Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2. Построим характеристический многочлсн а!! — С ... а1„ а! ... Оип — С Опишсм алгоритм, посредством которого для произвольной квадратичной формы„ заданной в в-мерном координатном пространстве, строится базис, в котором зта квадратичная форма имсстдиагональный вид. и м пУсть,сг(х, х) = ~ отзЕО~ — заданнаЯ квадРатичнаЯ фоРма. \,) ! 1.
Выпишем матрицу квадратичной формы Гааза И. Линейные отображаем и найдем его корни (в силу симметричности матрицы все корни вещественны). Запишем их с учетом кратности: Л,«... Л„. 3, Пусть Л вЂ” один из этих корней, кратности й. Одноролная линейная система с матрицей имеет ровно й линейно независимых решений (образующих фундаментальную систему решений). Ортонормировав ее, получим й попарно ортогональных решений единичнойдлины. 4. Поступая так с каждым корнем характеристического многочлена, получаем набор ровно и попарноортогональныхзлементов единичной длины, т.е.
ортобазис (н..., („ пространства К". й. В построенном ортобазнсе ( = (т,,...,(„) заданная квадратичная форма имеет диагональный вид: ,сг(х, х) = Л,(ту')~ + ... + Л„(О")~, где х = ту'(, +... + ту" („. Ь Определение. Квадратичная форма с~(х, х) = ~~~ а„('(э (6) Ц ьп называется положительно определенной или энакоположительной, если лля любого ненулевого элемента х (нли, что то же, для любого ненулевого набора 4',..., 4") выполняется неравенство М(х,х) ) О.
Примером знакоположительной квадратичной формы может служить сквллрныд квадрат произвольного вектора Е = (С'..... (") координатного пространства: М) =((')'- " и-(с")' ы После приведения знакоположительной квадратичной формы к диагональному виду получаем .су(х, х) = Л,(О')э+... ф Л„ф')', где Л~ ) О,..., Л„) О. Критерий Сильвестра (эпааоположятельноети ввалратичиой формы), для того, чтобы квадро тичнал форма (6) была энакоположительной, необходимо и достаточно, чтобы все миноры вв матрицы, расположенные в левом верхнем углу, были положительны, и е.
ан ... огв (ам ... аы( аы аээ1 аы... аы ат ... алл 161 а 7. Квадратичные формы Метод Лагранжа Сушествует еше один (простой) метод приведения квадратичной формы к диагональному виду, удобный, например, при получении ответа на вопрос, является ли квадратичнаяформазнакоопределенной или нет. Этотгиептодгуаграмзса, ттлиметодвыделения полного квадрата, заключается в следуюшем. Пусть .тт(х, х) = ~~т а,ге Сг аз=! — заданная квадратичная форма и ац ~ О. Выпишем сначала все слагаемые, содержашие переменную ~', и преобразуем пятак: а11(с') +2ад('( +... +2а~Д с" = =ап (с) +2 — (~ +, +2 — се т' |г ап 1г аы ан ан г и /, ап, а~н „'1 х она|э =о ~(+ — ф +."+ — 1 ~ — 2 — Й.
ан ан . ан сг=г Полагая а|г г аы т) =4+ — б+...+ — ~", ан ан та=С", а=2,,п, получаем, что ,тт(х, х) = ан(тг')' + ~, а,'гтгт тут, су=г где анап а" = а"— тт тт ан Замечая, что выражение ,с~,(х, х) = ~ а';гтгтт71 тб=г также является квадратичной формой, но уже зависяшей от меньшего числа перемен- ных, вновь выделяем полный квадрат и т.д. Если ан = О, но отлично от нуля ан(2 ( т ( и), то применяем тот же прием, но уже к переменной ('. Если все коэффициенты при квадратах неизвестных равны нулю, ан = ... а„„= О, то тогда следует начинать с преобразования коораи наг вида с =О'+О', Е'=он, а= 3, В результате проведенного преобразования координат, в частности, получи м 2атг4 с = 2ад(тг') — 2аа(тУ ) .
И, тем самым, придем к общему случаю. ~ а ЗвК. 7КО 162 Глава РЬ Пикейные отображения Пример. Методом Лагранжа привести к диагональному виду квадратичную форму .г/(х, х) = 2хр ч- 2рк + 2кх. В Введем новые координаты й, р, й: *=я+у, р=й-р, х=г.
Тогда ,гу(х, х) = 2й — 26 + ейг = 2(й' е 2йй) — 2й = 2(й + к) — 2рг - 2г . Положим й = й + й, р = р, г = й и получим Зг(х, х) = 2й — 2р — 2г, М г Замечание. недостаток метода Лагранжасостоит в том, что при укатанных преоарагованиях координат новые коорлинатные оси уже не явлжотся попарно ортогонвяьными, Сушествуют и другие способы приведения квадратичной формы к диагональному виду. Сравнивая результаты описанных выше двух способов приведения квадратичной формы 2ху + 2ул + 2ях к диагональному виду (речь идет о последних двух разобранных примерах), можно заметить, что в них соответственно одинаковьс число отрицательных коэффициентов и число положительных коэффициентов.
Это совпадение не случайно, а является важным свойством квадратичных форм, называемым законом инерции: число полохсительных, число отрицательных и число нулевых коэффициентов при квадратах неизвестных в диагональном виде «вадратич ной формы всегда одни и те нее и не зависят от способа приведения квадратичной формы к этому виду. 58. Классификация кривых и поверхностей второго порядка Применим описанный выше алгоритм приведения квадратичной формы к диагональному виду для классификации кривых и поверхностей второго порядка.
А. Кривые Рассмотрим обшее уравнение кривой второго порядка на плоскости Оху: ахг+ 2Ьху+ суг+2дх+2еу+ Г = О, аг-~Ьг+сг > О. Построим матрицу квадратичной части ох'+ 2Ьху+су'. и) Найдем корни Л1 и Лг характеристического многочлена и соответствуюшие им собственные векторы т и 2 (единичные и взаимноортогональные).. Возьмем эти Рис. а векторы за орты новых осей Ох и Оу (рис. 8). Переходя к новым координатам й и у, получим Л~х + Лгу + 2дх+ 2еу+ у = О. Возможныдва случая: 1) Л~ Лг ф О, 2) Л~ (или Лг) равно нулю. б б.
классификация явями н поверхностей игорого порядка В первом случае сдвигом точки начала отсчета д е «=й+ —, У=у+— Л,' Л, добиваемся исчезновения линейных членов (как это описано в п. 1 Э 7 главы 1П) Далее, как это и делалось в п 2 5 7 главы П1, рассматриваем всевозможные сочетания знаков у коэффициентов Л!, Лг и у.
В результате получаем: эллипс, гиперболу, пару пересекающихся прямых, точку, пустоемножество. Во втором случае (положим для определенности Л, = О, Л, Ф 0) сдвигом начала отсчета е У =у+— Лг Х = В+а„ отуравнения Лгу +2йк+ 2еу+/ = 0 приходим к уравнению Если д ~ О, то, полагая а = А, соответственно получим 24' С::::=:3 Л,Уз+ 2д« =О (наробила). Если же Й = О, то взяв а = О, имеем Л2У'+ У се О В зависимости от знака т'- получаем: пару параллельных прямых, пару совпадающих 2 прямых, пустое множество. Замечание. Операция отыскания корней характеристического многочлена квадратичной части уравнения кривой и взаимноортогонаяьныхединичных собственных векторов, описанная здесь, заменяет уничтомение произведения разноименных координат путем поворота на подходяший угол (см, б г главы 1!1).
В случае поверхностей второго порядка дело обстоит сломиее (и для того, чтобы разобраться с классификапией до конов, нужны и вниманием терпение). Б. Поверхности Общее уравнение поверхности второго порядка имеет следующий вид апх +2ацаУ+ 2а!зкх+ аггУ + 2аырд+ амв + 2аиа+ 2а24У+ 2аз,а+ а44 = О, 2 2 2 где г 2 г а!1+ам+ а!з+ сам+ агз+азз > О. Упростим вид квадратичной части этого уравнения (подчеркнута), пользуясь описанным выше алгоритмом. Построим матрипу < а1! ап ан ь! ап ан агз ~ ам агз азз Гаага Ч1. Линейные етобрапеыы 164 найдем корни Л н Л2, Лз характеристического многочлена ! ан — 8 ац а~2 ац а22 — Ф а22 а12 а22 азз — Ф Л,й + Лзу + Лзг + 2а,4У+ 2а24у+ 2а24г + он = О.
(4) Возможнытрислучая: (1) Все три кормя Лм Л2, Лз отличны от нуля. Путем сдвига начала а!4 а24 а34 Х=й+ —, у=у+ —, В=у+в Л2 ' Л, уравнение (*) поверхности приводится к следуюшему виду в а44~ 0. а) Л|„Л2 и Лз имеют один и тот же знак, противоположный знаку а44. Полагая Ь = — —, 2 а44 а44 Л2 ' Лз ' а 44 а =-— л получаем уравнение зллипсоидо )З) Знаки Л1 и Л2 противоположны знаку а44, а Полагая 2 а44 2 ам а=- —, Ь=- —, л, ' л, ' получаем уравнение одпополостпого гиперболоида знаки Лз и а44 совпадают. 2 ам с = —, Лз у) Знаки Л~ и Л2 совпадают со знаком а44, а знаки Лз и а44 противоположны. Полагая 2 4444 2 а44 2 а44 а= —, Ь= —, с=- —, Л, ' Л, ' Л, ' получаем уравнение дпуполостпого гиперболоида и соответствуюшие им собственные векторы Т, 1, й так, чтобы они образовывали ортонормированную тройку (это всегда возможно).
Возьмем векгорыТ,1 и й за орты новых координатных осей ОУ, ОУ, Оа. Производя замену координат, получим $ В. Классификация криамк и поверхностей второго первака б. ая,= О. а) Если Л,, Лз и Лз имеют один и тот же знак, то получаем точку (О, О, 0). )Э) Если одно из Л; имеет знак, противоположный знаку двух других, то получаем уравнение конусе впторого порядка (й) Ровно один корень равен нулю(лля определенности Лз = 0).
Полагая Хщй+ —, 2'=У+ —, ам азе л, ' л, ' получим а, азя ~ О. Тогда сдвигом точки начала отсчета к = .Т, р щ 2', г = Е+— а44 2гтзе получаем уравнение вида а) Если Лз и Лз — одногознака,то, полагая азя азя р= — >О, д=- — >О л, ' л, (можно считать, что знак азя противоположен знаку Л1 и Лз, 'этого всегда можно лобьпься, поменяв в случае необходимости ориентацию оси г на противоположную), получаем уравнение зяяиилчического иороболоидо 2г = — + —. )3) Если Л~ и Лз имеют противоположные знаки, то, положив с" 34 азе р=- — >О, в=+ — >О, л ' л получим уравнение гиперболического лороболоодо о й р 2г = — — —. Р б. а,я = О. Тогда уравнение поверхности имеет следуюцзий вид Классификация поверхностей с уравнениями такого типа приводится в таблице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
