Краснов М.Л., Киселев А.И. Вся высшая математика. Том 1 (2-е издание, 2003) (1095446), страница 18
Текст из файла (страница 18)
п. 1). ш 3. Сумма решений однородной системы (9) также является ее решением. м Пусть у'„..., 7„' и у",,..., уп — решения системы (9). Это означает, что ! п аб7 =О и у аб7 =О для любого т = 1,..., тп. Так как н и и :У' .-Е Е и %п ! Чп и аб(72 + 7;) = ~ аб72 + и аб72 = О, т = 1,..., пт, \ у=! то набор ! и и 7~ + 7~ . ° 7п+7п — СУММа рЕШЕНий 71,..., 7„' И 7,",..., уп — РЕШЕНИЕ СдиарОЛНОй СИСТЕМЫ (9).
В 4. Произведение решения однородной системы (9) на любое число также является решением этой системы, ПВ Главе ра Матрицы. Опрелелнтелв Линейные енетмгы М ПУсть 71,..., 7„— решение системы (9): ат?7? = О, т = 1,..., тп; Е 2'= ! 22 — произвольное число. Тогла и п а!?(Га у,) = р ~~? аг?7; = О, т = 1,..., пт. 2 ! ?=! Тем самым, набор 1271,..., 227„— лроизведениерешеиия 21,...,Тп начисли р — реше- ние системы (9). ?в Часто оказывается удобной матричная запись однородной системы нли, короче, ( 10) АХ по О. Проведем доказательство свойств 3 и 4 в матричной записи.
Доказательство свойства 3. Пусть столбцы Г' и Гп — решения системы(10): АГ' = О и АГп = О. Тогда столбец Г + Гп также является решением системы (! 0), так как А(Г'+ Г!') = АГ' + АГ!' = О+ О = О. Доказательство свойства 4. Пусть АГ = О. Вычислим А(иГ), где р — любое число. Имеем А(мг) = м(АГ) = ро ап О. м Свойства 3 и 4 означают, что множество решений однородной системы с естественными правилами сложения решений и умножения решения на число является линейным пространством 1. Познакомимся с одним важным свойством линейного пространства решений одноролной системы.
Применив к однородной системе (9) метод Гаусса, привелем ее к следующему виду: Х1+ ?З!?Х?+. + ?3!тес+ а!гт!Хгт! +. + )у!пеп = О Х2 + + ?3?гяг + Р?.ге!Хе+! + ° ° + ?3?пяп хг +,Огп+!х,.г! +... + ?О,пя„= О. Злесь мы считаем лля простоты, что неизвестные х1,..., х„— главные (напомним, что этого всегда можно добиться путем временной перену мера ции неизвестных). ! Обшее понятие лапен ного пространства букет раССпотрсно в В ! гЛавы Ч. $6. Система ллпеапих уравнен!а 222 Пустьрангг матрицысистемы(11) меньшечислап неизвестных, г < н. Построим и-г решенийсистемы(1!), придаваясвободным неизвестным а„1,..., ап значения в соответствии со следуюшей таблицей (12) Каждому набору значений свободных неизвестных соответствует решение 'сиоп темы (1!): 7 7п 71 л-г-1 71,п-г 7а О 1 7т1 1 О 7», — -1 О О 7т,п-т О О Г„г= Г2 Г,= Гп г,= Построенная совокупность решений Г„..., Гп г линейно независима.
Покажем это. м Рассмотримлинейную комбинацию !2гт-1711+ +!злукп-г Игл 17г1+ ° ° +Рп7г,п-г !2г+! гГг+2 (13) !зг+1Г! + ° ° + !злГп-т = !зп-1 !2п р ГЗг+! (14) однородной системы (11) можно представить в виде линейной комбинации вида (13).
Легко заметить, что линейная комбинация (13) равна нулевому столбцу в том и только'. атом случае, когда н,~! = л„+2 — ... — Ип, = и„= О. Это означает, что нулевому решению системы (! 1) равна лишь тривиальная линейная комбинация решений Г,..., Гп,.! В силу доказанных выше свойств 3 и 4 линейная комбинация (13) является решением системы (!!) при любых Игт.1,..., !2„. Покажем, что любое решение Нб Главе й/. Матрицы.
Определители. Линейные системы м Умножая решения Гз,..., Г„„на р,+з,..., Р„соответственно и складывая, получим решение системы (11) в ниле ( 13). Сравнивая формулы (13) и (14), нетрудно убедиться в том, что эти решения имеют одинаковый набор значений свободных неизвестных и,+и..., р„. А так как по заданным значениям свободных неизвестных главные определяются однозначно, то сами решения совпадают: Г=р„„г,+... +„„Г„,.ш Таким образом, построенная совокупность решений Г,,..., Г„„однородной систем ы (9) обладает следуюшими свойствами: 1. она линейно независима; 2. любое решение системы (9) можно представить в виде линейной комбинации решений Гз,..., Г„,.
Оаределение, Любая совокупность из и — т решений однородной системы (9), удовлетворяюшая условиям 1 и 2, называется фундаментальной системой решений однородной системы (9), Пример, Решить систему Зхз — 2хз + 5хз + 4хз = О, бхз — 4хз + 4хз + Зхт = О, 9хз -бхз+зхз+ 2хз = О. а Применив метод Гаусса, полуюш ( зхз — 2хз+ 5хз + 4хз = О, бхз 5хз = О (см. пример Э п. Э). Свободныв нвизввстныв — хз и х4. Составим таблицу хз з/з '/зз, О Фуззамвнтальную систему ращений образуют решения О ' з — З5 Любое рещение Г заданнол системы можно представить в следующем виде; Г=р О ™ гдв /з и и — произвольныв настоянные. Ы Итог. Длл того, чтобы онисать множество решений однородной системы, достатоено найти ее фундаментальную систему решений (ФСР), так как всевозможные линейные сомби наНи и элементов ФСР и составляют это множество. Нетрудно заметить, что в таблицу (12) заключена единичная матрица порядка и — г.
$ б. Система Ливвавмх урвмюаяй 119 Звмвчвяив 1. Требование !12) на набор свободных неизвестных не является обдзвтельнымдля постро- ения ФСР, Можно поместить в таблицу 112) любую невырожденную мвтрниу !я — г)его порядка Замвчммв 2. Любая однородная линейная система, нмеюшая ненулевые решенвя. облалвет ЭЬСР.
Упражнения 1. Умножьте матрицу А на матрицу В, если 6) "= (1 О) В= (О О) . «) А=(о о). В=(, О)' /1 а с! 2. Умножьтематрииу ~0 ! Ь~ насебя. О О ! 3, Вычислите произнедения АВ и ВА, если / 4)) А=!2 -З О), В=~3). 1 4, Приведите матрицу к матрице ступенчатого вида ') ! ! З1 ' 6) 5 6 7 8. 6. Вычислите определитель: О ! 2 3 0 1 2 2 1 0 1 3 2 ! О 1 2 3 4 3 6 8 11 7 13 20 26 31 23 55 42 1 2 3 4 3 4 5 б 5 б 7 9 31 23 55 42 6) а) в) 6. Найдите матрицу, обратную данной: О 1 1 1 )( ), 4)'(-2 ) 2); ) — 1 — 1 — 1 0 а) 7 8 9 , 'б) 2 5 8 11; в) о О 1 -1 7. Найдите ранг матрицьг 6.
Решите систему: аз+ 2хз = 2 б) х)+2хэ+ хзгю -2 2х, — хз — х, = — 2; — Зх) + хз+ х'з = 'О, 5х, + хз — 2хэ = 2 -2х, — 2хз+ хэ = -3. х) +аз хэ а) х, — аз+аз х)+хз хэ 7х, — 5хз— -Зх, +2хз+ | в) 2х,— + =! 2хз — 4хз — — 8, хз+ 2х, = — 3, хз-2хз= 1 хэ + 2хз = 12О Глава бг. ммрацы.
Опрвдамггаам лааайныа системы 9. Решите систему: Зжэ+ 2а, + аз — - О, а) гл, + без + 5аз = О, 5а, + 4тз + Заз = О' -х, + *, + г*. = О, аз+ аз+ га, = О, га~ 5аз — газ — 4аз = О, б) *э газ —— О; 4хэ — Заз— х, +4аз+ газ — Звз = О. га~+9аз+5аз+газ+ из=о, лг + Заз + вз — гж4 — 9аз = О. эг 1 2а аЬ+2с Л (а -12 ОЛ !.а) ~ );б) ( ). 2. О 1 2Ь . З.АВ=(-1),ВА= 6 -9 О О О ! 2 -3 О 3 4з~ О 1 О 1 О -2 -4 -6, э Уб 4Л 4.а) ~О О 2 О~;б) ~о О 4О 35 . Б.а)-12;б)5;в)ВО. О.а)-219 5); О О О 2 О О О О О -1 1 — 1 ( 32 14 б) 2 1 О ; в) ! .
Ч, а) 2; б) 2; а) 3. В. а) ю, = 1, аз = 1, аз = 1; 25 И -1 1 1 1 О б) а~ = — 1, вз — — — 1, хз = 1; в) хэ — — — 1 -7з+ 27м аз — — -3+ 7з+ 27з, аз = 7з а4 = тз г) система несовместна. 9, а) а, = вз, аз = -газ или ~ хз ) = Л ~ -2 ); б) х = хз = аз + га, аз или з =Л +Зз О;в) аз =Л 1 +1з О Глава 1/ ЛИНЕЙНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 9 1. Определение линейного пространства. Простейшие свойства Определение. Множество тг элементов х, у, г,...
называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу !. любым двум элементам х и у из у поставлен в соответствие элемент из 1г, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у; П. любому элементу х из тг и каждому числу а (вешественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из тг, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следуюшим аксиомам: 1. (х+ у) + т = х + (у + к) (ассоциативность); 2.
х + у = у + х (коммутативность); 3. во множестве 1' сушествует элемент 0 такой, что для любого элемента х из у выполняется равенство х+ О = х; 4. для любого элемента х из тг во множестве 1г сушествует элемент (-х) такой, что х+ ( — х) = О; 5. а(х+у) = ах+ау; 6. (а+15)х =ах+)Зх; 7. а()ух) = (а)1)х; 8. 1х = х. Элемент 6 называется нулевым элементом, а элемент ( — х) — противоположным элементу х. Элементы х, у, т,...
линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством. примеры лннванык пространств. 1. Соаокупносгь свободных геометрических векторов угу в пространстве с введенными в Е2 главы 1 операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. Ц. Этим же свойством обладают: совокупносгь У1 векторов на прямой и совокупность ка векторов на пюскости. Глвва у. Линайиью и евглидоаы пространства б) .а) Рнс. 1 2. Совокупность упорядоченных наборов (с',..., бч) из п действительных чисел Саерацин — сложение и умножение на действительное число — вводятсп так; а) сложенив— б) умножение на число— (см.
рис. 2, где и = 2). Обозначение: и" (п.мерное аенюственнов птоддннатное пространство). а) 2) ) Рис. 2 3. Совокупность всевозможных матриц Ж,„размера пт х и с введенными в б1 главы 1Ч правилами сложения матриц, и умножения матрицы на число, Е частности, совокупность п.стрех Рм„„, и ссвокупюсть столбцов высоты пт, И, ы являются линейными пространствами. 4. множество с(-1, 1) вецвстввнных функций, непрерывных на интервале (-1, 1), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число. Во всех приведенных примерах требования 1-а проверяются непосредственно.
Простейшие свойства линейных пространств 1. Нулевой элемент В определен однозначно. М Пусть 81 и 82 — нулевые элементы пространства тг. Рассмотрим их сумму В, + 82. Вследствие того, что 82 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что 81+ 82 = 81, атаккакэлемент81 — также нулевой,то 81 +82 = 82+8, = 82,т.е. В, = 82. м 0 д Линвйнью надпространства 2, Для любого элемента х противоположны й ем у элемент (-х) определен однозначно. ° Пусть х и х — элементы„противоположные элементу х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
