Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 17
Текст из файла (страница 17)
+ О х„=,б„'„) ~ О, и никакой набор чисел тн..., Тн не может обратить его в тождество. 06РатимсЯ к слУчаю, когда )У,г, = О. Тогда только пеРвые т стРок матРицы А (г) будут отличными от нуля. Выпишем соответствуюшие уравнения. Для простоты записи будем считать, что )с)=2, ..., Й,=т (этого можно добиться, временно перенумеровав искомые неизвестные: у~ = х,, ут = хи„, у, = хь,,... ). Имеем (~) О) О) (О О) «тц х~ + од хт +... + гхн х„+ . ° ° + о~~хи — )у~ (з) р) р) р) (ты хг+ ° ° + от„хг + ° ° + ознхи = Рт (г) (г) (г) о„„х, +...
+ стгн хн = (Зг где а„Ф О, ан ~ О,..., агг Ф О. Возможны два случая: (1) (2) (г) 1. Число неизвестных п и число уравнений и в системе (н') равны, и = и. Тогда система (*') имеет вид: (~) (~) (О (4) (и ан х) + ар х)+... + а, „,х„, + аых„= Д р) (» (г) ()) оп хт + + "т, ~х„-, + стт * = )уз * (н-! ) (н-и ( -и а„, „, х„~ + ан, „х„= )тн,, (н) (и) аннхн = Р„, $6. Системз амейнык урввиемй ГДЕ азз ~ О, й = 1,..., П. ИЗ ПОСЛЕДНЕГО УРаВНЕНИЯ ОДНОЗНаЧНО ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЗиаЧЕ- (ь) ние неизвестного х„. Подставляя его в предыдущее (и — 1)-е уравнение, находим значение неизвестного х„! и т.д. Наконец, подставляя найденные значения неизвестных х2,..., х„в первое уравнение, однозначно определяем значение неизвестного х1.
Таким образом, в рассматриваемом случае (при и = и) система (в') имеет единственное решение. Это же верно и дяя системы (4). 2. Число неизвестным в больше числа уравнений г, п > т. Придавим неизвестным х,+1,..., х„(ик называют свсбогумыми) произвольные значения 7„+ ы..., 7„и, перенося соответствующие слагаемые в правые части уравнений системы, получим О) (1) ( О (1) (1) (!) а„х1+а12хг+ . +а(,х„=)71 а1, +17+1 ° о1л7н (2) (2) ОО (2) (2) о!2 х2+ +о!„х =)92 о2, 4!Ъ+! ... — 412„7 „ <г) .<.) (и <и а„,х„=м, — а„„!7,4! —...
— а„„7,. Как и выше, мы можем последовательно определить значения главных неизвестныкх,! х„ы..., х2, х1. Посколькузначения7,41,..., у„быливыбраны Произвольно, то в рассматриваемом случае множество решений линейной системы бесконечно. Пример ь Рещить систему ( ЗХ1 — 5Х! + 2ХЗ + 4Х4 = 2, 7х! — 4хз+ хз+Зхч =5, 5х!+7х! -4х! -6х, = 3 ц Составим рвсщиренную матрицу системы, А= 7 — 4 1 3 5 и приведем ее при помощи элемвнгесньа преобразований с!рак к сгупвнчвчой мвязнцв.
1-й щвг. Чтобы получить элемент в позиции (1,1) рввньы 1, вычитаем из второй строки удвоенную первую строку и затем меняем ик местами. Тогда Аю 3 -5 2 4 2 Вычитаем из второй и третьей строк первую, умноженную нв 3 и 5 соответственна Получим, что 1 6 — 3 -5 1 Аю~ 0(-23 11 19 -1 О ) -23 11 19 -2 2-й цюг. Вычитаем из третьей строки в!сдую 1 6 -3 — 5 А~ О~ -23 11 19 — 1 О О О О Система несовместна, твк квк гвпад = 2, в гела А = 3.
!ь Пример 2. Рвщить сиоп!му 2х! + 5х! — 8хз = 8, 4х! + Зх! — 9х! = 9, 2х! + Зхз — 5х! = 7, х! + 8х! — 7хэ = 12. Глава П!. Матрицы, Ойэедвшгшлн. Лннвйныв снсземм 112 Пршшй зод. 1-й швг. Пшэеставим первую и чвтвертуо строки. Тогда элемент в позиции (1, 1) будет равен !. Вычитая затем из всех строк первую строку, умноженную соответственно на 4, 2 и 2, получаем д 4 3 -9 9 О -29 19 -39 2-й шаг. В о избежание громоздких вычислений вычитаем из второй строки удвоенную третью строку, а из третьей четвертую. Ватам у полученной матрицы вычитаем из второй строки третью: -5 ы.
0 -1 -2 Вычитая из Пштьей и четвертой отрок вторую строку, умноженную на 2 и 11 соответственно, получаем, что Э-й шаг. Вычитаем из четвертой строки третью, умножвнную на 4. Затем умножаем элементы третьей строки на —,: ), 1 8 1 8 — 7 12 0 — 1 — 2 0 0 1 0 -1 АО 0 0 0 0 0 0 Система совместна, так как тапа А = тапа А = 3, и имеет единственное решение, так как ранг матрицы равен числу неизвестных. Таким образом, исходная система эквивалентна система < х! + 8хт — 7хэ = 12, -хт — 2хэ = -4, хэ=1, Обратный хад. И э третьего уравнения сразу видим, что х ! = 1. Падотавив Зто значение х ! во втарае уравнение, получаем -хт — 2 = — 4, откуда хт = 2. После подстановки найденных значений для х! и х! в первое уравнение полу вем х! .1-! б — 7 =!2, откуда х! = 3.
Система имеет единственное решение: х!=3, хт=2, хз=1. ш Пример Э. решить систему С Зх! — 2хт + 5хэ 1-4хч = 2, бх! — 4хт + 4х! + Зхч = 3, 9х ! — бхт е Зхэ ч- 2хк = 4. ы Составим расширенную матрицу системы А= б -4 4 3 3 ы Составим расширенную матрицу системы; *=<' 1 8 -7 дю 0 -2 3 0 -1! б 5 -8 3 — 9 3 — 5 8 -7 ,!) йа. Система линейнык уравнений !!а Г-й шэг. Вычитаем иэ второй и третьей строк первую строку, умноженную на 2 и 3 соответственно: 24 3 -2 5 4 2 ΠΠ— 6 -5 -1 0 О ) -12 -1О -2 2-й шаг. Вычитаем из третьей строки удвоенную вторую 3 -2 5 4 2 Аю О О~-6 — 5 — 1 О О О О О Система совместна (гала А = гала А = 21 и имеет бесконечное число решений (галя А < 41. Исходная система эквивалентна системе следующего вида Зхг — 2хг 4-5х» 4-4х» = 2.
-бхд — 5х» = -1. Найдем общее решение системы. Придадим свободным неизвестным хг и х» ПрОиэвальные Значениа 72 и 7, соответственно и, пеРеносл соответствУющив слагаемые в пРавью части УРавнений, полУчив Зх! + 5хг = 2+ 27г — 4'74, бхз = 1 — 574. Из последнего уравнения находим ! хз = (1 — 574), 74 — произвольное. 6 Подставляя выражение для х, в первое уравнение, получим, что 1 х, = — (7 4- 1272 + 74), 72, 74 — произвольные.
!э Общее решение системы имеет вид ! 1 Х! = (7+ 1272+74) Х2 = 72 Хз = (1 — 574), Х» =74, 16 6 гдв 72 и 7» — произвольные числа. Частное решение можно получить из общего, вали придать свободным неизвестным конкретные значения. Например, положив гг = 1, 74 — — -1, получим, что х, = хг = 1. Итак, частное ранение системы: х2=1 хг=! х4= 6.4. Правило Крамера Рассмотрим систему я линейных уравнений с я неизвестными — квадратную систему (6) или, в матричной записи, АХ=Ь.
(7) Если квадратная матрица А невырождена, тосистема(6) совместна и имеетединственное решение, так как гапа А = я. Умножая обе части равенства (7) слева на матрицу А ', обратную к А, получаем, 'гто Х=А 'Ь. С учетом формулы (2) а 4 для обратной матрицы имеем Глава Гв. Матрицы. Опрвдаюпалн. Лнввахыр систвиы Проведем необходимые вычисления в правой части и получим, что или,подробнее, 3 ан ', Д: агв а„~;,О,; аяв т'=1,.„,н, (8) х = а~~, ац .
'аш аш . а„: аии В числителе располагается определитель матрицы, полученной из матрицы А линейной системы путем замены у-го столбца на столбец свободных членов, а в знаменателе — определитель матрицы А. ванное ааыачашю. приведенное правило (а) иыест в значительной степени теоретический интерес, и в практических вычислениях (за искяючениеы квадратныхснстеы с двумя или тремя неизвестными) не применяется ввиду гроыозлкости. Звнвчвюю. Необходимость вычисления н + 1 определителя и-го порядка сильно увеличивает количество вычислениЯ по сравнению с ыетодоы Гаусса: при непосрсдственноы раскрытии определителеп решение квадратноЯ снстеыы с н неизвестными требует порядка н!н арифметических операций. Уже при и = 30 такое число операция ллв совреыенных ЭВМ нелоступно. Общее число а рифы етических действий в методе Гаусса имеет порядок из.
Большинство распространенныхточныхыегодоврешенна линейных систем ыожнорассыатривать как варианты метода Гаусса, различающиеся между собоЯ лишь некоторыыи деталями. Количество арифыетичсских операций для ввел таких методов примерно одно и тоже. Чтобы найти решение линейной системы АХш Ь с квадратной невырожденной матрицей А, следует поступать так: 1, Составитьрасширеннуюматрицусистемьп Аш(А) Ь) = 2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы А привести матрицу системы к треугольному виду: Р~ А аш азв 1 ан О 1 О О ... 1 2.
Элементарными преобразованиями строк матрицы (А / Ь) привести матрицу А к единичной: $6. Снетеые аннейпых уреенепнй 114 4. Записать линейную систему, соответствуюшую полученной расширенной матрице (1 ~ с): х~ = 7н Х2 72! Хп = 7 ° Набор Х~ =7Н аз=72 Хп=7п — решение исходной системы. 6,6.
Однородные линейные системы Линейная система называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю: (9) Основные сеойсттв однородной системы: 1, Однородная система всегда совместна. м Наборх, = О,... ! х„= Π— нхтевоерешение сушествуюшееусистемы(9)всегда. ° 2. Если число ш уравнений однородной системы меньшечисла и неизвестных, то эта система имеет ненулевые решения. м Согласно сформулированному условию ранг т матрицы системы (9) удовлетворяет неравенству г < ти < и. Это позволяет утверждать, что исходная система является неопределенной (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
