Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Следовательно, функция з!п * — не периодическая. М 97. Бесконечно большие функции. Их связь с бесконечно малыми функциями Наряду с понятием бесконечно малых функций вводится понятие бесконечно больших функций (б. б. ф.). Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности точки хс, кроме, быть может, самой точки хо. Определение. Если для любого, как угодно большого, числа М > О сушествует такое число б > О, что для всех х ~ хо, удовлетворяюших условию (х — хо(( б, выполняется неравенство (/(х)(> М, $ у.
Весконечко болване функции. Их связь с беоюначво малммв функцявмв абт то функцию г (х) называют бесконечно большой функцией при х — хс и пишут 11п1 у(х) = со, х-хь При этом говорят также, что У(х) при х хо имеет бесконечный предел. С помошью логических символов определение функции г (х), бесконечно большой при х — хо, запишется так (~(Х) — б.б.ф.
ПрИХ вЂ” ХО) Окр> е=ф(угМ > О Зб > О тух, х Ф хо (х — хс) < б =ь ~у(х) ) > М). Заменяя в приведенном определении неравенство 1)(х)~ > Мнвк(х) > М илина г(х) < — Мсоответственно, получим определение полозкительной б.б.ф. ~(х), 1цп у(х) =+оо, *-*е или отрицательной б. б. ф. у (х), 1цп ~(х) = — со. хс Пример. Функция у(х) = -', определенная для всея х ~ О (рис. 13), есть б. б.ф. при х О. Рнс.
13 ° Возьмем любое М > О, какУгоднобольцюе. НеРавенстао(/(х)~ = )-~ = пй) > М Равносильно неРавенстяу 1х( = (х — 01< уы Полому, есгм взять 6 = зг, тодля ух,х и О, таких, что 1х — 01= )х1< уы ! будет верно неравенство 17(х)~ = с) > М. Согласно определению зто означает, что у(х) = —— ! ! б.б.ф, при х О. М Функция у(х) = -'у, определенная для всех х ~ О (рис.14), при х — О есть положительная б. б, ф.
Геометрическое пояснение б.б.фл функция ((х) является б.б.ф. при х — хс, если для любой горизонтальной полосы между прямыми у = -М и у = М, сколь бы широкой она ни была, можно указать такие две вертикальные прямые х = хо — б и х = хо + 6, что между этими прямыми часть графика функции у = у(х), х ~ хо, целиком расположена вне этой горизонтальной полосы (рис. 15). Заметим, что функция у(х) может быть неограниченной в окрестности точки хо и не быть бесконечно большой при х — хо. Например, функция )'(х) = —, з(п —, 1 ° 1 не ограничена в окрестности точки х = О, но не является б.
б. ф. при х — О (попробуйте сделать рисунок). Гнала О)й. Предел н напрерманость фтнмтнн одной переменной Рнс. !4 Рнс. !5 Определение, Будем говорить, что Г(х) есть бесконечно большая функция при х — оо и писать 1лп у(х) = оо, а сс если для любого числа М > О, хотя бы и как угодно большого, найдется число и > О такое, что для всех х, удовлетворяющих условию )х) > Ю, верно неравенство )Г( )(> М.
пример. Г(а) = а — б. б.ф. при х сс. 8 самом депе, !Гм > О 3лт > О, например, лт = м, такое, что ттс, ~а( > ЛГ, нерио нерааенстао )у(а)) = (а( > М. М Подобным же образом можно сформулировать определение бесконечно больших функций при х — +со и при х - — оо. Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует зависимость, которая выражается следующими теоремами. Теорема 10. Если функция у(х) — бесконечно болыиая при х — к хо, то функция а(х) = — — бесконечно малая при х — хс.
! !(а) м Возьмем любое, как угодно малое е > О. Так как по условию функция у(х)— бесконечно большая при х — хо, то для любого М > О, в частности для М = найдется такое б > О, что при всех значениях х, х 4 хо, и з условия )х — хо) < б будет следоватьнеравенство 1 (,Г(х) ~ > М =— Для такихзначений х определена функция а(х) = у(-,), илля нее ! 1 1 )а(х)~ = — ( — = е. (у(х) ) М 8 8.
Односторонние пределы функции е точке Итак '4(е > 0 36 > 0: У(х, х ф хо, (х — хо( < 6 => 1а(х) ) < е. Это означает, что а(х) = + — б. м.ф. при х хо. ° У(к) Аналогично доказывается обратное утверждение. Теорема 11. Если а(х) — бесканечнамалая функция при х — хо и в некоторой окрестности (хс — 6, хо + 6) точки хе, кроме, быть мазквт, самой точки хо, а(х) отлична от нуля, то функция у(х) = ~( — бесконечна большая яри х — хо. 1 Задачз. Сформулировать на языке нерааанста, что значит 1) бт Лз) = со; 2) 11т у(з) =+со; 3) йп Лз) = -оо; 4) !пп З(п) =+ос; 5) Рдп У(з) =+оо; 6) атл З(э) =-сс.
Пример. Рассмотрим дробно-рациональную функцию прэдстаэлпоцую собор отношение двух многочпеноа относительно з степеней т и п соотеетстеенно, и исследуем попадание зтод функции при я тю, ° При достаточно болыних (в! знаммютель этой тцюби отличен от нуля, и рассматриеаемое отношение имеет смысл. Разлапа числитель и знаменатель дроби на в", получим м-ч, и-ь-1+ +,,-ь И*) Ь,+Ь„- +.„,Ь„,-. Яона, чтО ПРи е сс знаменатель тазоби имеет пределом число Ьь;а О. Числитель дроби при т > п неограниченно позрастает по абсолютной величине; лрн т = п предел числителя равен коэффициенту аь, при т < л предел числителя равен нулю, Таким образом, 98.
Односторонние пределы функции в точке Пусть функция У(х) определена на интервале (а, хо). Определение!. Число А называется пределам функции У(х) втачке хс слева, если длялюбого е > О существует 6 > О, такое, что лля всех х, удовлетворяющих условию хо — 6 < х < хс, верно неравенство )у(х) — А~ < е. В этом случае пишут А = 1(щ У(х) или А = ~(хо — 0). *з-о Пусть функция у(х) определена на интервале (хо, Ь) . 8 Зак. 750 21О Глене Ч!й, Предел н ненрерыеноогь фумщнн одной перемытой Определение Х Число А называют пределом функции у(х) в точке хо справа и пишут А = 1нп ~(х) или А =(хо+О), хо+о если для любого е > О существует такое 6 > О, что лля всек х, удовлетворяющих условию хо < х < хо + 6, верно неравенство Пустьтеперьфункиия Г(х) определена вдвусторонней окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо (рис.
16). Теорема 12. Для того, чтобы функция у(х) имела предел в точке хо, неодходимо и достаточно, чтоды существовали пределы функции Г(х) в точке хо слева и справа и они били равны между собой. Тогда 1(хо — О) = 1(хо+ О) = 1(ш У(х). х *о Рис, !б ~ Пусть 1)ш у(х) = А. Тогда лля всякого е > 0 существу- х. хО ет 6 > 0 такое, что для всех х из интервала (хо — 6, хо + 6), х ф хо, верно неравенство (/(х) — А! < е. (1) Так как неравенство (1) имеет место как на интервале (хо — 6, хо), так и на интервале (хо, хо + 6), то согласно определению А = 1!ш,/(х) и А = 11пт У(х), хо-о *о+о Обратно, пусть А = )пп у(х) и А = 1(пт ~(х).
Тогда для любого е > 0 *о-о хо+о существуют такие 6! > 0 и 6! > О, что если хо — 6! < х < хо и соответственно хо < х < хо + 6з, то )Г'(х) — А! < е. Обозначая через 6 наименьшее из чисел 6!, 6м полУчим, что ),Г(х) — А~ < едлЯ всех х таких, что 0 < !х — хо/ < 6. Это означает, что !пп у(х) = А. Оь хо Прныеры. 1.
Пусть у(х) = т ! !' 'х " ' (рис.тт!. ! !т *=О Здесь Пт У(х) = !!ит /(х) = О ~ !ии У(х) = О. 2. Пусть ! у(х) = —,, х Ф О (рис.та!. !+сух Здесь Ве Г(х) х !, !!т /(х) =О ~И!!лт Г(х) = —. *-о-о ' * ото ь О Рис. !7 Э. Пусть 3 у(х) =со, х ФО (рис.!О!. бе, иенрериеиость Фтни1ин 211 11т У(е)=О, Нти /(с)=Ч-со~Лат/(е)=О.
° Рис. 18 Рис. 19 Если функция /(х) задана на отрезке [а, Ь] или на интервале (а, Ь), то в точке а она может иметь только предел справа, а в точке Ь вЂ” только слева. 59. Непрерывность функции Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности П точки хо. Определение !. Функция /(х) называется непрерывной в точке хо, если 1) она имеет предел вточке хо) 2) этот предел равен /(хо) — значению функции /(х) в точке хо, 1»» /(х) = /(х,), Так как хо = Ипз х, то равенству(1) можно придать следуюшую форму О Ипз /(х) = /( 1н» х).
Следовательно, для непрерывной функции символ Иго предельного перехода и символ / функции можно менять местами. На языке е — б определение непрерывности выглядит так. Определение 2. Функция /(х) называется непрерывнойвточке хо, еслиллялюбого числа е > О сушествует число б > О, такое, что для всех х 'Е П', удовлетворяющих условию (х — хо( < б, выполняется неравенство ~/(х)-/(хоп < .
(2) При атом в обшем случае величина б зависит как от числа е > О„так и от точки хо. б = 6(е, хо), С помошью логических символов определение 2 записывается в виде (/(х) непрерывна в точке хо) сни <=В(ув > О 36 > О: Фх Е й )х — хо! < б ~ (/(х) /(то) / < е) 2!2 Глава Ч!й. Предел и нвпрермвноств функции одной переменной Подчеркнем, что теперь (в отличие от предыдущих параграфов) мы не требуем, чтобы * М *,, Приведем еше одну формулиров- И ку понятия непрерывности функции в точке.
Пустьфункцияу =,Г(х) опрехо хо+ккх х делена внекоторойокрестностий точ- Рис. 20 ки хо (рис.20). Считая хо исходной точкой, возьмем другое значение аргумента х = хо + Ьх б П, отличающееся от первоначального значения хо на некоторую величину Ьх (все равно, положительную или отрицательную), которую будем называть приращением ареултента. Величину изменения функции назовем приращением функции у в точке хо, отвечающим приращению скх аргумента х. Условие непрерывности функции у(х) в точке хо 11пт 2(х) = 2(хо) можно записать так Эторавносильнотому,что (4) Замечая, что Г(хо + лкх) — Г(хо) = сзу, равенство (4) можно представить в виде 1йп оку =О д -о Определение 3. Функция у =,Г(х) называется непрерывной в тачке хо б П, если приращение Ьр функции в этой точке, отвечающее приращению лкх аргумента, стремится к нулю при Ьх -+ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
