Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Однородная линейная система апз!+... +пыз„=о, ои!*, +... + ои„*„= О, имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. и — г, где г — ранг матрицы коэффициентов однороднгй системы, а и — число неизвестных. Ь пример 3, Размерность линейного пространства м„многочленов степени не выше н равна и+ 1. ° Так как всякий многочлен Р(1) степени не выше и имеет вид Р(1)=асье,г+... +о„1", то достаточно показать линейную независимость элементов е! = 1, е! = 1, .
еьч! =,1 . Рассмотрим равенство ое 1 + о! 1+... -1- о„. 1" = О, где 1 произвольно. Полагая 1 = О, получаем, что ае = О. 5 Зэк. 7Ж 1ЗО Глава р. Пннейнве н евклидевм врострвнствв Продиффвреицируем равенство 13) яо 1: а, + 2азз+... + на„т" ' =О. Вновь положив 1 = О, получим, что а~ м О. Продолжвя этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что ав м а1 =...
= а„= О. Это означает, что системе элементов е1 = 1,..., еим = 1" линейно независима. Следоввтельно. искомая рвзмериссть равна и ж 1. ь Линейное пространство, размерностькоторого равна и, называется п-мерным. Обозначение: д(пз У = и. Саглвюение. дэлее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что рэзнсрность линейногого пространства р рввнви. Ясно, что если ТУ вЂ” надпространство и-мерного линейного пространства У, то д!Гп ФУ < и.
Покажем, что в и-мерном линейном пространстве У есть линейные подпространства любой размерности й < п. т Пусть е = (е, ... е„) — базис пространства !". Легко убедиться втом, что линейная оболочка тУя = Х(ем..., ея) имеет размерность й. м По определению д)пт(О) = О. Теорема 6 (о пополнении базиса).
Пустьсистемаэлементов ам..., ая линейногонространства У размерности п линейно независима и й < п. Тогда в пространстве У найдункн элементы аьч н..., О, такие, что система а1,..., ая, аз+1,, а„— базис У. ° Пусть Ь вЂ” произвольный элемент линейного пространства У. Если система а1,..., аы Ь линейно зависима, то (4) Ь ='а1а1+... +аяая, так как в нетривиальной линейной комбинации Л1а1+... + Ляая+)зЬ = 6 коэффициент р Ф О вследствие линейной независимости системы а1,..., ал. Если бы разложение вида (4) можно было бы написать лля любого элемента Ь пространства У, то исходная система а „..., ая была бы базисом согласно определению.
Новсилуусловия й < и этоневозможно. Поэтомудолженсушествоватьэлемент аз+1 Е У такой. что пополненнаа система а„..., аы,ая+, бУдетлинейно независимой. Если й + 1 = и, то эта система — базис пространства У. Если й+ ! < и, то для системы ан..., ам аяч1 следует повторить предыдушие рассуждения. Таким способомлюбуюзаданнуюлинейно независимуюсистему элементов можно достронтьдобазисавсего пространства У.
м пример. дополнить систему из двух векторов в, = (1,2,0,1), вз = (-1,1,1,0) пространства и до базиса этого пространства. ч Возьмем в пространстве Ж" вектцзм вз = (1,0,0, 0) и вч = (О, 1,О, О) и покажем что система векторов вь вз, вз, вз — бвзис И~. 3 5. Эамвнв базиоа зэз Ранг матрицы в строками которой являются координаты ввкторов а„аи аь ам развя чвтырвм Это означавт, что отрсиси матрииы А, а, значит, и ввкторы аы аз, аи ач линейно нвзавиоимы. ° Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему й линейно независимых элементов а~ = (ап,..., а~я),, аь = (азы, аая) до базиса пространства К', матрица элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — и строками вида (О...
1... О) так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение. Твереза 7. Пусть Иг~ и Ига — линейные надпространства линейного пространства И. тогда йш(Иг~ + И'з) +йш(И'1 гз Ига) = днп И', + йш Игн 95. Замена базиса Пусть е = (е, ... е„) и е' = (е', ... е'„) — базисы линейного пространства И. Разложим элементы базиса е' по базису е. Ймеем я е', = о'е~+... +отче„= ~ о,'еп т'=1,...,п. (1) Эти соотношения удобно записать в матричной форме (2) Матрица называется матриней перехода от базиса е к базису с'. Глава у. Лннваннв н ввомамнг лрввтрвнвтвв тза Свойства матрицы перехода 1, де18 те О. м Доказательствоэтого свойства проводится от противного. Из равенства бет 8 = О вытекает линейная зависимость столбцов матрицы 8.
Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е',,..., е'„в базисе с. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е'„..., е'„должны быть линейно зависимыми, Последнее противоречит тому, что с' — базис. Значит, допушение, что бег 8 = О, неверно. м 2. Если С',..., С" и С",..., С вЂ” координаты элемента х в базисах с и с' соответственно, то (3) < Заменяя в формуле п и х = ~~~ С'е; = ~ Сое' тти утп е' их выражениями (1), получаем, что Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем С' = ~~» тт)С ~, т = 1,..., и.
т'=! Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2, ь 2. 8 ' — матрица перехода от базиса е' к базису е. м Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу 8 ~ справа. 1ь 9 6.
Евклидовы пространства Вешественное линейное пространство И называется (вещестнвеннмм) евклидовмм пространством, если любым двум элементам х и у из тг ставится в соответствие число, обозначаемое через (х, у), такое, что для любых элементов х, у, * и произвольного вещественного числа а выполняются следуюшие условия: 1. (х,у) = (у,х); 2. (х + у, г) = (х, д) + (у, г); 3. (ах, у) = а(х, у); 56, биюмйоиы иростринстви 4. (х, х) > О; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = О. Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у.
Примеры аиклийоиых иростринсти. 'ь В пространстве свободных векторов У! скалярное произведение векторов а н Ь определяется так; (а, Ь) = )з))Ы соз(а, Ь). 2. Скалярное произведение произвольных элементов д = ((',..., (я), т) = (тз,..., я") из координатного пространства и" можно определить формулой ! я (е,ч) = 2.сто 1=! 3. Линейное надпространство евклидова пространства само яалнется евклидовым пространством. Пользуясь определением евклидова пространства, метрудно доказать следующие свойства: 1. (В, х) = О; 2. (х,ау) =а(х,у); 3. (х, у + т) = (х, у) + (х, т); м ! ы 4 (К;;, Д',Луг() =Д.З. Л(!лытГГ !=! 3=! г=! з=! Теорема 8 (неравенство Каши-Буняковского). Ялл любых двух элементов х и у евклидова ' нрастранства У сг!рпвеДзнва неравенства (х,у) < (х,х)(у,у), < Если (х, х) = О, то х = 6.
и меравенство выполняется вследствие того, что (В, у) = О. Обратимся к случаю (х, х) 4 б. Тогда (х,х) > О. По определению скалярного произведения неравемство ((х — у,(х — у) > О (1) справедлмаодля любьр! элементов х и у из пространства )г и любого вешествен ного числа Е Запишем неравенство ( 1) подробнее: 1 (х,х) — 21(х,у)+(у,у) > О, Левую часть последнего неравенства зюжно рассматривать как квадратный трехчлен относительно Е Из того, гго знак этого квадратного трехчлена не изменяется при лю- бых з, заключаем, что его дискриминант неположителем, (х, у) — (х, х)(у, у) < О.
Перемося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство. м Замечание, Часто доказанное неравенство записывают в равносильной ферми Кх, у)1 < )х) )у). Следует подчеркнуть, что слсвв в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, в в правой части — нормы векторов х и у. Глава у. лннаанма и аааандаам ароетранотаа Определение. Длиной (нормой) элемента х называется число )х1, вычисляемое по правилу 1х~ = Х/(х, х). Ясно, что 1х! > О для любого х, причем равенство (х) = О возможно лишь в случае, если х = О.
Рассмотрим цепочку равенств: ~х + у~ = (х + у, х + у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у) = ~х( + 2(х, у) + !у~ . Заменяя второе слагаемое на 2)(х, у)$ > 2(х, у) и применяя неравенство Коши — буняковского 1(х, у)( < (х/ 1у(, получаем, что 1х + у~ < )х! + 21х) )у$ + !у( = ((х) + !у1) . После и зале че ни я квадратного корня приходим к неравенству треугольника: ~х+у~ <1х~+ 1у) Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова иространства называется число р, подчиненное следуюшим двум условиям: Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем — 1«- ' ! (х, у) (х! )у! для любых ненулевых элементов х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
