точка хо называется точкой разрыва функции у(х) с конечным скачкам функиии. (При этом безразлично, совпадает или нет У(хо) с одним из односторонних пределов) Такое название точки разрыва обусловлено тем, что при переходе х через точку хо значения функции У(х) претерпевают скачок, измеряемый разностью у(хо + 0)— У(хо — 0) предельных значений у(х) в точке хо справа и слева.
Пример. Пусть у(и) = — ~-, /(0) = 1 (рис.261. н«,ь е Длл денной функции точке е = О есть точкз резрьае с конечным ске иом функции, равным — 2: Ет у(и) = 2, 1нп У(з) =О, м к о-о» о»о 1)ю У(з) = Впт 2(з) Ом!=/(0), * о-о * о+о ток чта точке и = О есть тачка устронимого рззрыоо длл функции у(з) (риа 24) если изменить »печени» данной функции / и точке и = О, положив у(0) = О, то получим непрерыеную и точке л = 0 функцию У(з) = !з!.
и Вообше, графиком функции, непрерывной на м ножестве (ха — б,,хо) 0 (хо,хо+ бз) и имеюшей в точке хо Рнс.25 устранимый разрыв, служит непрерывная кривая, из которой удалена точка с абсциссой хо (рис. 25). Подчеркнем, что в точке хо устранимого разрыва !!ш у(х) сушествует. л ко Если йгп ~(х) не существует, то точка хо называется точкой неустранимого раз- *о 220 Глава Ч111, Предел и непрервенасте функции одной переменной Точки уст ранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком функции называются точками разрыва первого рода.
Каждая точка разрыва 1-го рода функции Дх) характеризуется тем, что в этой точке функция у(к) имеет конечный предел как слева, так и справа. Все другие точки разрыва функции называются точками разрыва второго рода. Каждая точка разрыва второго рода функции у(х) характеризуется тем, что в этой точке функция у(х) не имеет конечного прелела по крайней мере с одной стороны — слева или справа. Примеры. Ь Пус у(х) = , х И о, у(о) = о.
Рнс. 26 м для денной функции точка х = 0 есть точке раэрыеэ второго рода, тэк кэк пгл Г(х) = -оп, э-е Игл /(х) =+со. ° к э.гэ 2. Пусть Ях) = э1п -, х н О, Э(О) = О, М Эте функция е точка х = 0 не имеет ни конечного, ни бесконечного пределе как слепя, тэк и слрэее (чтобы убедиться е этом, можно еоспольэоеэться определением пределе функции по Гейне). Поэтому для данной функции точке * = 0 ляпнется точкой разрыве второго рада. ° 3. для функции дионисе 1, если х рациональное; ы'(х) = О, если х ирреционельное любая точка хэ есть точа рээрыее 2.го роде, ы Будем говорить, что функция у(х) в точке хо непрерывна справа, если и непрерывна слева, если (пп 1(х) = У(кс), [Г(хо — О) = У(*с)) ~ ! -"- Функция у(а) называется непрерывной на интервале (а, Ь), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Множество всех функций, непрерывных на интервале (а, Ь) обозначают С(а, Ь).
Функция /(х) называется непрерывной на отрезке [а, Ь[, если она непрерывна на интервале (а, Ь) и в точке а непрерывна справа, а в точке Ь вЂ” непрерывна слева Множество всех таких функций обозначают С[а, Ь[, 514. Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема (Б (Бопьцаио-Коши] (о нуле фуеции).
Если функция у(а) непрерывна на отрезке [а, Ь] и в концах его имеет значения, лротивотиоэкные ло знаку, то у(х) обраи(ается в нуль по краиней мере в одной точке интервала (а, Ь). М $ 14, Сверстан фрннцна, ненрерменмн не атреям 22! м Пусть числа 7(а) и 7(Ь) противоположны по знаку. Точка С = -иф делит отрезок [а, Ь] пополам.
Если 2(С) = О, то теорема верна. Пусть Щ ~ О. Тогда один из отрезков [а, С] или [С, Ь] будет таким, что в его концах значения функции 7(х) имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через [ап Ь|] и разделим его пополам точкой 41 = ю-х!. Если ~((!) = О, то теорема верна. Пусть 7(С!) те О. Тогда один нз отрезков [а~, С!] или [4п Ь|] будет таким, что в его концах значения функции Г(х) имеют разные знаки.
Обозначим этот отрезок через [аэ, Ьз] и разделим его пополам. Продолжая этот процесс, мы либо встретим на очередном этапе рассуждений точку а Е (а, Ь), для которой /(а) = О, и тогда теорема доказана. Либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю, Ь вЂ” а [а, Ь] 3 [ан Ь|] 3... Э [аи, Ь,] Э..., т. е. 1ип (Ьи — а ) = 1пп — = О, и си и сс 2" 7Ьометрически результат теоремы очевиден.
Если 7(а)7(Ь) < О,гогочки А(а, 2(а)) н В(Ь, 2 (Ь)) лежат в разных полуплоскостях, на которые ось Ох делит плоскость хОУ. График непрерывной функции у = 7(х), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось Ох по крайней мере в одной точке (рис. 27). Требование непрерывности функции 7(х) на [а, Ь] существенно; функция, имеющая разрыв хотя бы в одной точке, может перейти от отри нательного значения к положительному и не обращаясь в нуль. Так будет, например, с функцией 1-1, -1<х<0; 1, 0<х<1 у$ В(Ь, 7'(Ь)) Рис.
27 (рис. 28). Укажем одно из применений доказанной теоремы. Рассмотрим многочлен нечетной степени с действительными коэффи- циентами 1 х Рт ы(х) =асх +а~х +... +птичь эп+! 2и Рис. 24 и на концах каждого из которых функция 7(х) имеет значения разных знаков. В силу леммы Кантора существует единственная точка и, принадлежащая всем отрезкам [а„, Ьи]. Докажем, что 7(а) = О.
Допустим противное: 7(а) ~ О. Функция 2(х) непрерывна в точке а б [а,Ь] и, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдется такой интервал (а — б,а + 6), в котором у(х) сохраняет знак, Так как а = !1пт а„= 11пт Ь„, то п можно взять настолько большим, что отрезок [ап, Ьи] и- си и сс булет содержаться в интервале (а — б. а + 6), и поэтому числа 7(а„) и г(Ьп) будут одного знака. Но по построению отрезков [а„, Ьи] при любом и числа 7(аи) и 7(Ь„) противоположны по знаку. Полученное противоречие доказывает, что наше допущение 7(а) Ф 0 неверно. Следовательно 7(а) = О, где а < а < Ь (точка а Е [а, Ь], но не можетсовпадатьни сточкой а, нис точкой Ь, так как у(а) те О, 7(Ь) ~ 0). ь Гэааа У!В.
Предел и нвврерманесть фрикции одной пврвмемюй Пуст> для определенности ао > О. При достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях х знак многочлсна Рз„+!(и) будет отрицательным, а при достаточно больших положительных значениях х — положительным. Так как м ногочлсн есть всюду непрерывная функция, то найдется некоторая точка, в которой он необходимо обрашастся в нуль. Отсюда следует, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по край- ней мере один действительный корень. Теоремой!8 можно пользоваться и дпя приближенного вычисления корня.
Пример. Найдем приближенно корень многочлвна Рз(х) = хз + х — 1. и Это — многочлвн нечетной степени и потому заведомо имеет по крайней мерв один двйстаитвльный корень. На концах отрезка (О, 1) многочлвн Рз(х) принимает значения разньж знаков: Рз(0) = -1 < О, Рз(1) = 1 > О. Следовательно, в интервале (О. О имавгси корень агсго многочлана.
Если взять точку б = з — середину отрезка (О, 1), то получим Рз(т) = — э < О, Рз(О > О, Значит. ! го з корень находится а интервале (т,!) . Возьмем теперь точку (! = -„— середину отрезка -, 1]. Вудам г! С! иметь Рз(1) < О, Рз(т) = зч > О, так что коРень содержится в интеРвале ( з, л). продолжая азот процесс, ьь! можем найти асв болев гвсныв границы для корня многочлвна Рз(х), ° Теорема 1В (Коши) (о промежуточных эиачеиипх иепрерманой функции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
