Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Возьмем какое и сс угодно е > О. Тогда найдется такой а, ан А — е ан„А а„„А+е а, номер Х, что все члены а„с номерами Рис. 7 и > Ю будут содержаться в интервале (А — е, А+ с), а вне этого и нтеРвала могУтоказатьса только точки а ), аэ,..., ак (Рис. 7). Последних конечное множество. Поэтому среди них есть самая левая точка а, и самая праваяточка а . Обозначим через т меньшее иэдвухчисел а и А — е: пт = ппп(а, А — е), а через М вЂ” большее из чисел а+ и А+ е: М = тпах(а+, А + е). Тогда на отрезке (т, М) будут находиться точки а,, ам..., а,у, а также интервал (А — е, А + е), содержащий все точки а„с номерами а > 1!г + 1.
Следовательно, отрезок (тл, М] будет содержать все члены данной последовательности (аи), что и означает ее ограниченность. М И э теоремы 4 следует, что необходимым условием сходи мости последовательности является ее ограниченность. Однако для сходимости последовательности условие ограниченности достаточным не является. Пример. Ограниченная последовательность !.о.),о,(,... расходится.
а предположим протимюе, т.в. что последовательность (3) имеет предел, равный числу А. Тогда для любого с > о, в 'астности, для с = -, должно найтись натуральное число дг такое, что ! 1 )о„— А) < — уп > Лг. Поскольку члены последовательности (3) равны то единице, то нулю, будут выполняться неравенства 1 1 (о-А)=141< — и 11-А( <- уп>)у, 4 4 откупа легко вытекает, что 1 1 1 1 = 1(1 — А) + А) < 11 — А)+ )А) < — + - = -, 4 4 2' т е, 1 < -.
! Полученное противоречие свидетельствует о том, что наше допущение о сходимости последовательности (3) неверно. Значит, послвдоввтвлыюсть (3) предела нв ииеет, т.в. рлсходитоь и Ьт. аеаФмстнчеаме сасрмое иаа сжнащамаса ясстдсеатетнсстатм 161 9 7. Арифметические операции над сходящимися последовательностями Теорема 6. Если последовательности (аи) и (Ьи) сходятся, то сходится и последовательность (аи + Ьи), причем !ип (аи + Ь„) = 1ип аи + 1ип Ь„.
(1) м Пусть 1ип а, = А, !ип Ьи ои В. Тогда для любого е > О найдется номер Ат1 такой, и оо и от чтодля всех я > К~ будет верно неравенство '1а„— А~ < —. 2 Аналогично найдется номер Фт такой, что для всех и > ттгз будем иметь е 1Ь„- В! < —. 2 (2) (3) Положим М = шах(Кы Кт). Тогда для всякого и > К будут одновременно выпол- няться неравенства (2) и (3). Поэтому для всех и > К будем иметь !(аи + Ьи) — (А + В) ~ = 1(аи — А) + (Ьи — В) ~ < 1а„— А! + 1܄— В/ < — + — = е. 2 2 Согласно определению, это означает, что последовательность (аи+Ьи) сходится и имеет место равенство (! ). м Теорема 6.
Если последовательности (аи) и (Ьи) сходятся, то сходится и последовательность (аи — Ьи), причем 1ип (аи — Ьи) = !ип аи — 11пт Ь,. и и Теорема 7. Если последовательности (аи) и (Ьи) сходятся, то сходится и последовательность(аи Ь„),причем 1ип(аи Ьи) = 1ип аи 11ш Ьи. и оо и-.оо и оо Тесрема8. Если последовательности (аи) и (Ьи) сходятся, причем Ь„~ О Уп и 11гп Ьи та О, и от то последовательность (ф) токзие сходится и Иш аи аи 1ип — = —, Ьи йш Ь. Теорема остается справедливой для суммы любого конечного числа сходяшихся последовательностей. Похожими рассуждениями доказываются следующие утверждения.
Глееа УИ, Чпслоеые ыпопеетев Чпелоеые пасяедойетепьностп $8. Монотонные последовательности Определение. Последовательность (а„) называется неубывающей, если а~ < аз <... < а„< а„ь, <... Последовательность (а„) называется невозростоющей, если а1 > аз »... а„> оп ы >... Определение, Последовательность (а„) называется монотонной, если она является либо неубываюшей, либо невозрастаюшей. Неубывающая последовательность (а„) будет ограниченной, если она ограничена сверху, т.е.
если сушествует такое число М, что а„< М ~тп. м В самом деле, в этом случае все члены последовательности лежат на отрезке [а, М[. ь Невозрастаюшая последовательность (а„) будет ограниченной, если она ограничена снизу, т. е. если сушествует число тл такое, что а„> тл 'сгп. м Все член ы последовательности (а„) будут лежать на отрезке [тл, а, ]. ь Теорема 9.
лтсякоямонотонноя ограниченная последовательность имеет предел. м Так как последовательность (а„) ограничена, то множество ее элементов имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. Пусть М вЂ” точная верхняя граньмножества элементов последовательности (а„). Покажем, что если (а„) — неубывающая последовательность, то !пп а„ = М.
я со Согласно определению точной верхней грани, для любого числа е > 0 можно указать элемент ан такой, что ан > М вЂ” е и ан < М. Из этих двух неравенств следует двойное неравенство 0 < М вЂ” ан < е. Так как (а„) — неубываюшая последовательность, то при туп > АГ верны неравенства 0 < М вЂ” а„< М вЂ” ан. Отсюда вытекает, что О< М вЂ” а„<е, или [а — М[<е чп>лг.
Это означает, что число М есть предел последовательности (ан) . Аналогично доказывается, что если (ая) — невозрастаюшая ограниченная последовательность и пт — точная нижняя грань м ножества элементов последовательности, то !!ш а„= т. ь Земеяеипе. Монотонность не яатяется неоахолимым Гслоаием схолимости послелоаательности. Например, иемонотоиная послелоеатсльность [ ! схолится: йп а„= В. Из теоремы 9 следует важное свойство стягиваюшейся системы вложенных отрезков.
$9. Число е заз Зта лемма выражает замечательное свойство непрерывности множества действительных чисел или свойство полноты числовой прямой (сплошное, без *дырок», заполнение этой прямой действительными числами). 99. Число е Рассмотрим последовательность (а„) с обшим членом о„= !+в (1) Выпишем несколько ее первых членов: 1т2 1 а, =2, агг» 1+-) =2+-, 2 у 4' Легко видеть, что аг < ог < аз. Пользуясь формулой бинома Ньютона' ), можно показать, что последовательность ((1+ -„') ) монотонно возрастает и ограничена, причем 1з 1 1 оз — — 1+ — ) = 2+ — +— 3/ 3 22 и 2< 1+ — ) <3 1п.
Значит, эта последовательность имеет предел, которы й обозначают буквой е, еае Вш !+в Число е иррациональное, е ра 2,7183.... По некоторым соображениям число е удобно выбрать в качестве основания для системы логарифмов. Логарифмы по основанию е назывшотся натуральными логарифмами. Натуральный логарифм числа х > 0 обозначается символом 1и х. 1 Форму»ай бинома Л»юнона называется формула (а Ь 6)» — а» Ь вЂ” а» 6.1- — а» Ь .~- 1- '' и» » в гг » г п(п 0 «-г г н(н — 0 ...(н — ь + 1) » а а 2! ы гле, по»прел»пению, К =! 2 3" Ь. В частности, (а+Ь) =и ь — аЬ-~- — 6 =а +2»Ь+6, г 2 21г г 1! 2! (а + ь) = а ч- — а ь е — оь + — ь = а е за ь + заь + ь, з з З г З'2 г З'2'1 з з г г з 1! 2! 21 т.е.
получаем знакомые формулы клалрата суммы и куба суммыЛвух слагаемых, Лемма (Кантор). Пусть задана последовательность отрезков а„= (о„, Ь„), = 1, 2,..., вложенных друг в друга, т. е. таких, что а„»1 С гг» (и = 1, 2,... ), с длинами, стремящимися к нулю: а»»» Ь» — о» - О при и — со. Тогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем отрезкам а„. Глава Мь Числовмв множества. Числовые поелваоватрльиости Эаивчшиш. Сушествование предела последоватетьности ((! + Б ! ) можно доказать есяи воспояьзоваться неравенством Бернуяли.
»» < Всамомлелс. всилуэтогонеравенства а„= (1+ а ! > 1+ и „- = 2, т.е. последовательность(а„) ограничена снизу. Рассмотрим последовательность (Ь„), тле Ь„= (1Ь -) е. = ~1ь -) = ( — ) Ясно,что Ь„= (1+ ~)я„> 2 Чп, Имеем Ь„("— „")""' (.+ О"" Ьа»! У!в»!тает и"е'(п+ 2)"+7 1вы/ (п+ 1)зв+' ' (п .1)ы'4 (и+1)(кп+ 1) — йкп+ О+1)) п+ ' ((п+ ') п+! !(и+1)т:1! по1 [ (пьцз — 1~ Применив опять неравенство Бернулли к выражению »2 (п+ 1)7 — 1~ 1 -)- получим т.е.
Ь„> Ья»!. Таким образом, последовательность (6„) — невозрастаюшая и ограниченная снизу и потому имеет предел. Но тогда сушествуст и предел последовательности (а„), причем Ь„ Бш я„=  — = Вш Ь„. Ш ь-ю " »»»» 1 ! п х в 910. Комплексные числа и действия над ними В этом параграфе изложены основные определения и факты, относягциеся к понятию комплексного числа, действиям с комплексными числами и их геометрической интерпретации. Камллексиыи числом называется выражение вида л»п х + (у (алгебраическая форма записи комплексного числа), где х и у — произвольные действительные числа, а з — мнимая единица — удовлетворяет условию з = — 1. Числа х и у 7 называются соответственно дейстяггшельной (яеи(ественной) и лип!мой частями комплексного числа л = х + зу. Обозначения: х =Вел, у =!птл.
Комплексное число вида х + зО отождествляется с действительным числом х. Комплексные числа л! = х! + зу! и л7 — — х7 + ту7 называются равными, л! — — л7, если х! = х7 и у! = У7 Введем алгебраические операции над комплексными числами. 1) Сложение. Суммой л! + л7 комплексных чисел л! — — х! + зу! и дз — — х, + зу7 называется комплексное число л = л! + л7 = (х! + хз) + 3(у! + У7). $ Ю. Кнюлнннннн члена н анаетннн нля нннн Непосредственно проверяются основные законы сложения — перемести тельный: и сочетательный Сложение допускает обратную операпию — вычитании для любых двух комплексных чисел х, и аг можно указать такое число а, что л, = а + аг. Это комплексное число л называется разлвсглью комплексных чисел г, и аг и обозначается через а1 — аг. 2) умножение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
