Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Покажем, например, чтофуик- пия /(х) = з!и —,' (рис.7), определенная всюду, кроме точки х = О, Рис. 7 не имеет предела вточке х = О. м Рассмотрим две последовательности („—,) и ~ — „-;), сходящиеся к точ- Г ке х = О. Соответствующие последовательности значений функции /(х) сходятся к разным пределам: последовательность (з!и пи) сходится к нулю, а последовательность (з!и('з + 2пе) ) — к единице. Это означает, что функция /(х) = з!и —,' в точке х = О предела ие имеет. м Звмвчвиив. Обе опревелении превслв функипн в точке !опрелеление Коти и определение Геяне) рввносил ьны. 93.
Теоремы о пределах Теорема 1 (едвмстаенмость предела). Если функция /(х) имеет предел в точке хо, то этот предел единственный. м Пусть Игп /(х) = А. Покажем, что никакое число В ~ А ие может быть пределом е-ее функции /(х) вточке хо. Тот факт, что 1пп /(х) Ф В с помощьюлогическихсимволов ео формулируется так: Эв > ОМб > Одх, х Фхо, ()х — хо! < б) тт (1/(х) — В) > е). Воспользовавшись неравенством ~)а! — !Ь!) < !а — Ь!, получаем !/(х)-В/ = !(/(х)-А)-( — А)~ > !)/(х)-А|-! — АЦ = !!В-А!-!/(х)-АЦ. (1) Возьмем е = ! — ~-! > О. Поскольку 1пп /(х) = А, для выбранного в > О найдется е ее б > О такое, что )/(х) — А! < езтх, х Ф хо, !х — хо! < б.
Глава ЕЕ1. Прваея и непрерывность фтвнни одной пврвнвпвва Иэ соотношения (1) лля указанных значений х имеем )у(х) — В~ > = е. Итак, нашлось е > О такое,что каким бы малым ни было б > О,существуют х ~ хв, такие, что О < )х — хо) < б и вместе стем ~у(х) — В~ > е. Отсюда В ~ йго у(х). и яв Определение. Функция Э(х) называется ограниченной в окрестности точки хв, если существуют числа М > О и б > О такие, что ~У(х)~ <М 'Гх б(хе — б,хв+б).
теорема 2 [ограниченность функции, имеюп1ей предел). если функция э (х) определена е окрест- ности точки хв и имеет е точке хе конечным нредел, то она ограничена е некоторой окрестности этой точки. н Пусть !Пп У(х) = А. вь Тогда для любого г > О, например, для е = 1, найдется такое б > О, что для всех х Ф хв, удовлетворяющих условию )х — хв) < б, будет верно неравенство )у(х) — А! < 1. )у(х)) — )А) < )у(х) — А), Замечая, чтовсегда получим )У(х)) < М.
Это означает, согласно определению, что функция у(х) ограничена в окрестности точки хв. н Напротив, из ограниченности функции у(х) в окрестности точки хе не следует существования предела функции у(х) в точке хв. Например, функция э(х) = э)п —, ограничена в окрестности точки х = О: 1~ э)п -~ < 1 ~х, х ,-е О, х) номе имеетпредела в точке х = О. Сформулируем еше две теоремы, геометрический смысл которых лостаточно ясен. Теорема 2 (переход к пределу в неравенстве). Если у(х) < р(х) для всех х иэ некоторой окрестности точки хь, кроме, быть может, самой точки хе, и каждая иэ функций э(х) и )р(х) о точке хв имеет предел, то 1)щ у(х) < 1цн у(х) в вь в (рис. 8).
1Э(х)1 < )А) + 1. Положим М = щах 0 А) + 1, )у(хь) Ц. Тогда в каждой точке х интервала (хв — б, хо+ б) будем иметь Е 4. вреден функции е бесконечности Заметим, что из строгого неравенства у(х) < у(х) для функций и е обязательно следует строгое неравенство для их пределоа Если эти пределы сушествуют, то мы можем утверждать лишь, что 1вп у(х) < Игл )г(х).
гь г гь Так, например, для фуикпий 1(х) у(х) = х и уг(х) = 1 2хт, хфО, Рис. а выполнено неравенство у(х) < )г(х) 1Гх, в то время как Ип| Д(х) = Ипз уг(х) = О. г-е г 0 Теореме 4 (предел промежуточной функции). Если зг(х) < лг(х) < ф(х) для всех х в некоторой окрестности точки хь, кроме, быть молсет, самой точки хе (рис.р), и функции зг(х) и ф(х) в точке хе имеют один и тот лев предел А, то и функция у (х) в точке хе имеет предел, равный этому зкв числу А, (х) Рис. 9 94. Предел функции в бесконечности Оеределеяие. г1исло А иазывают пределом функции у(х) при х, стрвмлгцемся к бесконечности, и пишут )пп Дх) = А, если для любого е > О сушествует число ге' > О такое, чтодля всех х, удовлетворяющих условию )х) > йг, верно неравенство )у(х) — А~ < е.
Заменив в этом определенииусловие )х) > )ч" иа х > 1ч" или иа х < — Х соответствеиио, получим определеиия Из этих определений следует, что А = 1'пп у(х) г ьг тогда и только тогда, когда одновременно А = 1ип у(х) и А = 1пп у(х) . -кю г- -т Тотфакт, что А = 1)ш /(х), геометрическиозиачаетследуюшее: какой бы узкой ии была е-полоска между прямыми у = А — е и у = А+ е, найдется такая прямая Пусть фуикпия У(х) определена либо иа всей числовой оси, либо по крайней мере для всех х, удоалегворяюших условию )х) > К при некотором К > О. Глава Чй. Предел н непрерывность функции одной переменной х = )Ч > О, что правее нее график функции у = У(х) целиком содержится в указанной е-полоске (рнс.
10)„В этом случае говорят, что при х - +оа график функции у = 3 (х) осимптотически приближается к прямой у = А. пример. Функция 2(х) = ~! определена на всей числовой аси и представляет собой дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель неограниченно возрастает при !х! +со. Естественно ожидать, чта вю 2(х)=0. Покажем зто. и Возьмем любав к > О, подчиненное условию 0 < с < 1.
Чтобы имело места соотношение )-р — — О~ < с, должно выполняться неравенства <е или, что тоже, х е! > 1 ! откуда !х! > ч'! — 1. Таким образам, Рнс. Ю если взять ЛГ = Г- 1, то при !х! > ж т будем иметь (-г-; — 0~ < к. Это означает, что число А = 0 есть пределданной функции при х аа. 1 Заметим, что подкорвнное выражение -, -1 > 0 лищь для к < 1. В случае, когда к > 1, нераввнство -т — < е выполняется автоматически для всея х Е и, ! я +! График четной функции у = -т — асимптати вски приближавтсл к прямой у ы 0 при х ~со. ь ! я ь1 Залпа. Сформулировать с помощью неравенств, что означает 1) !пп 2(х) = -3; 2) 1оп 2(х) = 1; 3) 1цп У(х) = О. 55.
Бесконечно малые функции Пусть функция а(х) определена в некоторой окрестности точки хс, кроме, быть может. самой точки хс. Определение. Функция а(х) называется бесконечно молой функцией (сокрашенно б. м. ф.) при х, стремяшемся к хс, если 1вп а(х) = О. Например, функция а(х) = х — 1 является б.м.ф. прнх - 1,таккак!цп(х-1) = О. Графикфункцииу= х-1 я 1 изображен на рис. 11. Вообше, функция а(х)=х-хо является простейшим Рис. 11 примеромб.м.ф. при х- хс. Принимая во внимание определение предела функции в точке, определение б.м.ф.
можно сформулировать так. 201 $ $. Бесконечно мннмо Еуницнн Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой при х — хо, если для любого е > О сушествует такое б > О, что для всех х, удовлетворяюших условию О < 1х — хо! < б, верно неравенство !а(х)~ < е. Наряду с понятием бесконечно малой функции при х -+ хо вводится понятие бесконечно малой функции при х — оо, х — +ос и х — — оо. Определение. Функция а(х) называется бескопечпомалой при х — оо, если 1пп а(х) = О. к т Если !1в а(х) =О или !цп а(х) =О, к +са к — сО то функция а(х) называется бесконечно малой соответственно при х — +ос или при х — — оо.
Например, функция а(х) = —,', х ф О, является бесконечно малой при х - оо, поскольку!1в ~ = О. Функцияа(х) = е *естьбесконечномалаяфункцияприх-ч+оз, к ОО* так как !!в е * = О. В дальнейшем все понятия и теоремы, связанные с пределами функций, мы будем, как правило, рассматривать только применительнок случаю предела функции в точке, предоставляя читателю самому сформулировать соответствуюшие понятия и доказать аналогичные теоремы для случаев, когда х — сю, х ч +ос или х — — оо. Свойства бесконечно малых функций Теорема Б. Если а(х) и,б(х) — б. м.
ф. при х — хо, то их сумма а(х) + р(х) есть такоке б,м.ф. при х — хо. ~ Возьмемлюбоее > О. Таккака(х) — б.м.ф. при х- хо,тонайдетсяб! > Отакое, что для всех х ~ хо, удовлетворяюших условию 1х — хо! < б!, верно неравенство 1а(х)~ < †, 2 По условию !1(х) также б.м.ф.
при х — хо, поэтому найдется б! > О, такое, что для всех х ~ хо, удовлетворяюших условию ! х х о ! < б г верно неравенство 2 (2) Положим б = в!п(быбз). Тогда для всех х ф хо, удовлетворяюших условию !х — хо! < б, будут одновременно верны неравенства (1) и (2). Поэтому !1а(х)+)1(х)/ < ~а(х)/+ /!У(х)/ < — + — =Е чх, х~ хо, !х — хо! < б. 2 2 Это означает, чтосуммаа(х)+д(х) естьб.м.ф. при х- хо. м Глава чап предел и непрерывность фуякции одное леремеииоа Замечание, теорема остается справслзиеоа лля суммм любого конечного числа функций, б.м. при я — зо. Теорема 6 (произведение б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
